Композиции преобразований

Если b и c скрещиваются, то композиция Sc◦Sb является винтовым движением Rhj◦, где h – общий перпендикуляр прямых b и c, угол j=2Ð(b, c), =(рис. 10).

                                                 Рис. 10                                                         

Следовательно, Sc◦Sb◦Sa= эквивалентно равенству Rhj◦=◦Sa. А это возможно, если угол j=±p, и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c. Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.

1.5.    Применение композиций движений пространства к решению задач

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE, DF – биссектрисы плоских углов  ADB и  BDC, DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. ÐDAE=ÐEDC, ÐBDF=ÐFDC, ÐCDH=ÐHDK (рис.11).