Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторо­нами а и b и площадей двух прямоугольников со сторо­нами а и b. В IX в. н. э. узбекский

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы мо­ментом оформления науки алгебры. В дальнейшем ал­гебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных за­дач других математических дисциплин, в том числе и ге­ометрии.

2. Алгебраический метод решения задач на построе­ние рассматривается как дальнейшее расширение приме­нения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанав­ливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь из­вестными геометрическими соотношениями между иско­мыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне­ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен­ные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгеб­раических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на по­строение, решаемые таким методом, можно рассматри­вать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического ме­тода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на постро­ение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

4.   Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для ре­шения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на по­строение более доступен учащимся, ибо достаточно по­лучить соответствующую формулу для определения иско­мой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значе­ниях и положениях данных.

5.  Однако в средней школе не следует чрезмер­но увлекаться этим методом за счет других важных раз­делов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического

 мышления.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствии с Основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач.

При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определенных инструментов (линейка, чертежный треугольник, циркуль),а также изображениями, выполняемыми от руки.

Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертеж-задание», «чертеж-набросок», «чертеж-построение», «чертеж для исследования»).

Решение задач на построение развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.

Действительно, задачи вычислительного характера в планиметрии, не требующие в большинстве своем вспомогательных построений и сложных логических рассуждений, служат для закрепления фактического материала: формулировок теорем, свойств фигур и т.п. чтобы развивать логическое мышление учащихся, а этим сделать их знания более систематизированными, прочными и глубокими, решаются задачи на доказательство.

Большое значение для логического развития учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура.

Весь комплекс, состоящий из четырех стадий решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), является хорошей школой решения и исследования проблем в области точных наук. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.

Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь, прежде всего как средства анализа.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента.

Среди учащихся 10-го класса был проведен тест на выполнение логических операций над геометрическими объектами.

Тест предназначен для выявления умения выполнять основные логические операции над геометрическими фигурами (аналогии, классификации, построение закономерности) и рассчитан на ра­боту с учащимися старших классов, студентами математических факультетов.

Материалом заданий являются плоские геометрические фигуры (углы, многоугольники, окружности, комбинированные формы).

Данные тестирования могут использоваться преподавателями математики, практическими психологами для отбора в математи­ческие классы и школы для разработки коррекционных обучаю­щих программ в целях дифференциации учащихся.

Тест предназначен для диагностики умственного развития уча­щихся подросткового и юношеского возраста; позволяет выявлять индивидуально-психологи-ческие различия в овладении логиче­скими операциями с геометрическими объектами. Он со­держит три набора заданий (субтестов) на выполнение «анало­гии», «классификации», «закономерности построения» геомет­рических объектов, в качестве которых выступают углы, треу­гольники, четырехугольники, неоднородные «комбинированные фигуры». Каждый субтест состоит из 12 вариантов заданий, отли­чающихся усложнением материала.

OCHOBHOE СОДЕРЖАНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ ТЕСТА

Как уже отмечалось, предлагаемый тест может быть использован для диагностики умственного развития учащихся. Критерием этого развитая служит успешность (правильность) выполнения логических операций: «аналогии», «классификации», «закономерности построения» геометрических объектов. Работа с тестом предполагает, что испытуемый знает основные признаки (свойства) геометриче­ских фигур, умеет ими пользоваться. Однако тест не предусматрива­ет проверку программных требований к усвоению учебного матери­ала (знания теорем, аксиом, правил решения задач и т.п.). Он не ориентирован также на проверку графических знаний, умений. Все задания теста даются в готовом виде. Испытуемый выполняет требу­емые логические операции, опираясь на восприятие объектов (в виде плоскостных изображений), заданных графически.

Выполнение заданий теста предполагает мысленное преобразование геометрических объектов. Однако содержание и характер этих преобразований теста не определяется построением задания. По­этому испытуемый может придти к правильному ответу, исполь­зуя различные мысленные преобразования. При групповом тести­ровании определяется количество правильно выполненных зада­ний в целом и в каждом субтесте отдельно. Учитывается также вре­мя, затраченное на выполнение, как отдельного задания, так и общего их объема. При индивидуальном тестировании можно оце­нить не только результативность выполнения заданий теста, но и сам процесс работы. Например, установить, как выполняет испы­туемый геометрические преобразования объектов: ориентируется на изменение величины, пространственного положения объектов, осуществляет повороты, достраивание фигуры, произвольно выделяет вписанные и описанные фигуры, меняет соотношение «фи­гуры и фона» и т.д. Получение таких сведений о работе испытуе­мых важно для выявления их индивидуальных возможностей для построения коррекционного обучения. Однако это связано с использованием дополнительных методов: специально организован­ной беседы, контролем за каждым этапом выполняемого преобразования, их анализом, что не может (и не должно) обеспечиваться групповым тестированием.

Данный тест разработан как групповой. Он позволяет выявлять и оценивать каждого учащегося по общей результативности его рабо­ты. Однако очень высокие (низкие) результаты могут быть подверг­нуты более тщательному и содержательному анализу, что требует индивидуальной работы экспериментатора с каждым учащимся.

Своим содержанием тест «ЛОГО» обеспечивает анализ успеш­ности выполнения трех основных логически операций.

В первом субтесте («аналогия») испытуемому предлагается три однородных геометрических объекта. Между первым и вторым объек­тами имеется определенная связь, которую испытуемый должен выявить. Сообщается, что между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная связь. Испытуемый должен найти из четырех объектов тот, который соответствует по аналогии третьему. Этот субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю­щихся типом геометрических объектов, каждый из которых представлен в трех различных видах.

Во втором субтесте («классификация») предлагается пять геометрических объектов, четыре из которых объединены одним общим признаком. Пятый («лишний») объект, который не подходит к остальным, нужно найти. Субтест также имеет несколько вариантов заданий, отличаю­щихся типом геометрических объектов, представленных различным образом.

В третьем субтесте испытуемому предлагается три геометрических объекта, расположенных в определенной закономерности. Необходимо найти и использовать эту закономерность, подобрать к трем объектам четвертый, который продолжал бы данную закономерность. Субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю­щихся постепенным усложнением типа геометрического объекта (один объект, их сочетание, сложность конфигурации).

Таким образом, каждый субтест включал 12 заданий. Одна фор­ма теста состояла из 36 заданий. Всего по двум эквивалентным формам было разработано 72 задания.

Тест «ЛОГО» позволяет дифференцировать учащихся по уме­нию выполнять основные логические операции над геометриче­скими объектами (фигурами), что является существенным для ов­ладения математикой. Он может использоваться при отборе уча­щихся в математические школы, классы с углубленным изучени­ем этого предмета, для оценки логического мышления учащихся. Поскольку оперирование геометрическими объектами существен­но не только при усвоении математики, но составляет основу про­екционного черчения, тест может использоваться на занятиях гра­фическими дисциплинами.

На работу с тестом отводится 45 минут. Перед началом работы сообщается ее цель и порядок.

3.2. Описание проведения эксперимента и его результаты.

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются три геометрических объекта. Между первым и вто­рым объектом существует определенная связь. Между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная, та же самая связь. Этот геометрический объект вам следует найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ – г). Его нужно записать.

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 1

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 2.

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 3.

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 4.

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются ПЯЧЬ геометрических объектов. четыре из них объединены общим признаком. пятый объект к ним не подходит. Его нужно найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ – в. Его нужно записать.

СУБТЕСТ2. ЗАДАНИЕ 1

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 2.

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 3.

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 4.

Описание и пример работы с субтестом 3.

Вам предлагаются три геометрических объекта, расположенных на основе определенной закономерности. Вам нужно выбрать из представленных внизу вариантов ответов четвертый объект, который продолжал бы данную закономерность построения геометрического ряда, и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ – а. Его нужно записать.

ФОРМА А. СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 1.

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 2.

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 3.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15