Рис. 7                                             Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: ZO◦Sa= Sl◦.                                                                                    (3)

Задача 8. Найти композицию ZO◦Sa◦Sl , если прямая l параллельна плоскости a и точка О лежит в a.

Решение. На основании (3) композиция ZO◦Sa в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что ОÎa, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa , где a^a и OÎa (рис. 8). Тогда ZO◦Sa◦Sl=Sa◦Sl, причем a^l.

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением Rhj◦, угол j которого равен 2Ð(a, l)=p, ось h – общий перпендикуляр прямых a и l, вектор =2, где L=lÇh, A=aÇh (см. [3], с. 19). 

Если прямые a и l пересекаются, то =, и композиция Sa◦Sl является осевой симметрией Sh , где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l.

1.4.                     Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: Sc◦Sb◦Sa=Sl. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству Sc◦Sb◦Sa=Sl эквивалентно равенство 

                                 Sc◦Sb=Sl◦Sa .                                                     (*)

Если прямые b и c параллельны, то Sc◦Sb=. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: Sl◦Sa=. А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, c параллельны, то все оси a, b, c и l попарно параллельны (рис. 9а).