Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
Поэтому
учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений,
отдельные статьи из опыта преподавания, содержащие подбор упражнений к
отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.
2.1.5. Классификация
геометрических задач.
Как известно,
упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы:
задачи, на вычисление, доказательство и на построение.
В задачах на
вычисление требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади,
объемы) или их отношения через известные параметры. Если параметры даны в
общем виде, то результат получается в буквах; если же условие содержит
числовые значения параметров, ответ доводится до числа.
Иногда условие таково,
что требуется сначала решить задачу в общем виде, а потом подставить в
полученное выражение значения параметров. Но порой, независимо от требований
условия, задачу целесообразно решить в общем виде. Таким образом, решения «в
буквах» и «в числах» не противопоставляются одно другому, они являются лишь
двумя формами представления неизвестных величин через известные.
В задачах на
доказательство необходимо установить наличие определенных соотношений между
элементами рассматриваемой фигуры: равенство или неравенство отрезков, углов,
параллельность или перпендикулярность прямых, плоскостей и т. д. Иногда задачи
этого типа могут быть оформлены и как задачи на вычисление; например, доказать,
что некоторый угол равен 45°, что объем одной фигуры во столько-то раз больше
объема другой фигуры и т. п.
Менее распространены
задачи на исследование. В таких упражнениях результат заранее не сообщается.
Требуется выяснить лежит ли некоторая точка на данной прямой (на данной
плоскости), пересекаются ли данные окружности, * параллельны ли данные прямые и
т. п., определить, какой изданных отрезков больше, к какой из сторон
треугольника ближе данная точка. Установить зависимость между перечисленными в
условие элементами фигуры.
Обе формы задач на
доказательство важны.
В задачах на
построение неизвестные величины определяются в результате выполнения ряда
геометрических построений (с помощью допустимых геометрических инструментов или
в обусловленной проекции). Как правило, речь идет о построении геометрической
фигуры по некоторым данным о ней. В стереометрии нередко вместо отрезков и
углов дается изображение (например, пирамиды), на котором требуется выполнить
построение (например, найти сечение), т. е. элементы фигуры задаются их
положение (на проекционном чертеже).
Мы провели среди учащихся анкетирование для того, чтобы выяснить, как они
относятся к решению задач на построение.
Анкета.
1. Что вам больше нравится:
а) алгебра
б) геометрия
2. Какие геометрические задачи вы обычно решаете успешнее:
а) на построение
б) на доказательство
3. Можете ли работать методом «в воображении», т.е. создавать образы
предметов, мысленно представлять их себе с разных сторон, не опираясь на
наглядные изображения (картинки, чертежи, схемы)?
а) да
б) нет
4. Как вы используете чертеж в решении геометрической задачи?
а) в основном на первом этапе работы для меня разобраться в чертеже –
это уже решить задачу; на втором этапе записываю ход рассуждений
б) обращаюсь к чертежу периодически: чередую работу с чертежом и
оформление каждого смыслового куска решения
5. Что составляет для вас большую трудность при усвоении геометрии:
а) представить в уме («по
воображению») нужный образ (предмет, чертеж, схему)
б) восстановить в уме ход рассуждений в какой-нибудь теореме или
решенной ранее задачи
6. При решении геометрической задачи «средней» для вас сложности нужен
ли вам чертеж?
а) большинство задач могу решить в уме, без чертежа
б) мне было бы достаточно иметь перед глазами чертеж из учебника
в) всегда удобнее иметь собственный чертеж в тетради, на котором
можно сделать дополнительные построения, пометки, обозначения
г) лучше, когда есть несколько вариантов чертежей: так легче
представить задачу «с разных сторон»
7. Как вы относитесь к необходимости построения чертежа к задаче?
а) это трата времени, почти всегда могу обойтись без чертежа
б) черчу с удовольствием, стараюсь выполнить чертеж как можно точнее,
это помогает решить задачу
в) не очень люблю чертить, но стараюсь сделать четкий грамотный
чертеж, это облегчает решение задачи
г) чертеж, наверное, нужен, но не стоит долго им заниматься, вполне
достаточно если он приблизительно соответствует условиям задачи
д) чертеж не обязателен, удобнее делать наброски на черновике и с
ними работать.
Обработка результатов
Количество учащихся
|
|
Вопросы
|
Выводы: По результатам проведенной анкеты можно выделить следующие факты:
1.
Большинство учащихся
испытывают неприязнь к выполнению чертежа.
2.
При решении задач
«средней» сложности учащимся недостаточно пользоваться чертежом из учебника или
изображенным на доске; им необходимо каждому выполнить чертеж в своей тетради.
3.
Для учащихся составляет
большую трудность не только выполнение чертежа, но и самостоятельная запись
решения. Поэтому решение задачи разбивается на этапы; обсуждая решение по
чертежу учащимся необходимо давать время записать его ход после каждого этапа.
4.
Все учащиеся без
исключения не могут мысленно создать образ предмета и рассмотреть его с разных
сторон «в воображении».
5.
Как итогом всех этих
фактов можно отметить то, что учащиеся больше предпочитают заниматься алгеброй,
чем геометрией.
2.2. Характеристика задач на построение.
В преподавании математики большое значение приобретают вопросы,
связанные с обучением учащихся геометрическим построениям (выполнение наиболее
распространенных геометрических построений и обучение решению задач на
построение).
Решая задачи на построение, учащиеся приобретают первые
теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с
наиболее употребительными приемами их решения, с инструментами, используемыми
в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке,
при выполнении построений на местности). У них развиваются пространственное
воображение, конструктивные способности, сообразительность, изобретательность,
т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих профессий.
Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют
лучшему усвоению учащимися теоретического материала, развитию их логического
мышления.
Обучение геометрическим построениям в школе имело до
последнего времени много недостатков. Так, учащиеся поздно знакомились с
геометрическими построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года).
Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как
правило, изучались построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а
другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось
внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соответствовало
программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках
математики, черчения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении
геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи
между приемами построений (на бумаге, при разметке, на местности) и
использованием соответствующих инструментов.
2.2.1. Определение задачи на
построение.
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким
данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку,
прямую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти
(начертить, построить на плоскости, наметить на местности и т. п.) так, чтобы
этот образ удовлетворял определенным условиям.
Будем считать средствами построения циркуль и одностороннюю линейку;
вопрос о дополнении этих инструментов чертежным прямоугольным треугольником
будет рассмотрен далее.
Задача на построение может быть выражена с помощью чертежа-задания.
Чертеж-задание включает в себя данные элементы и требование задачи. Рассмотрим
примеры.
1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании В=β и
высоте на основание hа (рис.6)
2. Построить окружность данного радиуса r,
проходящую через две данные точки А и В (рис.7).
Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом
возможны два случая: 1) данные элементы являются уже построенными (пример 2,
точки А и В), и в этом случае перемещение их по плоскости невозможно (данные
элементы определены по положению); 2) данные элементы лишь могут быть построены
(пример 1 – отрезки а и hа, угол В, пример 2 – отрезок
r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в
«любом месте» плоскости (данные элементы не определены по положению).
Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки – значит свести
ее к конечной совокупности пяти элементарных построений, которые заранее
считаются выполнимыми:
1) построение прямой линии через две известные точки:
Дано:
Дано:
Построить треугольник Построить окружность
АВС радиуса r,
проходящую
через
точки А и В
Рис. 6 Рис.
7
2) построение точки пересечения двух известных прямых (если эта точка
существует);
3) построение окружности известного радиуса с центром в известной
точке;
4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности
(если эти точки существуют);
5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если
такие точки существуют).
Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо
получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.
Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно,
так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так
называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных
в известной мере произволен.
Характеристика чертежа-задания показывает, что задачи на построение
делятся на два существенно различных вида:
Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ
по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по
положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический
образ может занимать произвольное положение на плоскости (пример 1).
Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического
образа выполняется на основе данных элементов, из которых хотя бы один
определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический
образ должен занимать определенное положение на плоскости (относительно данных
элементов, пример 2).
2.2.2. Некоторые вопросы теории
геометрических построений.
В теории геометрических построений каждый инструмент выполняет
свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его
абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те элементы чертежа,
которые могут быть построены при однократном использовании того или иного
инструмента.
Обычно на практике несколько «абстрактных» инструментов объединяются в
один (например, чертежный треугольник является комбинацией односторонней линейки,
прямого и двух острых углов). Часто также один инструмент используется для
выполнения двух (или нескольких) совершенно различных операций (например,
линейка используется для построения прямой, проходящей через две заданные
точки, и общих касательных к двум данным окружностям). Это дает возможность значительно
сократить число используемых инструментов.
Укажем характерные операции для наиболее распространенных в школьной
практике чертежных приборов и на те элементы чертежа, которые могут быть
получены при однократном их использовании.
Циркуль. Характерная для циркуля операция – проведение
окружности данным (или произвольным) радиусом с центром в данной (или
произвольной) точке.
Таким образом, циркулем могут быть построены:
а) окружность данного радиуса с центром в данной точке (радиус может
быть задан двумя точками);
б) дуга окружности данного радиуса с центром в данной точке.
Линейка. Характерная операция для чертежной линейки – проведение прямой через
две данные точки.
На практике линейкой пользуются также для построения к данной
окружности касательной (рис. 8), проходящей через заданную вне ее точку, и
для построения общих внешних и внутренних касательных к двум окружностям.
Рис. 8
Теоретически эти операции так же строги, как и проведение прямой через
две данные точки. Практическая точность в большинстве случаев вполне удовлетворительна.
Этот прием часто используется в чертежных работах и при разметке. Итак, при
помощи линейки могут быть построены:
а) прямая, проходящая через две данные точки;
б) отрезок прямой, ограниченный двумя данными точками;
в) луч, проходящий через данную
точку и имеющий начало в другой данной точке;
г) касательная к данной окружности, проходящая через данную вне
окружности точку;
д) внешние и внутренние касательные к двум данным окружностям.
Чертежный треугольник обладает всеми свойствами односторонней линейки. Следовательно,
с помощью чертежного треугольника могут быть получены те же элементы, что и с
помощью линейки, а также прямая, проходящая через данную точку и образующая с
данной прямой угол, равный одному из углов чертежного треугольника.
Транспортир. Характерной операцией для транспортира является построение точки,
лежащей на луче, проходящем через данную на прямой точку и образующем заданный
угол с этой прямой (рис. 9).
Рис. 9
Абстрактная характеристика каждого инструмента может быть использованы
для выяснения вопроса о разрешимости задач на построение теми или иными
инструментами.
С этой целью в теорию геометрических построений вводится понятие класса
конструктивных элементов. К этому классу относятся все заданные элементы, а
также: прямая, если она определяется двумя конструктивными точками; окружность,
если она определяется конструктивным центром и конструктивным радиусом (пара
конструктивных точек); точка, лежащая на луче, проходящем через заданную на
конструктивной прямой точку и образующем с этой прямой заданный угол, и,
наконец, точки, являющиеся пересечением конструктивных линий (прямых и
окружностей).
Очевидно, что каждый набор инструментов имеет свой класс К конструктивных
элементов.
На основании этого может быть установлен следующий критерий разрешимости
задачи на построение.
Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К,
определяемому выбранным набором инструментов, то задача является разрешимой
при выполнении этими инструментами конечного числа операций.
Отсюда, естественно, следует, что возможность использования
большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс
конструктивных элементов и тем самым увеличивает число задач, допускающих
точное решение.
В теории геометрических построений вопрос о необходимости привлечения
произвольных элементов для решения (точного или приближенного) задач на
построение рассматривается в ряде работ; на основании теоремы, утверждающей,
что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс
конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и линейки,
образует счетное, всюду плотное множество, доказывается, что любая задача на
построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без привлечения
произвольных элементов либо точно, либо приближенно с любой степенью точности,
если среди заданных элементов имеются по крайней мере две различные точки.
2.2.3. Выполнение геометрических
построений.
Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели:
обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению
задач на построение.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
|