Композиции преобразований
Рис. 13
Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX2 при гомотетии HOk: HOk(S)=S1. Тогда =, поэтому точка S при заданной композиции неподвижна,
кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что =k, =k(т.к. треугольники SOX и X1XX2 подобны), искомая композиция
является гомотетией HSk.
Таким образом, ◦HOk=HSk. (4)
Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.
Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции
гомотетий f=HBm◦HAk. Пусть HAk (X)=X1, т.е. по определению
гомотетии =k, HBm(X1)=X2, т.е. =m (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии HBm: HBm(A)=A1, т.е. =m. Таким образом, отрезок A1X2 – это образ отрезка AX после применения данной композиции,
при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия
треугольников ABX1 и A1BX2). Если прямые AA1 и XX2 пересекаются (обозначим точку
их пересечения C), тогда, рассматривая
подобные треугольники ACX и A1CX2 , выразим вектор :
==, при этом =m=km.
Рис. 14
Следовательно, = km. Точка C не зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:
HBm◦HAk=HCkm. (5)
Если прямые AA1 и XX2 не пересекаются, т.е. =, то km=1, следовательно, композиция f есть перенос пространства:
HBm◦HAk=. (6)
Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.
Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.
Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде
композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то,
учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся
композицию в следующем виде: f=HBm◦Rhb◦Rla◦HAk.
Рассмотрим несколько случаев.
1)Если оси поворотов h и l параллельны, и при этом сумма углов не равна 2p, то композиция поворотов
является поворотом Rna+b , где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=HBm◦Rna+b◦HAk, при этом композиция Rna+b◦HAk является по определению
подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде HDk◦Rpa+b. И равенство f=HBm◦Rna+b◦HAk эквивалентно равенству f=HBm◦HDk◦Rpa+b . По формуле (5) HBm◦HDk=HCkm (при km¹1), значит f=HCkm◦Rpa+b, а это по определению
подобие. При km=1 по формуле
(6) HBm◦HDk=, и f=◦Rpa+b, а это, в общем случае,
винтовое движение.
2)Если же при параллельных осях данных поворотов h и l сумма углов равна 2p, то композиция поворотов Rhb◦Rla является переносом пространства , и в этом случае f=HBm◦◦HAk. Композиция ◦HAk согласно выводу (4) есть
гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k: ◦HAk=HСk. Следовательно, f=HBm◦HСk, а это гомотетия пространства
(согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).
3)Если прямые h и l пересекаются, то композиция поворотов
Rhb◦Rla является поворотом Rnw. И нахождение композиции f сводится к случаю 1.
4)Если оси h и l скрещиваются, то композиция
поворотов Rhb◦Rla является винтовым движением,
следовательно, композиция Rhb◦Rla◦HAk является подобием пространства,
которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rhb◦Rla◦HAk=Rnw◦HСn. Тогда нахождение f сводится к случаю 1.
Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение
коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или
гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2p), в тривиальном случае, когда
произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта
композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.
Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований
пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований
пространства также является аффинным преобразованием.
Литература
1. Гусев
В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение»,
1979.
2. Понарин
Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.
3. Понарин
Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.
4.
Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
|
|