Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе
Говоря о
способностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня ¾ учебные и творческие.
Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения
деятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способности
связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых
способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например,
способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности.
Но, как писал Ж. Адамар, “между работой ученика, решающего задачу …, и
творческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичного
характера” (2, с. 27).
Но прежде чем
перейти к вопросу о математических способностях и их структуре, важно указать,
что в психологии различают общие умственные способности и специальные
способности. Общие умственные способности ¾ это способности, которые
необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К
общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как
умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание.
Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается
на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности. Как
отмечает В.Д. Шадриков, “специальные способности есть общие способности,
приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности” (102,
с.239). Специальные способности ¾ это способности, которые
необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной
деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных
способностей. Например, в составе математических способностей большую роль
играет математическая память; способность к логическому мышлению в области
количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение
математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной
операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности
рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой
способностью ¾ математической направленностью ума (под которой понимают
тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения,
функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической
деятельности.
1.2 Математические
способности и их структура
Так в чем же
заключаются математические способности? Или они есть ни что иное, как
качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то
есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к
математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным
или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре
математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы
на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет
единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться
в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов,
работавших над этой проблемой.
Пытаясь
разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской
выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает
свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для
успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое
воображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу,
необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второй
составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные
мыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется в
бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину”
(65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из
характерных свойств математической способности ¾ “способность обнимать
умом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие ¾ это способность
объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) ¾ и, наконец, быстроту
математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе
математической способности следует резко отличать склонность к известному роду
занятий от способностей (65, 66).
А. Пуанкаре
пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает
умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи.
Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По
мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить
порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для
математического доказательства. Наличие интуиции такого рода ¾ есть основной элемент
математического творчества (74).
Л.А. Венгер
относит к математическим способностям такие особенности умственной
деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то
есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах;
способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней
детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).
Б.А. Кордемский
не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического
мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему,
стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи),
гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных,
оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с
постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42,
43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми
понимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении
трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при
решении задач”(42, с.34).
Для того
чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике,
исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения
задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности
математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов
структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу.
При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не
может быть единственной ярко выраженной математической способности ¾ это совокупная
характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов:
восприятия, мышления, памяти, воображения.
Среди
наиболее важных компонентов математических способностей выделяются
специфическая способность к обобщению математического материала, способность к
пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые
исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента
математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения
задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так
определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики
мы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенности
умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической
деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого
овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое,
легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики”
948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования
именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний
день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально
обоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентов
математических способностей):
Способность к
формализации математического материала, к отделению формы от содержания,
абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм
и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
Способность
обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от
несущественного, видеть общее во внешне различном;
Способность к
оперированию числовой и знаковой символикой;
Способность к
“последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”,
связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
Способность
сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
Способность к
обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход
мысли);
Гибкость
мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой,
свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
Математическая
память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из
особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные
структуры, логические схемы;
Способность к
пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием
такой отрасли математики, как геометрия.
Большинство
психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно
на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе
различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих
способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и
другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали
результаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил у
способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и
расширил компонент структуры математических способностей, называемый в
современной психологической литературе “обобщение математических понятий” и
высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к
обобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможно
видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания
учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении
учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что
почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся
стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере,
рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил
особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям,
противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьников
отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными с
предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда и
вступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математического
поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них
элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом,
побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их
великий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способных
учеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что
“подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для
учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к
успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои
силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики и
решение которых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное
влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам
свидетельствует о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у
них способностей к успешным занятиям математикой. Отмечается и такая
характерная особенность способных к математике учащихся, как переувлечение
математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса
математических размышлений. Как правило, для переключения на новую, не
математическую работу увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо
больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к такого рода
занятиям. Одним из характерных признаков повышенных математических способностей
учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и
относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при
доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в
значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления
учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у
разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и
на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их
математическому мышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает
особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им
сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике,
улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать
малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций.
Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному
решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и
семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие
логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов,
свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического
предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике.
Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую
очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с
эстетическим складом математического мышления могут служить существенным
признаком наличия математических способностей у школьников. Следует отметить и
сравнительно большую скорость продвижения способных учащихся в овладении
математическими знаниями и повышенную быстроту решения математических задач.
Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость
восприятия и усвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой
вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием
наличия математических способностей, следует рассматривать это условие, как
компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная
ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец,
выделяется такой компонент структуры математических способностей, как
характерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболее
способные к математике в процессе математической работы ориентируют свое
мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на
запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не
только отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их друг
с другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко
определить логическое место новых познаваемых фактов в общей системе
определенных математических знаний.
Помимо
указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно
развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления
математической деятельности является производным определенного сочетания
качеств:
Активного
положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься
ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.
Ряда
характерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности,
самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивых
интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной
работы, радость творчества, открытия и так далее.
Наличия во
времени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических
состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего
“психического” самочувствия и так далее.
Определенного
фонда знаний, умений и навыков в соответствующей области.
Определенных
индивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах,
отвечающих требованиям данной деятельности.
Таким
образом, под способностями к изучению математики мы будем понимать
индивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебной
математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях
успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности
относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками
в области математики.
1.3
Выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном
возрасте
Способности
человека не бывают даны от рождения в готовом виде. Не подлежит сомнению, что
все способности, в том числе и математические, развиваются в процессе
взаимодействия ребенка с окружающим миром, под влиянием обучения и воспитания в
самом широком значении этих слов. Не менее несомненно и то, что даже в
относительно одинаковых условиях жизни и деятельности психические свойства
детей неодинаковы и развиваются в разной степени. Известно, что способности
детей развиваются по многим направлениям. Ребенок овладевает бытовыми навыками,
речью, в дальнейшем ¾ знаниями основ наук, трудовыми умениями, то есть
всем необходимым для жизни в обществе. При этом школьники, осваивая самые
различные учебные предметы, обнаруживают не только те или иные специальные
данные, но и широту своих возможностей.
Математические
способности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессе
становления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенности
имеют самое непосредственное отношение к формированию способностей и
индивидуальных различий по способностям. Очень важно ¾ именно в связи с
вопросом о способностях ¾ не упускать из виду, что каждый детский возраст
имеет свои особые, неповторимые достоинства. Именно в детские годы у каждого
нормального ребенка наблюдается необыкновенная любознательность (так называемый
возраст “почемучки”), свежесть и острота восприятия ¾ способность удивляться,
яркость воображения (выступающая, в частности, в творческих играх), некоторые
черты ясности, конкретности мышления и так далее. В этом плане младший школьный
возраст, начальные годы собственно учения ¾ это период накопления,
усвоения по преимуществу. Остановимся чуть подробнее на возрастных особенностях
младших школьников и их развитии для развития способностей.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
|
|