Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
«Почти всегда изучение
любой человеческой деятельности — в труде или игре — можно проводить как
изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, то
есть таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкиваются с
необходимостью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из
двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к
изучению поведения человека в условиях производимого им выбора, то есть в
условиях ситуаций, в которых нужно принимать решение», т. е. в процессе решения
человеком различных задач.
Проблема решения задач
как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе
его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до
настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия задачи. «Понятие
задачи обычно используется только в ограниченном объеме: говорят о научных
(математических, физических и т. п.) задачах, о задачах в образовании, о
задачах политических, хозяйственных, технических. Общее понятие задачи еще не
выработано».
Главной причиной
такого положения дел, несомненно, являются, прежде всего, объективнее
трудности, связанные с характеристикой этого понятия в общем виде. Вместе с тем
немалое значение имеет и то обстоятельство, что до недавнего времени для большинства
исследователей наибольшую практическую ценность представляло изучение процесса
решения задач человеком как важной поведенческой проблемы, а также путей
повышения эффективности процесса решения задач человеком).
2.1.2. Роль задач в обучении математике.
В
процессе обучения математике задачи выполняют, разнообразны» функции. Учебные
математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством
усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических
теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании
учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях
математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые
ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач
используется половина учебного времени уроков математики (700—800
академических часов в IV—X классах). Правильная методика обучения
решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого
уровня математических знаний, умений и навыков учащиеся.
В этой главе
рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении
математике, общие методы, применяемые при решении задач, и т. д. Значительное
внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках,
приводятся «практические рекомендации, которые могут быть использованы в
процессе учебной работы над задачей.
Значение учебных математических задач
При
обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.
1.2.1. Образовательное
значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает
много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением
математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые
теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными
словами, при решении математических задач человек приобретает математические
знания, повышает свое математическое образовавшие. При овладении методом решения
некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие
задачи, а при достаточной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень
математического образования.
1.2.2. Практическое значение
математических задач. При решении математических задач ученик
обучается применять математические знания к практическим
нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач,
выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских
расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики.
Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения
математического аппарата, т. е. без решения математических задач.
Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении
материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и
др.
Это означает, что при
обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными
дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим
и практическим, жизненным содержанием.
1.2.3.
Значение математических задач в развитии мышления. Решение
математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые,
находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты.
При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается
правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации.
Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются
незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты
дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются
полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у
учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической
схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода
мышления, точность символики.
1.2.4.
Воспитательное значение математических задач. Прежде всего,
задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих
математических задач существенно изменяется в различные периоды развития
общества. Так, в русских дореволюционных задачниках и в задачах, которые
решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание
многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и
перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азартной игре и т. п.
Воспитывает не только
фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач.
Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у
учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей,
уважение к труду своих товарищей.
Роль задач в обучении математике
Каждая
конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще
всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И
эти цели характеризуются как Содержанием задачи, так и назначением, которое
придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной
задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от
содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые
отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.
2.1. Обучающая роль
математических задач.
Обучающую роль математические
задачи выполняют при формировании у учащихся систем л знаний, умений и навыков
по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов
задач по их обучающей роли.
1)
Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что
формирование математических понятий хорошо проходит при условии дательной и
кропотливой работы над понятиями, их определения» и свойствами. Чтобы овладеть
понятием, недостаточно выучить его Определение, необходимо разобраться в смысле
каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание
достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.
2) Задачи для овладения математической
символикой. Одной из целей обучения математике является овладение
математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая,
символ и вводится еще в начальной школе и в IV—V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки,
знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению
изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.
Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их
верному употреблению.
Существенное значение в овладение изучаемой символикой имеет
правильное ее применение при записи решений задач. Учитель должен внимательно
следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя
признать правильными такие, например, записи:
«p < 2 на 3», « Докажем - ность прямых a и b»
и др. Следовало бы записать в первом случае: «p
меньше, чем 2 на 3», или «2 – p =
3», или «2 – 3 = p», или «p + 3 = 2», «2 – 3 = p», а во втором: «Докажем, что ab».
3) Задачи для
обучения доказательствам. Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения
математике.
Простейшими задачами,
с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются
задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач
заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.
Задачи-вопросы обычно
требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления
одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому.
Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы
представляет собой цепочку шагов-импликаций.
Целью решения
задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых
понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения
учащимися вводимой символики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:
5. х > у. Обязательно
ли x2 > у2?
6. Могут ли две
биссектрисы треугольника быть перпендикулярными? А две высоты?
Существенную роль в
обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов,
символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные
упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же
математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет.
2.1.3. Роль математических задач в
развитии мышления.
1) Мыслительные
умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует
применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную
ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее,
выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие
математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать,
отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко,
в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли;
объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать
или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления
заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении
решению математических задач современные достижения психологической навыки.
Исследованиями
советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у
различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и
единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль
каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные
элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально
анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится
выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится
обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика
сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые
структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной
информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать.
Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только
мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном
решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.
2) Обучение мышлению. Эффективность
математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени
творческой активности учеников при их решении.
Собственно, одно из
основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы
активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.
Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль
учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об
активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических
задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают
формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять
и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные
умозаключения.
Правильно организованное обучение решению задач приучает к
полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы,
введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к
достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать
учащимся записывать решение задач в два столбца: слева – утверждения, выкладки,
вычисления, справа – аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность
вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.
Разумеется, нет
необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная
аргументация.
Взрослому
человеку, как в повседневной жизни, так и в профессиональном труде для
принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все
возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно
такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки.
Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуации
свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.
Умение
рассуждать включает в себя и умение оценивать истинность или ложность
высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е.
логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение верному
применению этих связок помогает воспитанию у учащихся математически грамотной
речи, а мышление, как известно, связано с языком, речью человека.
Полезно научить
школьников, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое
умение особенно важно при решении задач сведением к противоречию.
Существенно для
развития математического мышления учащихся формирование умений правильно
выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении
задач на доказательство. На первых же порах необходимы упражнения в
расчленении
некоторых предложений
на досылки и заключения.
3) Задачи, активизирующие
мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во
многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении
математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и
упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников.
А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на
воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение
которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи.
Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов.
Задачи являются
неотъемлемой составной частью курса геометрии в средней школе. Действительно,
лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу
теорем размещенных более или менее последовательно. Пользы от изучения такого
курса очень мало.
Во-первых,
учащимся пришлось бы у «вызубривать» содержание этих теорем, поскольку
школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен
известный дидактический принцип сознательности обучения.
Во-вторых, такой курс не был бы связан с другими
дисциплинами, входящими в программу средней школы, в том числе и с другими
математическими дисциплинами.
В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал
бы развитию пространственных представлений учеников.
В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к
решению даже простейших практических задач.
Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен
различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов,
отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.
Разумеется, речь идет
не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения
знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагаемые
задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о
соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного
класса, особенностей производственного обучения и т. д.
Однако задачи играют
не только вспомогательную роль – закреплять знания изученного
теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач
школьники знакомятся с методами математического рассуждения, расширяют
кругозор.
При подготовке к теме
урока учитель особое внимание обращает на подбор упражнений. Основным
источником для подбора задач является стабильный задачник. Однако он не может
быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного
количества упражнений и для ведения индивидуальной работы как с теми
учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих
товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и
для проведения контрольных работ).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
|
|