Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

Это название происходит от двух латинских слов «дважды» и «секу», буквально «рассекающая на две части». О чем идет речь? [О биссектрисе.]

Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет, так как стены ее комнаты были оклеены листами с записями лекций по математике профессора Остроград­ского. Кто она? [С.В.Ковалевская.]

На могиле этого великого математика был установ­лен памятник с изображением шара и описанного око­ло него цилиндра. Почти спустя 200 лет по этому чертежу нашли его могилу. Кто этот математик? [Ар­химед.]

В древности такого термина не было. Его ввел в XVII в. французский математик Франсуа Виет, в переводе с латинского он означает «спица колеса». Что это? [Ра­диус.]

В черном ящике лежит предмет, название которого произошло от греческого слова, означающего в пере­воде «игральная кость». Термин ввели пифагорейцы, а используется этот предмет в играх маленькими детьми. Что в черном ящике? [Куб, кубик.]

Слово, которым обозначается эта фигура, в перево­де с греческого означает «натянутая тетива». Что это? [Гипотенуза.]

Точка, от которой в Венгрии отсчитывают расстоя­ния, отмечена особо. В этом месте в центре Будапешта стоит памятный знак. Кто или что было удостоено та­ких почестей? [Нуль.]

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города Сиракузы мощными машина­ми-катапультами. Их изобрел для защиты своего горо­да великий ученый Архимед. В черном ящике лежит еще одно изобретение Архимеда, которое и поныне используется в быту. Что в черном ящике? [Винт Ар­химеда, используется в мясорубке.]

Мы, в отличие от египтян, римлян и славян, пользу­емся позиционной системой счисления, в которой все­го десять цифр и «ступеньки». Что это за «ступеньки», перечислите их. [Это разряды, их всего три - едини­цы, десятки, сотни.]

Математическая пьеса «Бесплатный обед»

(по мотивам рассказа Я.И.Пврвльмана)

Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окон­чание средней школы в ресторане, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогда никому не будет обидно.

Второй. Нет, сядем по возрасту.

Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.

Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам не школа, да и надоело.

Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никаких проблем.

Шестой. Устроим здесь физкультуру не так ли?

Седьмой. Придется тащить жребий.

Восьмой. Ну уж нет.

Девятый. По-моему уже обед остыл.

Десятый. Я сажусь, где придется, и вы, давайте за мной.

Появляется официант. Вы еще не расселись? Моло­дые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало.

Официант. Пусть один из вас запишет, в каком по­рядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. После­завтра сядете опять по-иному и т.д., пока не перепро­буете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы сегодня, тогда - обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать вас всех бесплатно самыми изысканными обедами.

Друзья почти хором. Вот здорово, будем каждый день обедать у вас.

Друзья сидят за столом, выходит вперед ведущий.

Ведущий. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когда они стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому что число всех возможных размещений за столом чересчур вели­ко. Оно равняется ни мало, ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет! Вам может показаться невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами.

Возьмите любое трехзначное число. Допустим 475. Сколько еще можно получить чисел путем перестанов­ки цифр этого трехзначного числа?

Переставляя цифры, получим следующие числа: 475, 457, 745, 754, 547, 574. Всего 6 перестановок.

Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько будет тогда перестановок?

4753, 4735, 4573, 4537, 4357, 4375, ...

Если каждую цифру поставить на первое место, то три другие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, то всего получится 4-6=24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, пере­становок получили 6, а когда взяли четыре цифры, перестановок оказалось 24. В первом случае число перестановок равно 1×2×3=6, во втором 1×2×3×4=24. А в нашей сценке число перестановок равно 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800.

Математическая пьеса «Задача о чашах»

Много лет тому назад очень богатый шах объявил, что хочет разделить наследство между своими детьми, а того, кто поможет ему в этом, он щедро вознаградит.

Шах. В трех чашах хранил я жемчуг. Подарю я стар­шему сыну половину жемчужин из первой чаши, сред­нему — одну треть из второй, а младшему только чет­верть жемчужин из последней. Затем я подарю стар­шей дочери 4 лучшие жемчужины из первой чаши, средней — 6 жемчужин из второй чаши, а младшей дочери — две жемчужины из третьей чаши. И осталось у меня в первой чаше 38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин. Сколько жемчужин у меня должно быть в каждой чаше сначала? Хватит ли моего жемчуга для детей и меня?

Ведущий. И вот из разных стран пришли во дворец мудрецы. И первый мудрец, поклонившись шаху, на­писал свое решение задачи.

Первый мудрец. Если в первой чаше, о великий шах, останется 38 жемчужин, а подаришь ты старшей доче­ри 4 жемчужины, то эти 42 жемчужины и составят половину того, что хранится сейчас в чаше. Ведь вто­рую половину ты подаришь старшему сыну? Значит, в первой чаше у тебя должно быть сейчас 84 жемчужи­ны. Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин, да 6 ты подаришь другой дочери. Эти 18 жемчужин со­ставят 2/3 того, что хранится во второй чаше сейчас. Ведь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну. Значит, во второй чаше должно быть сейчас 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше должно остаться 19 жемчужин, да две ты подаришь младшей дочери. Выходит, что 21 жемчу­жина - это 3/4 содержимого третьей чаши. Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну. Значит, сейчас в третьей чаше должно быть 28 жемчужин.

Во время рассказа первый мудрец записывает реше­ние на доске:

38+4=42    42:1/2=42×2=84, 12+6=18     18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21     21:3/4=21×4/3=28.

Шах. Как же ты смог решить такую сложную задачу?

Первый мудрец. Мне помогла арифметика — наука о числах, их свойствах и правилах вычисления. Это очень древняя наука, ей уже много тысяч лет.

Шах. Твое решение мне понятно, но оно длинное и утомило меня. А что скажет другой мудрец?

Второй мудрец. О великий шах! Я обозначу число жемчужин в первой чаше буквой х. Тогда старшему сыну ты подаришь  жемчужин. Если из х вычесть его половину, да еще 4 жемчужины, что ты подаришь старшей дочери, то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил:

x--4=38.

Решим его.  = 42, а х в два раза больше, т.е. х = 84. Выходит, что в первой чаше должно быть сейчас 84 жемчужины. А для второй чаши, если количество жемчу­жин в ней обозначить через у, получим уравнение

y--6=12

Решим его. у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27.

Рассуждая также, составляем уравнение для третьей

чаши:

z--2=19, z =21, z =28.

Следовательно, в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин.

Шах. Твое решение мне тоже нравится. И ответы у вас одинаковые. Но нельзя ли решить это все как-то покороче?

Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат, где написано следующее:

х — ах — b = с.

Ответ: х= .

Шах. А здесь я ничего не понимаю! И вообще один ответ, а у меня три чаши!

Третий мудрец. Все три ответа уместились в одном, о великий шах! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые, лишь числа разные. Я и объединил три решения в одном, обозначив через х неизвестное число жемчу­жин, через а - часть жемчужин, подаренных сыну, че­рез b - число жемчужин, отданных дочери, а через с — число оставшихся в чаше жемчужин. Теперь можно под­ставлять вместо этих букв числа, которые ты задашь в своей задаче, и будут получаться правильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей, одного моего уравнения хватит, чтобы получить все ответы.

Шах. Да, твое решение, оказывается, самое удобное. Как же ты придумал его?

Третий мудрец. Мне помогла решить эту задачу алгеб­ра, как и второму мудрецу. В этой науке буквы исполь­зуются наравне с числами. Под буквой можно разуметь любое число. Алгебра дает самое короткое, самое общее решение для многих похожих друг на друга задач.

Игра «Аукцион»

На торги выносятся задания по какой-либо теме, причем учитель заранее договаривается с ребятами о теме игры. Пусть, например, это будет тема VIII клас­са «Действия с алгебраическими дробями».

В игре участвуют 4—5 команд. С помощью кодоскопа на экран проецируется лот № 1 — пять заданий на сокращение дробей. Первая команда выбирает задание и назначает ему цену от 1 до 5 баллов. Если цена этой команды выше тех, что дают другие, она получает это задание и выполняет его. Остальные задания долж­ны купить другие команды. Если задание решено вер­но, команде начисляются баллы — цена этого задания, если неверно, то эти баллы (или часть их) снимаются. Хочу обратить внимание на одно из достоинств этой простой игры: при выборе примера учащиеся сравни­вают все пять примеров и мысленно «прокручивают» в голове ход их решения.

Игра «Игрекс»

Эту игру можно проводить по любой теме на уроке или как внеклассное мероприятие. В классе или в ко­ридоре ставят столы, над которыми написаны плакаты:

фирма «Поиск», «Бюро добрых услуг», «Школбанк», магазин «Сладкоежка». Во всех фирмах работают стар­шеклассники. В игре может участвовать от 3 до 8 команд. Все команды зачисляются в фирму «Поиск» и получают одну или несколько задач первого уровня, причем каждая задача оценена в 500 игрексов (игреке — денежная единица, которую придумали ребята для этой игры). Решив задачи, команда сдает свою работу снова в фирму «Поиск». Руководители фирмы проверяют работы и оценивают их. На основании этих оценок банк выдает заработанные командой деньги. Банк также ведет размен денег и выдает кредит. Получив причита­ющееся число игрексов за задания первого уровня, команда приступает к задачам второго уровня и т.д. Если задача не получается, команда обращается за кон­сультацией в «Бюро добрых услуг», заплатив при этом 10% стоимости задачи. Выигрывает та команда, кото­рая заработает больше игрексов. В конце игры все команды покупают в магазине «Сладкоежка» на свои игрексы настоящие конфеты.

Приложение 4

Приведем примеры.

1. В IX классе на занятии математического кружка было предложено найти способ (путь) решения задачи: «Найти уравне­ние прямой, параллельной прямой у=2х—3 и проходящей через точку К(—3; 2).

Известная из аналитической геометрии формула у—у0=k(х—х0) учащимся не сообщалась. Они самостоятельно должны были отыскать путь решения предложенной задачи.

Решение.

Способ 1. Ученик предложил на прямой у=2х—3 рассмотреть любую точку, например А (0; —3). Затем в формулах параллель­ного переноса х'=х+а, у'=у+b подобрать параметры а и b так, чтобы точка A перешла в точку К. Это будет перенос: х'=х—3, у'=у+5. Прямую у=2х—3 подвергнем найденному параллель­ному переносу: x = x'+3; y = у'— 5;

у'— 5=2 (x'+ 3)—3;  у'—5= 2x'+6—3; y'==2x'+8. После отбрасывания штрихов при пе­ременных получим ответ: y =2x+8.

Способ 2. Ученик предложил воспользоваться известным фактом, что в уравнениях параллельных прямых угловые коэф­фициенты равны. Поэтому искомое уравнение будет вида у=2х+b. Последнему удовлетворяют координаты точки K, по­этому 2=2×(-3)+b, b=8.

Ответ: y==2x+8.

2. В стенгазете математического кружка IX класса было предложено самостоятельно найти способы решения задачи: «Вы­числить расстояние от точки M (3; 2) до прямой Зх+4y+1=0».

Ученики нашли различные способы решения.

Способ 1. Воспользоваться готовой формулой, найденной учеником в учебнике по аналитической геометрии для втузов:

где Ах+Ву+С=0 — уравнение прямой, a x0 и у0 — координаты заданной точки.

Способ 2. На прямой Зх - 4y + 1 = 0 способом подбора найти две точки, например A (1; 1) и В (—3; —2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и по формуле Герона площадь. Затем найти высоту, проведенную к стороне АВ. Это и будет искомое расстояние.

Способ 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Затем вычислить координаты х0 и у0 точки пересечения этих прямых. Расстояние от точки (3; 2) до точки

(x0; у0) и будет искомым.

Приложение 5

 Приведем темы некоторых обзоров.

Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (IX кл.).

Литература.

1)  Гельфанд И. М., Глаголе­ва Е. Г., Кириллов А. А. Метод  

координат.— М.: Наука, 1971.

2)  Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой:

Метод координат.— М.: Наука, 1977.

Тема 2. Задачи на максимум и минимум (X кл.).

Литера т у р а.

1) Нагибин Ф. Ф. Экстремумы.— М.:

Просвещение, 1966.

2) Б е л я е в а Э. С., Монахов В. М. Экстремальные задачи.— М.: 

Просвещение, 1977.

Тема 3. Применение математики при решении нематемати­ческих

задач (XI кл.).

Литература. 1) Маковецкий П. В. Смотри в ко­рень! — М.: Наука,

1984.

2) Попов Ю. П., Пухначев Ю.В. Математика в об­разах.— М.: Знание,

1989.

3) Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной

математике.— М.: Наука, 1979.

Приложение 6

1. Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и того же номерного рейса, отправляясь еже­дневно в полдень из одного порта и прибывая ровно в полдень через 7 суток в другой порт. Стоянка в порту — сутки. Сколько теплоходов своего рейса встретит команда одного из них на пути  от Л до В? Каково наименьшее число теплоходов, необходимых для бесперебойного обеспечения расписания движений?

2. Найти геометрическое место середин всех хорд окружности, проходящих через заданную внутри ее точку.

3. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки М на прямые, проходящие через точку К.

          4. Механизм представляет собой равнобедренный треугольник СОК, в котором равные стороны ОС и ОК являются упругими (несжимаемыми и нерастяжимыми) стержнями, а сторона КС — резиновый (равномерно растяжимый) шнур. Какую линию опишет середина стороны КС, если сторону ОК оставить неподвижной, а сторону ОС вращать вокруг точки О?

Список литературы

1.     Под ред. Ю.К. Бабанского. Выбор методов обучения в средней школе. М., 1981.

2.     Бабанский Ю.К. Рациональная организация деятельности учащихся.  М.: Знание 1981г. (Серия «Педагогика и психология»; №3 1981г.)

3.     Айзенберг М.И. Обучение учащихся методам самостоятельной работы. Математика в школе. 1982 №6.

4.     Кулько Б.А., Цехместрова Т.Д.  Формирование у учащихся умений учиться: пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1989 г.

5.     Минскин Е.М. От игры к знаниям. – М.: Просвещение, 1987 г.

6.     Сефибеков С.Р. Внеклассная работа по математике. – М.: Просвещение, 1988 г.

7.     Пичурин Л.Ф. Воспитание учащихся при обучении математике: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

8.     Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике (Формирование умений самостоятельной работы): Сборник статей, составитель Демидова С.И. – М.: Просвещение, 1990 г.

9.     Степанов В.Д. Внеурочная работа по математике в средней школе. – М.: Просвещение, 1991 г.

10.  Веселая математика. Журнал «Математика в школе №6, 1999 г.»

Страницы: 1, 2, 3, 4