Методы решения уравнений, содержащих параметр

Ответ.

Замечание: другой способ решения будет рассмотрен позднее (см. пункт 4.2.4).

Пример. Решить уравнение .

Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.

Откуда, учитывая , получаем

Ответ. .

4.1.5.       Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений

В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.

Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.

Необходимые условия задач этого пункта:

1)                      В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.

2)                      Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.

Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.

Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [1], [5], [12]).

Пример. При каких  уравнение  имеет одно решение.

Решение. При замене  на  (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами  – решение то и  – решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то .

Тогда . Так как , то , что возможно только для случая равенства и при . Тогда получаем . Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем .

Ответ. При  уравнение  имеет одно решение.

4.1.6.       «Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.

Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где – конструируют «каркас», на котором строится  теория квадратичной функции (см. [1], [2], [5], [7], [8], [18], [21], [22])

Пример. При каких значениях параметра  все пары чисел , удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и ?

Решение. Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу:  при каком соотношении  и  все решения неравенства  одновременно являются решениями неравенства . Ответом на этот вопрос очевиден: .

Тогда в этом примере нужно, чтобы  при всех .

.

Найдем дискриминант,  . Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр.

, что равносильно системе

Ответ.

4.1.7.       «Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы

Пример. При каких значениях  наибольшее значение трехчлена  меньше 4.

Решение.

a.                       Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр .

b.                      Наибольшее значение будет в вершине параболы.

. Ограничение  тоже обязательно. Решением этого неравенства есть . Учитывая необходимость , то .

так как , то решением будет объединение . Тогда Ответ. .

4.1.8.       Корни квадратичной   функции. Теорема Виета

Рассмотрим квадратное уравнение . Найдем корни этого уравнения . По теореме Виета выполняется следующая система уравнений , где  и . Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается.

Пример. При каком значении параметра  сумма квадратов корней уравнения  принимает наименьшее значение?

Решение. Найдем дискриминант, . Уравнение имеет два корня при любом . Используя теорему Виета, найдем . Таким образом, найдем наименьшее значение функции  на множестве . Поскольку при  , а при  , то наименьшее значение при .

Ответ. .

4.1.9.   Аппарат математического анализа (касательная к прямой)

Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой (типичен ошибочный ответ: «Касательная – это прямая, имеющая с кривой одну общую точку»), не видят связь между касательной к графику и ее производной, не понимают смысла переменных в уравнении касательной, не могут применить соответствующие факты к решению задач, особенно геометрического характера. Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи (см. [1], [5], [19], [21]).

Пример. При каком значении параметра k касательная к графику функции  образует с осью ОХ угол, равный , и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна ?

Решение. Пусть  – координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид

.

По условию имеем , . Тогда . Уравнение касательной становится таким: . Найдем координаты точки пересечения касательной с осями.

При  .

При  .

Тогда, с учетом второй четверти и :

Ответ.

Пример. Найти все значения параметра , при которых на графике функции  существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой .

Решение. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если  – абсцисса точки касания, то , то есть .

Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень. . При  уравнение не имеет смысла, при  уравнение равносильно:

Введем замену . Тогда . Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, .

При таких значениях параметра  корнем уравнения является , который, как очевидно, принимает отрицательные значения.

Ответ. .

Пример. Найти критические точки функции .

Решение. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической.

Имеем . Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции , то критические точки следует искать среди корней уравнения , откуда . Осталось потребовать, чтобы  .

Ответ. Если  , то  - критическая точка;

если  - критических точек нет.

4.2.             Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход

Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и так далее.

Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их применения (см. [14]).

Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении.

4.2.1.  Область значения функции

Иногда задачи не содержат прямой подсказки использовать область значения функции. Такая необходимость возникает в ходе решения. [5], [14]

Пример. Решить уравнение .

Решение. Так как , то пусть . Получаем . Очевидно, при  решение имеется. Найдем корни , так как , то рассмотрим три случая:

1.            , тогда

2.            ,

3.            ,

Ответ. Если , то ;

если , то ;

если , то .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим область допустимых значений . Отсюда , . Тогда получаем равносильное уравнение

.

Откуда . Учтем два случая, так как , то .

1.            . Тогда .

2.            . При    , а . Этот случай мы рассмотрели. Тогда рассмотрим случай . Откуда  . Итак,

Ответ. Если   решений нет;

если , ;

если , .

4.2.2.       Наибольшее и наименьшее значения

При решении задач весьма полезным оказывается следующее обстоятельство. Если в уравнении , где , , а  для всех , то можно перейти к равносильной системе уравнений (см. [5], [14], [19])  

Пример. Решить уравнение .

Решение. Произведем преобразование правой части. . Тогда наше уравнение будет иметь вид .

Оценим левую и правую части уравнения . Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к системе

Запишем равносильную систему

Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение.

Решением последней системы будут  и .

Тогда Ответ. Если , то

Если , то  .

Пример. Найти все действительные значения , при которых область определения функции

совпадает с множеством всех действительных чисел.

Решение. Область определения будет  все действительные числа, если функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений параметра .

Для этого необходимо решить систему

Учитывая условие , решением последнего неравенства будет являться интервал .

Ответ. При   условие выполняется.

4.2.3.       Монотонность

Прежде всего заметим, что в случае возрастания (убывания) функции  имеет место равносильность уравнений  и  (см. [5], [14]).

Пример. Решить уравнение

Решение. Так как функция  монотонна и возрастает, а значение справа фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что  - корень.

Ответ. .

Пример. Для  решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в виде .

Пусть .

Тогда исходное уравнение становится таким

Рассмотрим функцию . Функция возрастает на промежутке , так как , то . Следовательно,  принадлежат промежутку монотонности функции . Отсюда имеем . Тогда , то есть . Сопоставим с исходным и получим .

Для  полученное  квадратное уравнение имеет положительный дискриминант .

Ответ. .

Замечание: другой способ решения будет рассмотрен ниже (в пункте 4.2.4).

Пример. Определить число корней уравнения .

Решение. Имеем .

Функция   возрастает на . Тогда . Исходное уравнение имеет не более одного корня. При  он единственен.

Ответ. Если , то уравнение имеет единственный корень;

если , корней нет.

4.2.4.       Четность. Периодичность. Обратимость

Пример. Указать все значения параметра , для которых уравнение  имеет решения (см. [5], [14]).

Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему

Рассмотрим функцию  при . Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является . Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой . Получаем . Решение которой нам известно.

Ответ. .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим функцию  и  они взаимно обратные и возрастающие. Тогда  равносильно исходному.

Ответ. .

Пример. Для  решить уравнение .

Решение. Очевидно , то . Рассмотрим функцию . Она возрастает на . Следовательно, при  эта функция обратима, причем функция  является для нее обратной. Отсюда . Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Решение же уравнения  приведено было выше.

Ответ. .

        Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной  от параметра .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5