Композиции преобразований

Композиции преобразований

Оглавление

Предисловие...................................................................................... 3

Введение............................................................................................ 4

§1. Композиции движений пространства.......................................... 4

1.1.               Основные композиции движений пространства............ 4

1.2.               Композиции центральных симметрий пространства..... 9

1.3.              Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................. 11

1.4.               Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5.              Применение композиций движений

пространства к решению задач....................................... 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства ............................................................................... 18     

Литература........................................................................................ 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3]. 

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j= g◦f.    

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1°. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

                      h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.

2°. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.  

§1. Композиции движений пространства

1.1.                     Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота Rlj  и переноса   пространства при условии, что вектор  и ось поворота l не параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

                   Rlj = Sb◦Sa , где a^l, b^l, Ð(a, b)=  (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), aÇbÇl=O и =Sv◦Su , где u║v, u^. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда  ◦Rlj=Sv◦Su◦Sb◦Sa=Sv◦Sa . Если вектор  не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между  a и b, т.е. равен . Композиция Sv◦Sa есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2, где P=aÇm, Q=vÇm, m║l. Итак,

                    ◦Rlj  =◦Rlj  , m║l.

Если ^l, прямые a и v пересекаются, поэтому =, и искомая композиция является поворотом Rmj . Если при этом j =p, то имеем, что ◦Rlj  = Sm, ^l, m║l.

                                       Рис. 1

Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства Rbb◦Raa.

Решение. Сначала найдём композицию Rbb◦Raa двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

           Raa=Sh◦Su ,    Rbb=Sv◦Sh , u^a, u^b, uÇhÇa=A,   vÇhÇb=B,

Ð(u, h)=, Ð(h, v)=  (рис. 2). Тогда 

                     Rbb◦Raa=Sv◦Sh◦Sh◦Su=Sv◦Su. Оси u и v скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий  Sv◦Su есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямых u и v, угол w=2Ð(u, v), а вектор =2, где P=uÇl, Q=vÇl.