Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 4.
КЛЮЧ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ
Обработка результатов тестирования
По итогам количественной обработки теста получили следующие результаты:
Фамилия учащегося
|
Кол-во правильно выполненных заданий
|
Процентное отношение
|
Антонова
К.
|
10
|
28%
|
Колосова
Н.
|
10
|
28%
|
Михайлюк
К.
|
18
|
50%
|
Назарова
А.
|
20
|
56%
|
Петрова
К.
|
16
|
44%
|
Платонова
Ю.
|
21
|
58%
|
Трофимова
О.
|
12
|
33%
|
Далее мы провели качественную обработку тестирования, выяснив:
1.
Вид заданий (на величину,
форму и тип оперирования образами), который вызывает наибольшее количество
ошибок;
2.
Вид деятельности (создание
образа, оперирование образами), вызывающий наибольшее количество ошибок.
По результатам качественного анализа мы выделили задания, которые при
решении вызывают у учащихся трудности. В течение трех недель мы с учащимися
разбирали и прорешивали задания, подобные заданиям из теста «ЛОГО».
В конце третьей недели тест «ЛОГО» был проведен повторно и получили
следующие результаты.
Фамилия учащегося
|
Кол-во правильно
выполненных заданий
|
Процентное отношение
|
Антонова К.
|
25
|
69%
|
Колосова Н.
|
23
|
64%
|
Михайлюк К.
|
32
|
89%
|
Назарова А.
|
28
|
78%
|
Петрова К.
|
25
|
69%
|
Платонова Ю.
|
34
|
94%
|
Трофимова О.
|
30
|
83%
|
Сравнив результаты первого и второго тестирования можно сделать вывод:
при периодическом стимулировании логического мышления процент его развития
повысился.
Таким образом, чтобы максимально повысить процент развития логического мышления,
нужно непрерывно выполнять стимулирующие упражнения, увеличивая их сложность.
Изучив и проанализировав психологическую и методическую литературу мы
выполнили следующие задачи:
1.
Выделили пути развития
математического мышления учащихся;
2.
Дали характеристику задач
на построение и описали их влияние на развитие логического мышления школьников;
3.
Разработали систему уроков
с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на
построение.
В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах
общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения
играют серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач
не дает столько материала для развития математической инициативы и логических
навыков учащихся как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не
допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися.
Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся
по любому разделу школьного курса геометрии.
Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на
построение показывает, что они представляют собой богатый материал для
выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.
В результате проведенного педагогического эксперимента можно сделать
вывод о том, что развитию логического мышления у учащихся способствует
систематическое нарешивание, начиная с простейших, постепенно переходя к более
сложным заданиям.
Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других
поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного
решения, что вызывает к ним повышенный интерес.
Александров, А.Д. Геометрия: Учебное пособие для студ. вузов,
обучающихся по спец. «Математика» / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. – М.:
Наука, 1990. – 672 с.
Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец.
«Математика». – М.: Наука, 1987. – 288 с.
Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с
решениями. Пособие. Изд. 19-е, – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1954. – 176 с.
Антонов, Н.С. Современные проблемы методики преподавания
математики: Сб. статей. Учебное пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец.
пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.
Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. /
Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1955. – 268 с.
Атанасян, Л.С. Курс элементарной геометрии. Ч I. Планиметрия.:
Учебное пособие. / Л.С. Атанасян и др.
Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов //
Математика в школе. – 1994 – №4 – с. 14-15.
Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом
подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. – 1991 – №2 – с. 23-25.
Брушлинский, А.В. Общая психология: Учеб.
пособие для студентов пед. ин-тов / А.В. Брушлинский, В.П. Зинченко, А.В.
Петровский и др.; Под редакцией А.В. Петровского – 3-е изд., перераб. и доп. –
М.: Просвещение, 1986. – 464 с., ил.
Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение. – М.:
Знание, 1983. – 96 с.
Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач: [О развитии мышления на
уроках математики] // Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 37-38.
Варданян, С.С. Задача оп планиметрии с практическим содержанием:
Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. – М.: Просвещение, 1989.
Векслер, С.И. Найти и преодолеть
ошибку: [О развитии мышления
школьников на уроках математики] // Математика в школе. – 1989 – №5 – с. 40-42.
Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе:
учеб. пособие / Л.В. Виноградова – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005 – 252 с., ил.
Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения
математике. – М.: Педагогика, 1987.
Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики –
М.: просвещение, 1990. – 224 с., ил
Гусев, В.А. Методика обучения геометрии / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и
др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия» – 2004. – 368 с.
Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В.А. Гусев – М.:
Просвещение, 1979. – 287 с.
Далингер, В.А. Чертеж учит думать: [К методике шк. курса геометрии]
// Математика в школе. – 1990 – №4 – с. 32-36.
Дьюи, Дж. Психология и педагогика мышления – М.: Просвещение, 1999.
Зетель, С.И. Геометрия линейки и геометрия циркуля, 1957.
Клименченко, Д.В. Задачи на построение треугольников по некоторым данным
точкам. / д.В. Клименченко, Т.Д. Цикунова // Математика в школе. – 1990 – №1 –
с. 19-21.
Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем, 1984.
Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение. //
Математика в школе. – 1984 – №2 – с. 22-25.
Мазаник, А.А. Задачи на построение по
геометрии в восьмилетней школе, 1967.
Маслова, Г.Г. Методика обучения решению задач на построение в
восьмилетней школе, 1961.
Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика; сост.
В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 414 с.
Никитина, Г.Н. проверим построение. // Математика в школе. – 1988 –
№2 – с. 55-56.
Овезов, А. Особенности рассуждений в приложениях математики: [О развитии логического
мышления на уроках математики] // Математика в школе. – 1991 – №4 – с. 45-48.
Петров, К. Метод гомотетии в решении задач // Математика в школе. – 1984 – №1 – с.
63-64.
Пичурин, Л.Ф. Воспитание школьников в процессе обучения математике:
из опыта работы. Сборник / сост. Л.ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1981 – 159 с.
Погорелов, А.В. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к
преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для
учителя. – М.: Просвещение, 1990 – 334 с., ил.
Погорелов, А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. –
4-е изд. – М.: Просвещение, 1993 – 383 с.
Погорелов, А.В. Элементарная геометрия / А.В. Погорелов. – 3-е изд.,
доп. – М.: «Наука», 1977 – 279 с., ил.
Сенников, Г.П. Решение задач на построение в VI-VIII классах: пособие
для учителей, 1955.
Смогоржевский, А.С. Линейка в геометрических построениях, 1957.
Степанов, В.Д. Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе:
Межвуз. сб. науч. тр / Владимир. гос. пед. ин-т им. П.И. Лебедева-Полянского;
[ред. кол.: В.Д. Степанова (отв. ред.) и др.] – Владимир: ВГПИ, 1989 – 94 с.,
ил.
Столяр, А.А. Методика преподавания математики в средней школе:
Общая методика / Учеб. пособие по спец. «Математика» и «Физика»; сост. А.А.
Столяр, Р.С. Черкасов. – М.: просвещение, 1985 – 336 с.
Тесленко, И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе: (По учеб.
пособию А.В. Погорелова «Геометрия 6-10») Кн. для учителя. – М.: Просвещение,
1985 – 95 с., ил.
Фетисов, А.И. Методика преподавания геометрии в старших классах
средней школы / под ред. А.И. Фетисова: пособие для учителя – М.: Просвещение,
1967 – 272 с.
Фурман, А.В. влияние особенностей проблемной ситуации на развитие
мышления учащихся. // Вопросы психологии, 1985 – №2 – с. 68-72.
Четверухин, Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для
учителей и студентов – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1958.
Четверухин, Н.Ф. Методы геометрических построений, 1952.
Чистякова, Г.Д. Мышление: его закономерности и условия развития. //
Биология в школе – 1989 – №5 – с. 18-21.
Чистякова, Г.Д. Учить думать: [О развитии мышления школьников] //
Биология в школе – 1989 – №6 – с. 23-26.
Шерпаев, Н.В. Графическая система для геометрических построений. //
Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 44-48.
Якиманская, И.С. Знания и мышление школьника. – М.: Знание, 1985 – 80
с.
Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования:
учеб. пособие для студ. вузов – М.: Академия, 2004 – 319 с.
ТЕМА 1. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ (1
Ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения
пунктов учащиеся должны:
знать алгоритм решения задачи па
построение треугольника по трем сторонам;
уметь его применять при решении
конкретных задач с числовыми или геометрически заданными условиями.
Методические рекомендация к изучению материала
Учащиеся уже знакомы
из курса математики VI класса с решением задачи на построение
треугольника по трем сторонам. Поэтому изучение нового материала можно начать
с решения задачи 17 (1):
«Постройте треугольник
с данными сторонами а = 2 см, b = 3 см, с =4
см».
Построенный
треугольник обозначить ΔАВС, обратив внимание учащихся на традиционное
соответствие обозначений, – сторона а лежит против угла А, b –против
В, с – против
С.
Затем можно показать
учащимся, что стороны треугольника могут быть заданы геометрически – данными
отрезками а, b, с (рис. 1), и разобрать с ними общий
алгоритм решения задачи.
Рис. 1
Следует обратить также
внимание учащихся, что последняя фраза в решении: «Треугольник АВС имеет
стороны, равные а, b, с – есть не что иное, как доказательство
того, что построен именно искомый треугольник. После этого можно предложить
учащимся решить задачу:
«Постройте равносторонний
треугольник по его стороне».
Примерное планирование изучения материала
В классе – провести
краткую беседу о том, что такое задачи на построение, разобрать решение задачи
5.1. решить задачи 17 (1), 19; дома – вопрос 10, задачи 17
(2), 18.
Указания к задачам
К пункту относятся
задачи 16 – 20.
19. Задачу рекомендуется решить в
классе. Если она будет задана на дом, то следует дать указание: решение начать
с построения окружности.
Рис. 2
Дано: а, b, R.
Решение. Проведем окружность
данного радиуса (рис. 2). Выберем на окружности точку С и из этой точки
как из центра сделаем две засечки радиусами а и b. Получим точки А и В. Δ
АВС искомый. У него данные попоны ВС
= а, АС = b. Описанная окружность имеет радиус R.
Для того чтобы задача
имела решение, стороны а и b должны быть меньше диаметра окружности (a<2R,
b<2R).
20. Дано: R, точки А,
В.
Решение. Проведем две
окружности радиуса R с центрами в точках А и В. Точки
пересечения этих окружностей являются центрами искомой окружности.
Исследование. Если АВ
> 2R, то задача не имеет решения.
Если АВ = 2R,
то задача имеет одно решение: центр окружности – середина отрезка АВ.
Если АВ<2R, то задача имеет два решении: обе точки пересечения
проведенных окружностей служат центрами искомых окружностей.
На примере этой задачи
учащимся можно дать представление об этапе исследования, о различном
числе решений задач на построение. Для этого целесообразно решить задачу 20
в классе, заготовив на доске три исходных рисунка: отрезок, равный R, и точки А и В, причем: 1)
АВ<2R; 2) АВ = 2R; 3) АВ > 2R. Решение у доски одновременно проводится
силами трех учащихся.
Примечание. Задачу
можно предложить учащимся также после изучения теоремы 5.6, решив се с помощью
метода геометрических мест.
ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ (1 ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения
пункта учащиеся должны:
знать алгоритм задачи на построение
угла, равного данному;
уметь применять алгоритм при решении
задачи на построение треугольников по двум сторонам и углу между ними, по
стороне и двум углам и т. п.
Методические рекомендации к изучению материала
Начать изучение нового
материала можно с решения задачи на построение треугольника типа 21 (1,
а):
«Постройте треугольник
АВС по двум сторонам и углу между ними: АВ = 5 см, АС
= 6 см, А = 400».
Решение этой задачи
знакомо учащимся из курса математики VI
класса.
Затем можно предложить
учащимся решить ту же задачу, однако данные задать геометрически:
«Постройте треугольник
АВС по двум сторонам с, b и
углу между ними »
(рис. 3).
Рис. 3
Для того чтобы решить
эту задачу, нам надо построить угол А, равный данному углу .
Далее учащимся
излагается алгоритм решения задачи 5 (2).
После этого можно
предложить учащимся решить задачу:
«Постройте
равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию».
Примерное планирование изучения материала
В классе – разобрать
решения задач 5 (2), 21 (1 а; 2 б), 22 (2); дома – вопрос
11. задачи 22 (1). 23.
Указания к задачам
К пункту относятся
задачи 21–23.
ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (1 ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения
пунктов учащиеся должны:
знать алгоритмы решения задач на
деление угла и отрезка пополам;
уметь решать несложные задачи па
построение с использованием этих алгоритмов.
Методические рекомендации к изучению материала
1°. При изложении
учащимся решения задачи 5.3 (построение биссектрисы угла) можно более подробно
остановиться на доказательстве того факта, что в результате построения
действительно получились равные утлы.
В самом деле, Δ
АВD = ΔАСD по третьему признаку
равенства треугольников. Из их равенства следует, что DAB = DAC (рис. 4).
Рис. 4
Рис. 5
2о. При
решении задачи на деление отрезка пополам (задача 5.4) отрезки АС, ВС, АС1
и ВС1 строятся равными отрезку АВ (рис. 5). При
доказательстве этот факт не учитывается. Действительно, равенство треугольников
САС1 и СВС1 по третьему признаку можно доказать
и без этого. Можно доказать, что точка О – середина отрезка АВ и
с учетом конкретного построения, данного в учебном пособии. Приведем это доказательство.
По построению АС = СВ = АС1 = С1В = АВ, т. е.
ΔАСВ и ΔАС1В равносторонние; следовательно,
САВ = С1АВ = 60°,
а САС1
= 120о. ΔАСС1 равнобедренный, АСС1 = АС1С = (1800
– 1200):2 = 300, ВСО = АСВ – АСС1 = 600 – 300
= АСС1,
т. е. СО – биссектриса угла С в равнобедренном треугольнике АВС:
следовательно, она медиана: ВО = АО.
30. Для
закрепления изученных приемов построения можно дать следующие задачи:
1. Дан треугольник.
Постройте одну из его медиан (задача 28).
2. Постройте с
помощью циркуля и линейки утлы 60° и 30° (задача 25).
Примерное планирование изучения материала
В классе – разобрать
решения задач 5.3 и 5.4, решить задачи 25, 28; дома
– вопросы 12, 13, задачи 24, 28 (еще две медианы).
Указания к задачам
К пунктам относятся
задачи 24–29.
ТЕМА 4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ (1 ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения
пункта учащиеся должны:
знать алгоритм построения
перпендикулярной прямой;
уметь его применять при решении
несложных задач на построение.
Методические рекомендации к изучению материала
10. Можно
предложить учащимся другое доказательство справедливости выполненного построениЯ.
Первый случай (рис. 6)
(точка О лежит на прямой а). Отрезки АО = ОВ, АС
= СВ по построению. Следовательно, ΔАВС равнобедренный, а СО
– медиана этого треугольника, т. е. высота (теорема 3.5): СОАВ.
Второй случай (рис. 7)
(точка О не лежит на прямой).
ΔАОО1
= ΔВОО1 по третьему признаку. Из равенства этих треугольников следует: АОС= ВОС. В
равнобедренном ΔАОВ ОС – биссектриса и, следовательно, высота.
Рис.
6 Рис. 7
2°. Сразу после
разбора задачи 5.5 можно выполнить с учащимися следующие упражнения;
1) Дан
треугольник. Постройте одну из его высот (часть задачи 28).
2) Постройте прямоугольный
треугольник по его катетам.
3) Задача 30.
Решение задачи 30
является составной частью решения задач 31-34.
Примерное планирование изучения материала
В классе – провести самостоятельную работу, разобрать решение задачи 5.5,
решить задачу 30; дома – вопрос 14, задача 28 (две другие
высоты).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
|