Рефераты, курсовые, доклады; Методы решения уравнений, содержащих параметр- скачать рефераты, бесплатно рефераты

Методы решения уравнений, содержащих параметр

На плоскости функция задает семейство кривых зависящих от параметра . Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. [1], [4], [5], [8], [9], [11], [16]).

Параллельный перенос

Пример. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения .

Решение. Построим график функции .

Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ. Если , то решений нет;

если , то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , 4 решения.

Поворот

Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.

Пример. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим функцию и . График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 2).

, дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно . Угловой коэффициент касательной равен . Легко находится из системы

Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при .

Ответ. .

Пример. При каких уравнение имеет решение?

Решение. Рассмотрим функцию . Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на . Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку . Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число , а ОВ — .

Ответ. При уравнение имеет 1 решение;

при остальных значениях параметра решений нет.

Гомотетия. Сжатие к прямой

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

Решение. Имеем . Рассмотрим функцию . Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами , второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше , то есть . Заметим, что есть .

Ответ. или .

Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

· Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .

· В координатной плоскости xOa строим график функции .

· Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

· Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д. (см. [1], [5], [23]).

Пример. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Рис. 4

Ответ. При уравнение имеет два корня.

Пример. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что , и – корни исходного уравнения лишь при условии . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости . На рисунке 5 искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ. При , или , или .

Опытное преподавание

Программа факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр».

Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого вида содержат задания итоговой аттестации. Курс рассчитан на систематизацию методов решения уравнений, содержащих параметр и их классификацию. Все методы, рассмотренные в данной работе, рассматривать на факультативах не имеет смысла. Необходимо рассмотреть основные методы решения наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах, а именно, методы решения квадратных уравнений, линейных, аналитический и графический методы и методы решения уравнений методом исследования области значения функции.

Цели факультатива:

познакомить учащихся с некоторыми методами решения уравнений, содержащих параметр;

показать применение различных методов при решении уравнений одного типа;

формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных типов уравнений, содержащих параметр;

формировать логическое мышление;

формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач;

развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью;

подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы.

Планирование:

Данный курс рассчитан на 16 часов. Занятия проводятся по два часа. В эти часы не входит время, предоставленное для проверки знаний и умений и повторения.

Краткое содержание занятий

Занятие № 1.

Тема: Параметр и решение линейных уравнений и простейших квадратных уравнений с параметром.

Оно проведено и рассмотрено в опытном преподавании.

Занятие № 2.

Тема: Квадратные уравнения. Дискриминант. Старший коэффициент.

Цель занятия: познакомить учеников с методом исследования дискриминанта и старшего коэффициента квадратных уравнений, содержащих параметр.

Литература для учителя: см. [1],[6],[18],[21],[22].

Литература для ученика: см. [21], [22]

Краткое содержание: относительно знака дискриминанта и старшего коэффициента определить количество корней и найти их, определить при каких значениях параметра функция касается осей координат. Использование таблицы № 1 (стр. 38) при решении уравнений.

Занятие № 3.

Тема: Квадратные уравнения. Расположение корней.

Цель занятия: научить находить место расположение корней уравнения относительно некоторой точки или двух точек.

Литература для учителя: см. [1],[6],[18],[21],[22].

Литература для ученика: см. [21], [22]

Краткое содержание: используются теорема Виета (корни уравнения удовлетворяют системе ) и вершина параболы, для определения расположения корней относительно некоторых точек координатной оси.

Занятие № 4.

Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений».

Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр.

Литература для учителя: см. [1] , [5], [6], [7], [14]

Литература для ученика: см. [3]

Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению многочленов или выделение полного квадрата. Составление системы логических следований, при которых используется один из выше приведенных способов упрощения уравнения.

Занятие № 5.

Тема: Аналитический метод. Параметр как равноправная переменная.

Цель занятия: показать ученикам, что уравнения, содержащие параметр, можно решать не только относительно переменной, но и относительно параметра.

Литература для учителя: см. [1] , [5], [6], [7], [14]

Литература для ученика: см. [3]

Краткое содержание: решение уравнений относительно параметра. Решение уравнений, не содержащих параметра, но использование методов решения уравнений, содержащих параметр. Например: решения уравнения четвертой степени не относительно переменной, а относительно числа (п.4.1.4).

Занятие № 6.

Тема: Метод исследования области значения функции.

Цель занятия: научить учеников использовать область значения функции.

Литература для учителя: см. [1] , [15]

Литература для ученика: см. [15]

Краткое содержание: если необходимо найти, при каких значениях переменной две функции равны, а пересечение их областей значений есть одно значение, то обе функции можно приравнять к этому значению и найти значение переменной ( и , а , то уравнение равносильно системе ).

Ученики при изучении области значения зачастую не понимают ее практического значения. Это занятие покажет им, как можно использовать данное свойство функций.

Занятие № 7.

Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, y).

Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость.

Литература для учителя: см. [1] , [4], [9], [11], [19], [24]

Литература для ученика: см. [11], [24]

Краткое содержание: Основой решения уравнений данным методом является построение графиков функций правой и левой частей и рассмотрение количества точек пересечения в зависимости от значения параметра. Поэтому задачи решаемые данным методом имеют свою специфику, а именно, рассматриваются задачи на нахождение количества корней уравнения при различных значениях параметра.

Занятие № 8.

Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, а).

Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость (x, а); показать особенности решения при помощи этой плоскости.

Литература для учителя: см. [1] , [9], [19]

Литература для ученика: см. [19]

Краткое содержание: в отличие от предыдущего занятия здесь используется координатная плоскость (x, а) при решении уравнений, содержащих параметр.

Опытное преподавание.

Опытное преподавание осуществлялось во время прохождения практики на V курсе. Практика проходила в 10 классе 28 школы. Было разработано и проведено два занятия на тему «Параметр и решение линейных и простейших квадратичных уравнений с параметром».

Цели занятий:

ввести понятие параметра;

научить решать линейные и простейшие квадратичные уравнения с параметром;

повторить методы решения квадратных уравнений;

научить мыслить логически;

научить видеть особые значения параметра, которым соответствуют частные решения данного уравнения;

Литература для учителя: см. [1], [3], [16]

Литература для ученика: см. [3], [16]

Разработка факультативного занятия на тему: «Параметр и решение линейных уравнений и простейших квадратных уравнений с параметром».

Ход занятия.

Для того чтобы понять, что такое параметр разберем несколько простых примеров, с помощью которых мы и попытаемся понять смысл параметра.

Рассмотрим уравнение (1).

Зададим себе вопрос, как мы будем решать это уравнение. При делении на неизвестную величину необходимо учесть, что эта величина может быть равна нулю. Рассмотрим случай когда .

При получаем следующее уравнение , которое не имеет решения. Если же , то мы можем разделить на a и получим .

Теперь запишем ответ, но нужно учитывать то, что мы рассматривали различные значения неизвестной а и поэтому ответ нужно записывать для всех случаев.

Ответ. При ;

При нет корней.

Следующее уравнение (2) также как и (1) требует рассмотрения случаев, когда коэффициент при равен нулю или нет.

Решение.

, то есть или . При первом значении мы получаем уравнение , у которого решений нет, а при втором значении получаем уравнение , решением которого является все множество действительных чисел.

Если , то мы можем разделить на коэффициент при х и получим .

Запишем ответ.

Ответ. Если , то ;

Если , то нет решения;

Если и , то .

Дальше рассмотрим уравнение (3).

Решение.

Решаем это уравнение методом группировки

и получаем

Ответ. .

В этом уравнении мы не рассматривали различные значения, принимаемые неизвестной а, так как при решении нам не приходилось делить на а.

Решая эти три уравнения, мы имели дело с уравнениями, содержащие параметр, где - это параметр. Итак, давайте попробуем дать определение параметру. Мы узнали о параметре, решая эти три уравнения, что параметр есть неизвестная, так как он (параметр) принимал различные значения, но, с другой стороны, мы решали эти уравнения, принимая параметр за известную величину. Итак, параметр – это неизвестная, при некоторых значениях которой необходимо рассматривать и решать частные уравнения. Эти значения называются особыми. В первом уравнении особым значением параметра было значение неизвестной а, равное нулю, во втором – равное 1 и -1, а в третьем особых значений нет.

Сейчас рассмотрим еще два уравнения, решить которые предлагается учащимся.

Решение первого:

Если , то решений нет, так как уравнение не имеет смысла.

Если , то

так как деление на выражение с параметром нет, то дополнительно рассматривать различные значения, принимаемые параметром не нужно. То есть .

Ответ. Если , то решений нет;

Если , то .

Решение второго:

Для начала найдем, какие значения может принимать параметр. Для этого необходимо решить систему , решением которой является промежуток .

Теперь решаем само уравнение. В ходе решения у нас снова нет необходимости рассматривать какие-либо дополнительные условия.

Получаем, что .

Для тех значений параметра, которые не вошли в область значений параметра уравнение не имеет корней.

Ответ. Если , то ;

Если , то корней нет.

Для уравнений, в решении которых рассматривается различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом решения.

Алгоритм.

Находим область значений параметра.

Для тех значений параметра, которые входят в область:

Находим особые значения параметра, при которых, содержащее параметр выражение, на которое происходит деление, обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения, которые получились при подстановке значений параметра.

Решаем уравнение, исключая эти значения.

Для тех значений параметра, которые не входят в область - корней нет.

Собираем все значения параметра и соответствующие им значения неизвестной записываем ответ.

Дальше решим, используя алгоритм, следующее уравнение .

Решение. Это линейное уравнение. Найдем область значения принимаемые параметром – .

Для . Рассмотрим , «нулевое» значение. Получаем уравнение , которое не имеет решения. Если , то решаем уравнение . Решением, которого есть .

Для - решений нет.

Ответ. Для ;

Для - корней нет.

Итак, подведем итог. При решении уравнений, содержащих параметр, существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих значений соответствующего значения неизвестной.

Домашнее задание.

Решить уравнения:

Выводы: Во время проведения занятий было выявлено, что ученики не имеют ни малейшего представления о том, что такое параметр и встретились на практике с уравнений, содержащих параметр, впервые. Это осложнило мою работу, которая заключалась в том, чтобы дать ученикам образное понятие о параметре, а так же общее представление о том, как решаются линейные и простейшие квадратные уравнения, содержащие параметр.

Заключение

При проведении исследования были решены следующие задачи:

проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре и началам анализа с целью выявления использования параметра и методов решения уравнений с параметром. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

во всех учебниках задания однотипны;

выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их методы решения;

показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для решения всех видов уравнений, содержащих параметр. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, при проведении данного исследования специально не были выделены. Для данного класса уравнений существует большое количество специфических методов решения. Исследованию которых может быть посвящена отдельная работа;

все методы решения уравнений, содержащих параметр, рассматриваются на факультативных занятиях, но возможно так же и рассмотрение некоторых методов решения уравнений, содержащих параметр, в основное время изучения курса алгебры и начал анализа, например, метода решения квадратных уравнений с параметром. Учитывая, что уравнения, содержащие параметр, встречаются уже в 7 классе, можно разбить все методы решения уравнений, содержащих параметр, на группы, которые возможно рассмотреть во время учебных занятий;

разработана программа факультативных занятия на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр»;

в ходе исследования также было осуществлено опытное преподавание.

Литература

Основная литература

Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] : учеб. пособие/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Киев, 1992.

Дорофеев, Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. [Текст] – Львов: Квантор, 1991.

Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами: рациональные уравнения и неравенства. [Текст] / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов – Киров, 1999.

Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. [Текст] / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 1990.

Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1986.

Дополнительная литература

Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами [Текст]/ В.И. Горбачев// Математика в школе – 1999. - №6. – С. 60-68.

Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени [Текст]/ В.И. Горбачев// Математика в школе – 2000. - №2. – С. 61-68.

Дегтяренко, В.А. Три решения одной задачи с параметром [Текст]/ В.А. Дегтяренко // Математика в школе – 2001. - №5. – С. 62-64.

Джиоев, Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнений с параметром [Текст]/ Н.Д. Джиоев // Математика в школе – 1996. - №2. – С. 54-57.

Евсеева, А.И. Уравнения с параметрами [Текст]/ А.И. Евсеева // Математика в школе – 2003. - №7. – С. 10-17.

Епифанова, Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами [Текст]/ Т.Н. Епифанова// Математика в школе – 2003. - №7. – С. 17-20.

Зубов, А.Б. Использование симметрии при анализе систем с параметрами [Текст]/ А.Б.Зубов// Математика в школе – 2002. - №5. – С. 56-63.

Кожухов, С.К. Об одном классе параметрических задач [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе – 1996. - №3. – С. 45-49.

Кожухов, С.К. Различные способы решения задач с параметром [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе – 1998. - №6. – С. 9-12.

Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметром [Текст]/ С.А. Кожухова, С.К. Кожухов // Математика в школе – 2003. - №7. – С. 17-24.

Кормихин, А.А. Об уравнениях с параметром [Текст]/ А.А. Кормихин // Математика в школе – 1994. - №1. – С. 33-35.

Кочерова, К.С. Об уравнениях с параметром и модулем (графический способ решения) [Текст]/ К.С. Кочерова// Математика в школе – 1995. - №2. – С. 2-4.

Мещерякова, Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям [Текст]/ Г.П. Мещерякова // Математика в школе – 2001. - №5. – С. 60-62.

Мещерякова, Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметром [Текст]/ Г.П. Мещерякова // Математика в школе – 1999. - №6. – С. 69-71.

Мещерякова, Г.П. Уравнения и неравенства с параметром и задачи на экстремум [Текст]/ Г.П. Мещерякова, И.И. Чучаев // Математика в школе – 1999. - №6. – С. 72-74.

Неискашова, Е.В. Квадратный трехчлен в задачах вступительных экзаменов [Текст]/ Е.В. Неискашова// Математика в школе – 2001. - №8. – С. 24-26.

Постникова, С.Я. Уравнения с параметрами на факультативных занятиях [Текст]/ С.Я. Постникова// Математика в школе – 2002. -№ 8. – С. 45-46.

Потапов, М.К., Шевкин А.В. О решении уравнений вида [Текст]/ М.К. Потапов// Математика в школе – 2003. -№8. – С. 12-14.

Ратников, Н.П. От уравнения с параметром – к графику, задающему параметр [Текст]/ Н.П. Ратников // Математика в школе – 1990. - №3. – С. 80.

Алгебра [Текст]: учебник для 7 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. – М.: Просвещение, 1991.

Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. – М.: Просвещение, 1992.

Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. – М.: Просвещение, 1993.

Алгебра [Текст]: учебник для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев [и др.]; отв. ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1989.

Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев [и др.]; отв. ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1990.

Алгебра 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2000.

Алгебра 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2000.

Алгебра 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2000.