1.             Четырехугольник, стороны которого попарно параллельны.

2.             Фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.

3.             Сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу.

4.             Одно из основных геометрических понятий.

5.             Положение, принимаемое без доказательства в силу непосредственной убедительности.

6.             Длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон.

7.             Величайший математик древности, родом из Сиракуз.

8.             Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.

9.             Длина отрезка, соединяющего точку окружности с центром.

10.         Часть круга, ограниченная дугой и ее хордой.

11.         Прибор для построения и измерения углов на чертежах.

12.         Параллелограмм с равными сторонами.

13.         Прямая линия, делящая угол пополам.

14.         Метод исследования, состоящий в расчленении целого на составные части.

15.         Вывод.

Ответы: 1. Параллелограмм. 2. Многоугольник. 3. Катет. 4. Точка. 5. Аксиома. 6. Апофема. 7. Архимед. 8. Диаметр. 9. Радиус. 10. Сегмент. 11. Транспортир. 12. Ромб. 13. Биссектриса. 14. Анализ. 15. Заключение.

8-й конкурс: «Рисуем по координатам» (участвуют ученики 7-го класса).

   Каждому участнику предлагается карточка с набором координат. По команде они начинают отмечать данные точки на своих координатных плоскостях и соединять их по очереди прямыми линиями. В результате должна получиться картинка. Оценивается правильность и быстрота.

   Карточка с заданием:   ([9])

(1,5; 5,5); (2,5; 3,5); (2; 3); (2,5; 3); (3; 3,5); (3; 4,5); (2,5; 5,5); (3,5; 6); (2,5; 6,5);

(3; 7); (2,5; 7); (2,5; 7,5); (2; 7); (2; 8); (1,5; 7); (1,5; 8,5); (1; 7); (1; 6,5); (0,5; 6);

(0,5; 5); (-0,5; 4); (-2,5; 3); (-4,5; 4); (-5; 5); (-4,5; 6); (-5,5; 8); (-6,5; 8,5); (-7,5; 8)

(-8,5; 7); (-9; 6); (-9; 4); (-8,5; 2,5); (-8,5; 1); (-8; 0); (-8; 1); (-7,5; 0,5); (-7,5 2);

(-7; 0,5); (-6,5; 1,5); (-5,5; 0,5); (-4,5; 0); (-3,5; -2,5); (-3; -3); (-3; -5,5); (-4; -5,5);

(-3; -6); (-2; -6); (-2,5; -5,5); (-2,5; -4); (0; -1); (0; -0,5); (1; 0); (2,5; 1,5); (2,5; 2,5);

(2; 3).

Крыло: (-0,5; 3); (-0,5; 2,5); (-1,5; 1); (-2,5; 1); (-5; 2,5); (-4,5; 3); (-5; 3,5); (-4,5; 3,5).

Глаз: (1,5; 6,5).

                                                                                                  (Ответ: «Петух»)

9-й конкурс: «Черный ящик» (участвуют ученики 8-го класса).

   В черном ящике находится предмет, связанный с математикой (шахматы). Участникам будут заданы наводящие 9 вопросов-подсказок относительно предмета в ящике. Выигрывает тот, кто первым угадает содержимое черного ящика.

   Вопросы-подсказки:

1.          Историк ХХ века Роуз сказал: «Это задушевная беседа без слов, лихорадочная активность, триумф и трагедия, надежда и отчаяние, жизнь и смерть, поэзия и наука, Древний Восток и современная Европа».

2.          Источник множества интересных математических задач. Термины из этой области можно встретить в литературе по комбинаторике, программированию, кибернетике.

3.          Когда в каждой семье можно будет найти эту игру, появится надежда на то, что со временем исчезнет скудность истинных государственных умов.

4.          Родина – Индия. Возраст – ХV столетий. Имя изобретателя неизвестно. Древнее старинное название – чатуранга.

5.          Уроженец Праги по имени Стейниц первым прославил свое имя в связи с этой игрой.

6.          Это постоянный спор «двух К».

7.          Это дворцовая жизнь в миниатюре.

8.          Эта игра связана  населенным пунктом.

9.          На квадратиках доски

Короли свели полки.

Нет для боя у полков

Ни патронов, ни штыков.                     

Исторический комментарий:

 Известен интересный исторический факт: 16 декабря 1776 г. произошло крупное сражение при Тринстоне между британской армией во главе с генералом Ролем и восставшими североамериканских колоний. Генерал Роль забыл прочесть донесение от своих разведчиков, т.к. был занят игрой. И битва была проиграна. Он играл в шахматы!                                  ([6], стр. 19)

10-й конкурс: «Нарисуй, не глядя» (участвуют ученики 7-го класса).

   Участникам завязывают глаза. Прослушав подсказку, ребята начинают рисовать. Рисование производится мелом на доске. Выигрывает тот, кто правильно и лучше нарисует.           ([7], стр. 19)

   Подсказка:

Меня очень часто ты видишь вокруг:

Углы все прямые имею я, друг.

Ты в руки коробочку спичек берешь,

Меня ты, дружок, узнаешь?

                                                           (Ответ: прямоугольный параллелепипед.)

  В конце игры подводятся окончательные итоги.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТРОЕБОРЬЕ

СОФИЗМЫ

НАЙТИ ОШИБКИ:

2 • 2 = 5

Имеем числовое равенство: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части общий множитель. Получим: 4 . (1 : 1) = 5 . (1 : 1) => 4 = 5.

4 РУБ. = 40000 КОП.

Имеем 2 руб. = 200 коп. Возведем его по частям в квадрат. Получим: 4 руб. = 40000 коп. 

ВСЕ ЧИСЛА РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ

Пусть а # в. Имеем  m2 – 2mn + n2 + n2 – 2mn + m2 => (m - n)2 = (n - m)2  => m – n = n – m  =>  2m = 2n  =>  m = n. 

ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАВНО 0

Пусть п – данное число. (+ п)2 = п2 и (- п)2 = п2  =>  (+ п)2 = (- п)2  =>  + п = - п  =>  2п = 0  =>  п = 0.

ИЗ ТОЧКИ НА ПРЯМУЮ МОЖНО ОПУСТИТЬ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРА

Пусть дан ∆ АВС. На АВ и ВС как на диаметрах строим окружности. Пусть полуокружности пересекают АС в точках Е и Д. Соединим Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ = 90о, угол ВДС = 90о. →  ВЕ ┴ АС и ВД ┴ АС.

1 = 2

Имеем равенство: 3 – 1 = 6 – 4. Обе части этого равенства умножим на (- 1): 1 – 3 = 4 – 6. К обеим частям равенства прибавим  :  1 – 3 +  = 4 – 6 + . Обе части представляют собой квадраты разностей: (1 - )2 = (2 - )2. Из обеих частей равенства извлекаем квадратный корень: 1 -  = 2 - . К обеим частям равенства прибавим :

1 = 2.

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ     х – 1 = 2   РАВЕН  5

Рассмотрим уравнение  х – 1 = 2. Умножим обе части равенства на  х – 5 и получаем   х2 – 6х + 5 = 2х – 10. Вычтем из обеих частей число  х – 7 и получим  х2 – 7х + 12 = х – 3. Разделим обе части на  х – 3 и получим  х – 4 = 1. И, когда, наконец, к обеим частям равенства прибавим 4, получим  х = 5.

КАЖДОЕ ЧИСЛО РАВНО СВОЕЙ ПОЛОВИНЕ

Известно, что (а + в)(а - в) = а2 – в2. Тогда (а + а)(а - а) = а2 – а2 = а (а - а). Разделим обе части на (а - а) и получим  а + а = а, т.е. 2а = а, откуда  а = а.

НУЛЬ БОЛЬШЕ ЛЮБОГО ЧИСЛА

Пусть а > 0. Тогда  а – 1 < а. Умножим обе части неравенства на (- а):  - а2 + а < - а2. Прибавим к обеим частям а2 :  а < 0.

65 = 64

Возьмем квадрат произвольной величины и разделим его стороны на 8 частей. Проведя линии, параллельные сторонам, получим 64 маленьких квадратика, заполняющих большой квадрат.

Квадрат этот разделим на четыре части , для которых выполняется попарное равенство. Если мы затем уложим эти части так, как указано на рисунке, то получим прямоугольник, в котором будет, как это легко проверить, 65 квадратиков. Следовательно, 65 = 64.

КАЖДЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК – РАВНОБЕДРЕННЫЙ

Пусть дан ∆ АВС. Проведем биссектрису угла В и линию симметрии отрезка АС. Если эти две прямые не пересекутся, то они сольются в одну линию, и тогда сразу окажется, что выбранный треугольник равнобедренный, а именно АВ = ВС. А если же пересекутся, то или внутри треугольника, или вне его.

При первом предположении из точки I опускаем перпендикуляры IE и IF, а также проводим линии AI и CI. Два прямоугольных треугольника BIE и BIF имеют равные углы при вершине В и общую сторону BI, а значит, они равны; следовательно, BE = BF. Два других прямоугольных треугольника AIF и CIF также равны, т.к. у них равны гипотенузы IA и IC, а также IE = IF. Отсюда следует, что AE = CF. Если теперь к двум равным отрезкам BE = BF прибавим два равных отрезка EA = FC, то в сумме получим также два равных отрезка, а именно ВА = ВС. Следовательно, треугольник АВС равнобедренный.

Исходя из другого предложения, поступаем аналогично и получаем такой же результат, с тем лишь отличием, что вместо складывания двух пар равных отрезков нам приходится вычитать такие отрезки; полученная разность обнаружит, что в этом случае произвольно взятый треугольник является равнобедренным.

В КАЖДОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ОДНА СТОРОНА РАВНА СУММЕ ДВУХ ОСТАЛЬНЫХ

Пусть в произвольном треугольнике АВС точки К, М, Р будут серединами его сторон. Проводим линии КР и МР. Известно, что КР = ВС = ВМ и МР = АВ = ВК. Таким образом, длина ломаной линии АКРМС равна АВ + ВС. Если этот же прием повторим в обоих только что полученных треугольниках, то, несомненно, длина ломаной линии АЕНХРОТУС (Е – середина АК, Н – АР, Х – КР, О – МР, Т – РС, У – МС) будет равна АКРМС, т.е. АВ + ВС. Если этот прием будем повторять бесконечное число раз, то заметим, что вершины этой ломаной линии будут приближаться к линии АС, и, в конце концов, ломаная линия сольется с линией АС. Следовательно, АС = АВ + ВС.

(софизмы взяты из книг [1] и [])

§4. ЧЕТВЕРТЫЙ ДЕНЬ ОЛИМПИАДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРЕЛЬБА

Цели:

-            развитие математической способности, сообразительности, любознательности, интереса к математике, коммуникативных возможностей учащихся в процессе игры;

-            укрепление памяти учащихся, интереса к математике;

-            знакомство учащихся с историческими сведениями, с новыми знаниями из курса математики.

Оборудование: мишень, дротик, набор задач.

Особенности игры: Игра предназначена для учащихся 7-8 классов. Участвуют 3 команды по 8 человек.

Правила игры: Представителю каждой из команд нужно метнуть дротик и попасть в один из секторов. В связи с этим команда получает задание, на обдумывание которой отводится 1 минута. За правильный ответ команда получает то количество баллов, которое написано на данном секторе. Если команда не дала ответа или дала неправильный, то одна из команд-соперниц может ответить и получить половинный балл. Команды по очереди бросают дротик, выполняя по 5 «выстрелов». Выигрывает команда, набравшая наибольшее количество баллов.

Мишень для стрельбы может выглядеть следующим образом:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРЕЛЬБЫ   ([5], стр. 23-24)

10 БАЛЛОВ:

1.       Два ученика играли в шахматы 40 мин. Сколько минут играл каждый?           (40 мин)

2.       Число, выражающее дюжину.                                                                                      (12)

3.       Ты да я, да мы с тобой. Сколько нас всего?                                                         (Двое.)

4.       В каком слове сорок «а»?                                                                                   (Сорока.)

5.       Назовите первые «математические знаки».                                               (Это цифры.)

6.   Чем в математике выражают результат счета или измерения?                     (Числом.)

20 БАЛЛОВ:

1.       У меня две монеты на общую сумму 15 к. одна из них не пятак. Что это за монеты?

                                                                                                                                (10 к. и 5 к.)

2.       В какой системе счисления мы выполняем арифметические действия? (В десятичной.)

3.       У Юры и Саши было поровну значков. Потом Юра отдал Саше два значка. На сколько больше значков стало у Саши?                                                                                     (На 4.)

4.       Какие цифры мы, как правило, используем: арабские или индийские?        (Индийские.)

5.       Истинным или ложным утверждением является софизм?                                 (Ложным.)

6.       Число, открытое Архимедом.                                                             (Число «пи»,p » 3,14.)

30 БАЛЛОВ:

1.       Кто «подчинил» алгебру геометрии, т.е. вывел геометрию на первое место?              

                                                                                                                                         (Евклид.)

2.       Название какого раздела математики происходит от греческого слова «число»?

                                                                                                                               (Арифметика.)

3.       Кто впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные?

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19