Рис. 9а                                                          Рис. 9б  

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sb является поворотом Rhj (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j=2Ð(b, c) (рис. 9б). Тогда и композиция Sl◦Sa является этим же поворотом Rhj, значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l, точка пересечения A которых принадлежит оси h, и ориентированный угол между a и l равен углу поворота j.     

Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c, пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c. Ось l удовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых a и h принадлежит l, l параллельна плоскости (b, c), ориентированные углы Ð(a,l)=Ð(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A.

Если прямые b и c скрещиваются, то композиция Sc◦Sb является винтовым движением Rh2j◦, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор  коллинеарен оси h, угол j  равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства (*) композиция Sl◦Sa является этим же самым винтовым движением: Sl◦Sa=Rh2j◦, то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l, и угол Ð(a, l)=j .

                                              Рис. 9в

Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.   

Задача 10.  Композиция трех осевых симметрий есть перенос: Sc◦Sb◦Sa=. Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция Sc◦Sb является переносом . Тогда ◦Sa=, полученное равенство эквивалентно равенству Sa=◦ или Sa= (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция Sc◦Sb◦Sa при параллельных b и c не может быть переносом.      

         Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sb является поворотом Rhj, где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h, и угол j=2Ð(b, c). Тогда исходная композиция Sc◦Sb◦Sa= будет эквивалентна следующей композиции Rhj◦Sa=. Такое возможно только, если поворот Rhj является осевой симметрией пространства, т.е. угол  j=±p , при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости (b, c), а прямые b и c перпендикулярны между собой.

Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a, b и c были попарно перпендикулярными.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9