Рис. 3                         

Если плоскости  a, b, g  попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Zo.

Рассмотрим случай, когда плоскости a, b, g  исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a║b║c. Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f=Sg◦Sb◦Sa индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a, b, g. А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором . Поэтому, учитывая род композиции, композиция  f  есть переносная симметрия пространства с вектором  и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a, b, c.

1.2.                     Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4.  Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами  A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции ZB◦ZA:

                       (ZB◦ZA)(M)=P (рис. 4).

                                       Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: =2. Точки A и B заданы, следовательно, вектор  - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий ZB◦ZA есть параллельный перенос на вектор  2:

                                                  ZB◦ZA=.                                       (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса    в пространстве. Представим перенос  как композицию двух центральных симметрий: =ZB◦ZO, где =. Следовательно, ◦ZO=(ZB◦ZO)◦ZO .  Это равенство эквивалентно равенству:             

                                                 ◦ZO=ZB .                                           (2)

Таким образом, композиция центральной симметрии ZO и переноса  есть центральная симметрия ZO , центр которой определяется условием =.

в) Найдем композицию  трех центральных симметрий пространства f=ZC◦ZB◦ZA . Композицию  ZC◦ZB представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): ZC◦ZB=. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=◦ZA. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO , центр О которой определяется условием =. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1)                     композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2)                     композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин  параллелограмма ABCD.

Решение. Требуется найти композицию f=ZD◦ZC◦ZB◦ZA (рис. 5).

                                    Рис. 5

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9