Рис. 11

Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f=SDH◦SDF◦SDE. Движение f – это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция SDH◦SDF◦SDE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.

Задача 12. Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняется неравенство:

                    Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)<180°.

Решение. Обозначим через DE, DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA, DB и DC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC – прямой, то прямые DB и DC перпендикулярны, и SDC◦SDB=SDA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии SDA:  

SDA(DF)=(SDC◦SDB)(DF)=SDC(DO)=DH, кроме того SDA(DO)=DE.

Следовательно, Ð(DO, DF)=Ð(DE, DH). Аналогично можно  доказать, что Ð(DO, DE)=Ð(DF, DH)  и Ð(DO, DH)=Ð(DE, DF).

                                              Рис. 12

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

                   Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC) =

= Ð(DO,DE) + Ð(DO,DF) + Ð(DO,DH) = (  Ð(DF,DH) + Ð(DE,DH) +

+ Ð(DE,DF) ). Лучи DE, DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма  Ð(DF,DH)+Ð(DE,DH)+Ð(DE,DF)<360°.

Таким образом, Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)<180°. 

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства

Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.

Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: ◦HOk.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения искомой композиции. Пусть X1 – образ X после применения HOk: HOk(X)=X1, а точка X2 – образ X1 после применения переноса: (X1)= X2. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор  (рис. 13).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9