Методы решения уравнений, содержащих параметр 
При а = - 3
получаем х= - 6; при a = - 2 х = - 5;
При a=1 х
= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Итак, можно записать
Ответ: 1) если a = - 3, то
х = - 6;
2) если
a = -2, то х = - 5;
3) если a=0, то корней нет;
4) если a = 1, то х=2;
5) если а=2,
то х=3;
6)
если , то х1
= а + 1, х2 = а – 3.
3.3.
Иррациональные уравнения,
содержащие параметр
Главными
особенностями при решении уравнений такого типа являются:
1. ограничение области
определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от
значения параметра.
2. в решении уравнений вида при возведении в квадрат
необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.
При рассмотрении
всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в
квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.
Рассмотрим
несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении (см. [1]).
Пример. Решить уравнение х
- = 1. (6)
Решение: метод решения: возведем в
квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой
полученных решений.
Перепишем
исходное уравнение в виде:
(7)
При возведении в квадрат обеих частей
исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2х2
– 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5.
Отсюда:
1)
при а
> 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );
2)
при а
= 0,5 х = 0,5;
3)
при а
<0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1)
при подстановке
х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное
равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения
(6).
2)
при
подстановке х2 = 0,5 ( 1 - ) в (7) получим:
-0,5
( 1 + ) =
Так как левая
часть равенства отрицательна, то х2 не удовлетворяет
исходному уравнению.
3)
Подставим
х1 = 0,5 ( 1 + ) в уравнение (7):
.
Проведя
равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести
полученное равенство в квадрат:
.
Имеем истинное
равенство при условии, что .
Это условие
выполняется, если а≥1. Так как равенство истинно при а≥1,
а х1 может быть корнем уравнения (6) при а >
0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.
Ответ.
1. при а ≥ 1 х
= 0,5∙(1 + );
2. при а <1
уравнение не имеет решений.
3.4.
Показательные уравнения, содержащие параметр
Большинство
показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида:
а f (x) = b φ(х) (*), где а>0, b>0.
Область
допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей
допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для
решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:
1)
При а=b=1 решением уравнения (*) является
область его допустимых значений D.
2)
При а=1,
b≠1 решением уравнения
(*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области
допустимых значений D.
3)
При а≠1,
b=1 решение уравнения (*)
находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.
4)
При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*)
равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
5)
При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*)
тождественно уравнению (c>0, c≠1) на области D (см. [1]).
Пример. Решить уравнение: а
х + 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.
1) При а
≤ 0, b ≤ 0 уравнение
не имеет смысла;
2) При а
= b = 1, х R;
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3;
4) При а
≠ 1, b = 1 получим: а х
+ 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1;
5) При а
= b (а > 0, а
≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х
х =
1;
6) При , получим: уравнение , которое не имеет решения;
7) При а
≠ b и (а > 0, а ≠
1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем
исходное уравнение по основанию а, получим:
, х + 1 = (3 – х)
log a b , .
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или , уравнение не имеет решений;
при а = b = 1, х R;
при
а = 1, b ≠ 1 х =
3;
при
а ≠ 1, b = 1 х = -1;
при
а = b (а > 0, а
≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;
при
а ≠ b (а > 0, а ≠
1, b >0, b ≠ 1) .
3.5.
Логарифмические уравнения,
содержащие параметр
Решение
логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней
элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения
уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных
корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).
Пример. Решить уравнение
2 – log (1 + х) = 3 log а - log (х 2 – 1)2.
Решение. ОДЗ: х > 1, а
> 0, а ≠ 1.
Осуществим на
ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
log а а2 + log a(х2 - 1) = log а
() 3 +
log a,
log а (а2 (х2 - 1)) = log а (()
3),
а2 (х2 - 1) = (х
- 1) ,
а2 (х - 1) (х + 1) = (х
- 1) .
Так как х
≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х
- 1) и на . Тогда
получим = .
Возведем обе части полученного
уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1 а4 х
+ а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4
+ 1.
Так как а
≠ -1 и а ≠ 1, то .
Для того чтобы
значения х являлось решением уравнения, должно выполняться
условие х > 1, то есть .
Выясним, при каких
значениях параметра а, это неравенство истинно:
, .
Так как а
> 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4
> 0, то есть при а < 1.
Итак, при 0 <
a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем
исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а
= 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 .
Замечание: Тригонометрические
уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем
методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество
специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих
параметр. Для этих методов существует большое количество материала,
исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.
4. Основные методы решения уравнений, содержащих
параметр
4.1.
Аналитический метод
4.1.1.
Поиск
решений уравнений, содержащих параметр. Метод «ветвления»
В самом начале
знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер,
который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны,
параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – он может
принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная
известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает
существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.
Именно этот факт
и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления») (см. [5], [6], [10], [13]).
Пример. Решить уравнение .
Решение. Пусть . Тогда
Переходим к равносильной
системе
Очевидно, при уравнение системы не имеет
решения.
Если , то тогда
Следовательно,
нужно проверить условия и
. То есть
решая из системы первое неравенство,
получаем что .
Решением второго
есть . Решением
системы будет пересечение интервалов, а, именно, .
Ответ. Если , то ;
при остальных значениях
параметра a уравнение решений не
имеет.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Имеем .
Достаточно
рассмотреть три случая:
1. .
2. .
.
Делая замену , получаем, что или . То есть или . Проверим, являются ли найденные значения
переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что не подходит, тогда корнями
являются значения .
3.
Делая замену , получаем или . Аналогично, как и при , проверкой устанавливаем, что только и не являются корнями. Тогда является корнем. Итак,
Ответ. При , ;
при ;
при , .
4.1.2. Параметр
и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс
задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо
ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:
·
«При
каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно
много, ни одного»;
·
Решением
уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных
чисел и другие (см. [5]).
Пример. В зависимости от значения
параметра найти
число корней уравнения
Решение. Наличие сложного корня
наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем.
Итак, мы вплотную
подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра .
Если , то уравнение не имеет
решения.
Если , то рассмотрим . Если , то . При условии , и очевидно это уравнение имеет
только один корень.
Ответ. При – одно решение,
при – решений нет.
Пример. При каких значениях
параметра уравнение
имеет единственное решение?
Решение. Уравнение переписываем в
равносильную систему
Решением
неравенства является объединение промежутков . Уравнение системы имеет один корень когда . , то есть при .
Теперь проверим,
принадлежит ли корень нашим интервалам: .Тогда
Ответ. При уравнение имеет единственное
решение.
Пример. При каких значениях параметра
уравнение
.
имеет единственное решение?
Решение. Запишем равносильное
уравнение.
.
Теперь перейдем к
следствию .
Откуда , . Возникла ситуация,
которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней.
Область
определения исходного уравнения найдем из условий
Очевидно, и удовлетворяют первым двум условиям.
Тогда для единственности решения достаточно потребовать
Найдем решение
первой системы, преобразуем ее.
Имеем, что решением
первой системы является объединение интервалов .
Вторая система
решения не имеет.
Ответ. .
4.1.3. Параметр
и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы
рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо
наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений
переменной (см. [5], [12], [13]).
Пример. При каких значениях
параметра оба
корня уравнения больше
3?
Решение. Корнями данного уравнения
будут
Для условия
необходимо выполнение системы
Первое
неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если
выражение под корнем равно нулю.
Решим уравнение .
Ответ. Ни при каких значениях
параметра оба
корня данного уравнения не могут быть больше 3.
4.1.4. Параметр как равноправная
переменная
Во всех
разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное
число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем
равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один
тип (а точнее метод решения) задач с параметрами (см. [5]).
Пример. Указать все значения параметра
, для которых
уравнение имеет
решение?
Решение. Обозначим . Исходное уравнение , с учетом , равносильно системе
Рассмотрим квадратное
уравнение, относительно параметра . Найдем дискриминант рассматриваемого
уравнения .
, так как и , то . Поэтому последняя система
равносильна
Рассмотрим
функцию . Вершина
параболы – есть точка с координатами . Минимум функции есть значение ординаты
вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр принимает значения в отрезке на отрезке .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
