Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
Естественно, что каждому из этих вопросов в различных классах должно
быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.
В VI классе основное внимание обращается на обучение
учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому
использованию при формировании и закреплении важнейших понятий:
перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике,
симметрия относительно прямой и т. д.
К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные
навыки в решении ряда конструктивных задач, включенных в программу VI
класса, ценных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего
изучения материала.
К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного
данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия
над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной
линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам
циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и
линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия,
производимые над углами малкой, транспортиром, циркулем и линейкой
(немасштабной); построение параллельных и перпендикулярных прямых различными
приемами.
Умение фактически выполнять указанные выше построения является
совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению конструктивных
задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить
внимание содержанию и методам их решения, а не только технике выполнения
самого построения.
Кроме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению
новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота
треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся
умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т. д.
Правильно выполненный чертеж имеет большое значение для отыскания плана
решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный
чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотношения. Более того, неверный
чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.
В VII классе перед учителем стоят более широкие
задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе
решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых
построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее,
геометрические построения используются при формировании и закреплении
геометрических понятий, а также для доказательства существования некоторых
геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существования
определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты
треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построения.)
Новыми построениями для учащихся VII класса являются: построение
центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение
окружности по трем ее точкам, деление дуг окружности на равные часта,
деление дуг и хорд окружности пополам, проведение касательной к окружности
через данную точку.
Все эти построения, выполнение которых в большинстве случаев
основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении
конструктивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фактически выполнять
их при любом взаимном положении заданных элементов.
В VII классе продолжается формирование умений учащихся
выбирать различные приемы построения в зависимости от условия задачи. Так,
например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут
проводить через данную точку касательную к данной окружности, если:
а) точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,
б) точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,
в) точка лежит на окружности, а центр окружности находится вне
чертежа.
Построение касательных для всех этих случаев учащиеся не должны
заучивать. Они должны лишь представлять, как нужно поступить в зависимости от
условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо
использовать для построения.
В VIII классе число новых построений весьма ограничено – это
деление отрезка в данном отношении, построение фигур, подобных данным,
построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и
построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь
уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.
2.2.4. О некоторых вопросах
методики обучения решению задач на построение.
При решении с учащимися задач на построение возникают большие
методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели;
решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на
построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач,
показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений
отыскивается решение задачи.
Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация
требует от учителя большом кропотливой и систематической работы, особенно в
средней школе, так как решение задач на построение – совершенно новый для
учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи
является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.
Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи
представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого
внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы
учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна
эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися
изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.
С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на
построение, надо обеспечивать им некоторую самостоятельность, а тогда, когда
это необходимо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть,
даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать
им уверенность в работе, заинтересовать их решением задач.
Мера самостоятельности в работе, выполняемой учащимися,
должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности
решаемой задачи.
2.2.5. Введение задач на
построение.
Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям,
особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.
Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач
на построение целесообразно в ряде случаев вначале предлагать учащимся задачи
подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на
вычисление, и на доказательство. Ниже приводятся три примера использования
вспомогательных задач.
Пример:
Через вершину данного угла провести прямую, образующую
с его сторонами равные углы.
Угол АВС равен 620.
Через вершину угла проведена прямая МN, перпендикулярная его биссектрисе.
Вычислить углы, которые образует эта прямая со сторонами угла.
Пример:
Через точку Р, данную внутри угла АВС, провести
прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.
Стороны угла пересечены прямой, перпендикулярной его
биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой,
равны.
Пример:
Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L.
На прямой L найти такую точку С, чтобы сумма расстояний
АС и ВС была наименьшей.
Отрезок АС перпендикулярен прямой L
и делится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на
прямой L. Доказать, что точка В находится на одинаковом
расстоянии от точек А и С.
Такая подготовительная работа важна в начале обучения решению задач
потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между
различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя
допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать
насыщенной, но посильной.
Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на
построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная)
будет сведена к математической.
В некоторых случаях к одной и той же задаче полезло обращаться несколько
раз, с тем чтобы показать учащимся различные способы ее решения.
В ряде случаев различные по содержанию практические задачи сводятся к
одной и той же математической. Так, решение следующих двух задач сводится к
решению первой задачи предыдущего примера.
В каком месте следует построить переправу, чтобы
расстояние от пункта А до пункта В было наименьшим (рис. 19).
Шириной реки в данном случае пренебрегаем.
Луч из источника света А отражает от экрана Е так, что
отраженный луч проходит через точку В. Найти точку экрана, в которой отразился
луч света.
Еще пример (первая задача – геометрическая, три
последующие – практические):
Две точки А и В расположены по одну сторону прямой МN. На
этой прямой найти такую точку С, чтобы АСМ = ВСN.
В какую точку нужно направить луч света из точки А,
чтобы он, отразившись от непрозрачного экрана а, попал в точку В (рис 20)?
Рис.
19 Рис. 20
В какую точку нужно направить упругий шар А, чтобы он,
отразившись от упругой стенки, прошел через точку В (рис. 20)?
К двум точкам А и В подвешена гибкая нерастяжимая
нить, на которую надето тяжелое кольцо. Найти положение равновесия кольца на
нити.
Часто оказывается, что математическая задача весьма проста, но если
вложить в нее практическое содержание, то она становится недоступной. Поэтому
полезно в VI–VIII классах рассматривать с учащимися примеры
того, как различные практические задачи сводятся к одной и той же
математической.
Большое образовательное значение имеет ознакомление
учащихся с приборами, применяемыми на практике при решении некоторых
конструктивных задач. Обычно эта работа проводится после решении
соответствующих задач на построение. Так, например, после рассмотрения свойства
перпендикуляра, проведенного к хорде через ее середину, учащимся предлагается
найти центр изображенной на чертеже окружности (возможный порядок решения
задачи дан на рис. 21 и 22).
Рис. 21
Рис. 22
Анализ.
Анализ – это важный
этап решения задачи, так как здесь мы составляем план построения, по существу,
находим решение. Устанавливаются такие зависимости между данными и искомыми
элементами, которые дают возможность построить искомую фигуру. При обучении
решению задач па построение целесообразно подчеркивать аналогию, существующую
между отысканием решения задач по арифметике, алгебре и геометрии ни вычисление
и доказательство и анализом задач на построение. Ученик не должен считать, что
для нахождения решений задач на построение нужны совершенно новые приемы.
Поэтому следует помочь ученикам увидеть аналогию в применяемых приемах для
отыскания решении задач на построение и задач из других дисциплин.
При решении задач по алгебре на составление и решение
уравнений мы устанавливаем такие зависимости между искомыми и данными
величинами. Вначале внимательно изучается условие задачи, рассматривается
смысл той или иной данной величины. Для более трудных задач используем
иллюстрации в виде чертежа или схемы. Предполагая задачу решенной, мы некоторую
величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной.
Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии
задачи, причем из многообразия различных зависимостей выбираем те, которые
позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.
Сделаем подобный
анализ задачи на построение: «Построить треугольник, зная основание, меньший угол при
основании и разность двух других сторон».
Чтобы найти решение,
нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольники
даны. Для этого начертим произвольный треугольник А1В1С1
(рис. 25) и отметим элементы, соответствующие данным по условию.
Пусть это будет сторона А1С1 и угол С1А1В1.
Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы
должны учесть все данные, то нужно показать и разность.
Рис. 25
Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне
отложить большую от точки С1 или от точки В1 либо
на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки В1,
так и от точки А1. Если разность будет около точки В1,
то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если
же В1 А1 отложим от точки В1 на В1С1,
то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон –
будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план
решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру С1А1Д1.
Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана
решения.
Построив в
произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины
треугольника: А1 и С1. Зная
угол С1А1В1,
мы можем найти и положение точки D1, где D1А1 = В1А1 – В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1
зная положение точки D1. Так как С1В1 = В1D1, то точка В1
равноудалена от точек С1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре Р1Q1, проведенном к отрезку С1D1 через его середину. Точка пересечения прямой Р1Q1 и луча А1D1 и будет точкой В1.
Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой
откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из
сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом
этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности
двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек,
равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка.
Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей
разность, соединяем с концом основании и получаем искомый треугольник.
Из этого примера видно, что при отыскании решения задачи на построение,
как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя
от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот,
исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. Название этапа
анализ не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический
метод, подобно тому как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом,
не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при
отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном
взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
Анализ задачи связан с исходным чертежом, поэтому его необходимо
выполнять аккуратно, а фигура должна иметь наиболее общую форму. Если речь идет
о треугольнике, то нужно брать разносторонний треугольник; о трапеции, то не
равнобочную трапецию; если о четырехугольнике вообще, то и чертим четырехугольник,
который не был бы ни параллелограммом, ни трапецией. Если, например, решая
задачу на построение треугольника, выберем для анализа равносторонний треугольник,
то учащиеся вместо нужных зависимостей между данными и искомыми элементами
могут использовать и другие связи, которые возникнут у них под впечатлением
равносторонности треугольника.
Чертеж необходимо выполнять аккуратно чертежными инструментами, и лишь
после приобретения навыков в вычерчивании отрезков без линейки можно выполнять
его от руки. Навыки выполнения чертежей или рисунков от руки особенно
необходимы для учащихся, которые в будущем будут иметь дело с техникой, где они
должны уметь делать эскизы деталей. С этим они не смогут справиться, не имея
простейших навыков технического рисования и черчения.
Чертеж должен строго соответствовать условию задачи. В ряде случаев
целесообразно при анализе построение чертежа начинать не с данных, а с искомых
элементов фигуры. Если, например, искомая окружность по условию касается
некоторой прямой и некоторой окружности в данной на ней точке, то и на чертеже
для анализа мы должны видеть их касающимися. Следовательно, вначале надо
построить окружность, изображающую искомую, и пристроить касающиеся ее
произвольные прямую и окружность.
Таким образом, для отыскания решения задач на
построение первое время необходимо использовать навыки, приобретенные
учащимися при решении арифметических задач, а затем уже и навыки,
приобретенные при решении основных задач на построение и других математических
задач. Используем также теоретический материал, в том числе и специальные
методы геометрических построений.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
|
|