Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Функциональное мышление, характеризу­емое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих  идей школьного  курса математики – идеи  функции.

Как известно, одним из центральных требований начальной стадии международного движения за реформу математического обра­зования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание на развитие у школьников функционального мыш­ления, наиболее характерными чертами, которого являются:

а) представление математических объектов в движении, изме­нении;

б) операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование  причинно-следственными  связями; 

в) склонность к содержательным интерпретациям математичес­ких фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам мате­матики.

Как показывают исследования, наглядно кинематические и физические представления, лежащие в основе функционального мышления, органически сливаются с формально-логическими ком­понентами  мышления.

Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение и исследова­ние конкретных ситуаций с ярко выраженным «функциональным Содержанием».

В общем случае решение такой задачи содержит в себе три мо­мента:

1. В  изучаемом  явлении   выделяют  основные,   существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного  рода  упрощения   и  допущения.

2. Связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с чис­лами или геометрическими образами,  переходят от зависимостей между этими объектами к  математическим  соотношениям – фор­мулам, таблицам, графикам.

3. Полученные математические соотношения исследуют, поль­зуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления.

К сожалению, на практике из-за  недостатка времени нередко приходится ограничиваться неполными задачами, содержащими только некоторые из перечисленных выше элементов. Какими именно, зависит от возраста учащихся и преследуемых учителем целей.

Нетрудно обнаружить, что разновидности математического мышления являются не чем иным, как специфическими формами - проявления диалектического мышления в процессе изучения мате­матики. Можно, например, указать на тот факт, что так называемое функциональное мышление является адекватным осознанию из­менчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических понятий и соотношений, что характерно для диалектического мышления.

Известно также, что наряду с задачей развития логического мыш­ления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача – задача   воспитания   логической   гра­мотности.    Содержание   понятия   «логическая   грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают воз­можность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни. Исследования Л. Никольской показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и уме­ниями: умения определять известные понятия, классифици­ровать,  понимать смысл основных логических связок,  распозна­вать логическую форму математических предложений, доказывать утверждения и обнаруживать логические ошибки, организовывать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации, мыслить  критически,   последовательно,   четко  и   полно,   владеть основными мыслительными приемами. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только  со­ответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей   культуры  мышления.

Развитие же логического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие тео­ретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию логического мышле­ния, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования ма­терии. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сде­ланы самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя.

Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказан­ных типах мышления как о компонентах, присущих только мате­матическому мышлению, было бы неверно.

Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонен­тов математического мышления возможно и даже целесообразно, т. е. целенаправленная работа учителя по формированию у школь­ников функционального, логического, интуитивного и т. д. мышле­ния реализует задачу математического развития учащихся в целом.

Использование условной терминологии дает возможность ориен­тировать учителя на ту или иную сторону развития математиче­ского мышления у школьников в соответствующих методических рекомендациях. Так, обратимся еще раз, к примеру, упомянутому ранее. Говоря о необходимости развития у учащихся абстрактно­го мышления, можно рекомендовать учителю, приступающему к преподаванию систематического курса геометрии, начать с рас­смотрения реальной ситуации – задачи проведения трубопровода между двумя пунктами. Сам трубопровод представляет собой ре­альный объект, обладающий самыми различными, важными в практическом смысле свойствами: весом отдельных звеньев, ка­чеством металла, размерами, формой, протяженностью, качеством покрытия, пропускной способностью и т. д.

Начиная проектировать строительство трубопровода, инженер-конструктор, прежде всего, будет интересоваться протяженностью и трассой, по которой он будет проложен. На этом уровне конструктор отвлекается от всех других свойств этого объекта, обращая вни­мание лишь на названные выше свойства; возникает абстракт­ная модель трубопровода в виде геометрической линии. Руководствуясь оптимальными условиями эффективной работы трубопровода, инженер начинает изучать вопрос о необхо­димой для этого форме и размерах трубопровода, не интересуясь теперь тем, по какой трассе он будет проложен. Возникает новая абстрактная модель этого же объекта, представленная в виде геометрического тела. Прораб, который руководит обкладкой трубопровода изоляционным материалом (или окраской трубопровода, защищающей его от коррозии), имеет дело уже с другой абстрактной моделью трубопровода: он рассматривает его как геометрическую поверхность. Решение этой и других аналогичных ей задач устанавливает полезность рассмотрения среди многообразных свойств объекта таких свойств, как размеры, форма и положение в пространстве. Возникает целая отрасль научного знания об объек­тах реальной действительности, в которой изучаются именно эти свойства реальных объектов, называемая геометрией.

Таким образом, тезис В. И. Ленина о том, что «диалектика вещей создает диалектику идей...»,  имеет отношение, но только к анализу природы абстракции, но и к методам обучения математике. Говоря о том, что в процессе обучения математике необходимо развивать абстрактное мышление школьников, мы, в частности, имеем в виду широкое использование методических приемов, аналогичных вышеприведенному.

В состав математического мышления включаются мыслит ильные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике от выступают не столько как методы математической деятельно­сти, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения учащимися математики и развития у них качеств, присущих ма­тематическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпириче­ского    и    научно-теоретического   мышления.

Наряду со спецификой математического мышления справедливо P3Дичать специфику физического, технического, гуманитарного и других видов мышления. Именно в силу этой специфики в про­цессе познания конкретных наук (и обучения конкретным учебным предметам) активизируется развитие того или иного компонента мышления вообще, усиливается роль того или иного приема мы­слительной деятельности, того или  иного метода  познания.

Формирование математического мышле­ния школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного позна­ния, в органическом единстве с формами проявле­ния мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.

В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных пред­мета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обу­чение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышле­ния, которые с точки зрения математического образования счи­таются второстепенными.

Органическое сочетание и повышенная активность разнообраз­ных компонентов мышления вообще и различных его качеств про­являются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческо­го характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.

1.3. Развитие мышления при обучении математике.

1.3.1. Средства и условия развития мышления.

Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.

Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, – это процесс.

Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение – «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.

Внутренние закономерности мышления – это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.

Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.

Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождают­ся процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.

Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, соглас­но рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предпола­гает аналитико-синтетическую деятельность относительно реша­емой и решенной задачи. Использование вспомогательной зада­чи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходи­мое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогатель­ную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обоб­щенность результата решенной задачи. Если, например, учащие­ся, изучившие теорему Пифагора, не могут перенести ее условия на ситуацию, связанную с ромбом, значит, ими не проведена аналитико-синтетическая деятельность по анализу задачи, выделе­нию главного, определяющего метод решения задачи.

Содержанием процесса переноса является анализ через син­тез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.

Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концеп­ции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получа­ется?

Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина – В.В. Давы­дова касаются всех сторон обучения. Это – создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, измене­ние форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктует­ся основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, соглас­но концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую законо­мерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теорети­ческие обобщения возникают не путем простого сравнения пред­метов, а с помощью выявления генетической основы всех конк­ретных проявлений целостной системы.

Основная форма организации изучения материала в этой тео­рии – постановка и решение учебных задач в рамках проблемно­го подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами кон­цепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение поня­тия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений/анализиро­вать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.

Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения част­ных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решает­ся для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной зада­чи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.

Эта ориентировочная основа является основанием для анали­за условия, планирования, осуществляемых учеником при реше­нии частных задач, для рефлексивных действий, для развития со­ответствующих особенностей мышления, которые являются по­казателями развитого мышления.

Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя ис­ходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вто­рых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обу­чение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из за­труднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.

Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обу­чения - в организованном процессе передачи старшим поколени­ем младшему своего опыта.                                      

Многие педагоги и психологи в качестве важнейшего показа­теля развития личности выделяют наличие систематизированных знаний, накопление фонда знаний относят к одной из важнейших задач умственного воспитания, считают, что если школа не доби­вается от учащихся глубоких, прочных знаний, то она не может развивать мышление и творческие способности. Знания как пред­мет обучения являются лишь одной из целей обучения, но этот такая цель, в которой концентрируются другие цели обучения. Без знаний не может быть умений. Знания являются предпосылкой, средством и результатом творчества. Без глубоких систе­матизированных знаний невозможно формирование мировоззре­ния. Достаточно полный и систематизированный запас знаний об окружающем мире является важнейшим показателем разви­тия личности учащегося. Знания - не только фонд для осуществ­ления мышления. Усвоение содержания не есть акт простого при­своения знаний. Осознание содержания даже при предъявлении его в готовом виде объяснительно-иллюстративным методом предполагает понимание его внутренней логики, различных вза­имосвязей элементов знаний, соотнесение новых знаний с имею­щейся системой знаний, ее дополнение, изменение. Усвоение зна­ний при любых методах обучения предполагает осуществление мыслительных операций, заложенных в содержании, результа­том выполнения которых и является осознание содержания. Логика содержания в значительной мере определяет логику позна­ния. И развитие происходит при всех формах передачи знаний, хотя и в разной степени. При передаче знаний также предполага­ется и деятельность прогнозирования при восприятии материала, предвосхищение взаимосвязей в этом материале. Происходит со­поставление нового с собственным опытом, критический его ана­лиз. Возникают различные аналогии. И если ученик впервые в каком-либо содержаний встречается, например, с отношением транзитивности и понимает его в соответствующем контексте, то это хоть и небольшое, но продвижение в развитии его мышления.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15