Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

В ходе решения задач обязательно их письменное оформле­ние, чтобы можно было, охватив решения всех задач серии, проследить пути к решению основной задачи-проблемы, сделать необходимые обобщения. Если первые задачи серии окажутся для какого-то ученика слишком легкими, он может по своему усмотрению начать письменное оформление решений с задачи Ak, т. е. с промежуточной задачи. Тогда для него подготовитель­ная серия задач будет иметь вид Ak—Ak+1—...—An.

Решения задач обсуждаются коллективно, анализируются различные способы решения, проводится обобщение полученных результатов, формулируется учебная проблема и намечается способ ее решения. Всячески поощряется самостоятельность суждений, отстаивание учащимися собственного мнения. (Смотри приложение 2)

Идея использования вспомогательных задач возникла на основе наблюдений психологов о том, что при решении сложной задачи учащиеся обычно ищут, под какой из уже известных типов задач можно было бы ее подвести. При этом они, анализируя условие задачи, осуществляя поисковые пробы, пытались вос­пользоваться такими данными, которые способствовали бы пере­носу уже имеющегося в их опыте (полученном при решении ранее встречающихся задач) общего или частного метода, способа или приема решения задач. То есть способы решения одной задачи оказывают существенное влияние на самостоятельные поиски решения другой.

Вспомогательные задачи являются своеобразными указания­ми к самостоятельной деятельности ученика при решении основ­ной задачи. Они отличаются от указаний и готовых решений, имеющихся в большинстве пособий по математике для самостоя­тельной подготовки к конкурсным экзаменам, тем, что не содер­жат рецептов, не навязывают способ решения автора, не дают готового решения. Указание (подсказка) во вспомогательной задаче заключается в ее решении: нужно сначала самостоятельно решить вспомогательную задачу, а затем обнаружить содержа­щуюся в ней подсказку. Обычно для ученика одной вспомога­тельной задачи оказывается недостаточно. Тогда дается вторая вспомогательная задача и т. п. Образуется серия вспомогатель­ных задач.

Схематично основная задача А вместе с серией вспомога­тельных задач A1, A2, ..., An изображается так: А: A1 —A2 —  ... —An.

Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А. Если он за определенное время не сможет решить ее, то приступает к решению первой вспомогательной задачи А1: А—А1. В случае решения задачи А1 ученик снова возвраща­ется к задаче А: А1—А. Если задача А снова не решается, то он обращается к задаче А2. Решив задачу A2, возвращается к зада­че A и т. д. Возможен случай, когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А1. Тогда он приступает к решению задачи А2. Если и A2 не решается, то переходит к задаче A3 и так до An. От задачи An ученик последовательно возвращается к задаче

А: An —An-1 —  ... —A1—A. Возможна и другая последо­вательность решения задач, что можно изобразить схемами:

A —A1 —  A—A2 —A — A3 —A  или

A —A1 —  A—A2 —A1 —  A—A3  —A2 —A1—A и т. д.

Составление вспомогательных задач наталкивается на серьез­ные трудности. Для решения задачи Л может соответствовать и другая серия вспомогательных задач, отличная от указанной, например В1, В2, ..., Bk Трудность заключается в отборе лучшей (оптимальной) серии для конкретного ученика. Далее, серия  может быть и нелинейна. Это получается тогда, когда для реше­ния задачи A нужно знать способы решения сразу двух (или нескольких) задач. Схематическое изображение этой ситуации таково:

A:

Трудность заключается в том, что одна и та же серия вспомо­гательных задач для разных учащихся имеет различную эффек­тивность: для одних серия слишком длинна (содержит много задач), для других коротка, одни и те же задачи для одних слишком легки, для других трудны и т. п. Кроме того, вспомо­гательные задачи навязывают ученику определенный путь реше­ния. Но и при подсказке учителя также навязывается ученику способ решения, намеченный учителем.

Опыт применения вспомогательных задач на кружковых и факультативных занятиях по математике показывает, что школь­ники, научившись самостоятельно решать задачи с помощью вспомогательных задач, предложенных учителем, замечают, что среди задач A1 —A2 —  ... —An имеются и такие, которые либо уже были решены ими ранее, либо решаются способами (приемами), известными им. Это наталкивает учащихся на мысль, что при решении новой задачи следует самостоятельно отыскивать среди уже решенных ранее задач родственные данной и использовать их в качестве вспомогательных. Так воспитывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своему опыту и применять его при продвижении вперед. Последнее является важным звеном умения решать задачи, умения самостоятельно приобретать новые знания.

Курсы, построенные на задачах, не содержат деления мате­риала на теоретическую и практическую части. Сами задачи — это и есть изучаемый курс. Поэтому и содержание задач, и спо­собы решения их направлены как на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений и закреп­ление навыков. Рассматриваемые определения обычно вклю­чаются в содержание задач. Возможна формулировка опреде­лений и отдельно от задач. Теоремы имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то она разбивается на последова­тельность таких задач, что решение предыдущей облегчает реше­ние последующей, а совокупность этих решений дает доказатель­ство теоремы.

Любая тема курса состоит из серии задач, которые должны быть полностью решены каждым учеником, так как только в этом случае достигается полное усвоение определенной математи­ческой теории. Однако в индивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные, вспомогательные или задачи для самоконтроля, которые не обязательны для всех учеников.

Перед изучением темы организуется пропедевтическая работа, ставящая своей целью подготовить учеников к самостоятель­ному активному изучению материала. В частности, здесь выявля­ются и ликвидируются пробелы в знаниях и формируются необхо­димые предварительные представления. Затем учитель в форме лекции или беседы вводит учеников в тему, намечает круг вопро­сов, подлежащих изучению, формулирует сам или подводит учащихся к самостоятельной формулировке первой проблемной задачи курса.

Основным этапом занятий является самостоятельное решение школьниками задач. Учащимся в процессе самостоятельной ра­боты разрешается пользоваться справочниками и конспектами, поскольку необходимо умственное развитие, умение самостоя­тельно решить возникающие задачи. Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки, а направления на верный путь решения, для чего используются вспомогательные задачи. Расположение задач в серии по принципу нарастающей труд­ности стимулирует развитие самостоятельности учеников. Обу­чение с использованием серии вспомогательных задач строится по принципу от сложного к простому, от трудного к более лег­кому, что способствует формированию элементов творчества, стимулирует поиски учащимися способов решения, побуждает их мыслить. После решения всех задач серии проводится коллек­тивное обсуждение результатов. Полученный материал обобща­ется для последующего применения полученных знаний при ре­шении нового класса задач, делаются теоретические выводы. Всячески поощряется самостоятельность учеников в суждениях, в отстаивании собственного мнения.

Как показал опыт, обучение через задачи на внеурочных занятиях обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активности учащихся, способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развивает умение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы из решенных задач, поддерживает интерес к математике.

3.   АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ

Внеклассная работа по математике в ее традиционном толко­вании проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися, проявляющими к математике интерес. Эта работа планируется учителем и по мере необходимости корректируется. Государственных программ по внеклассной работе нет, как нет и норм оценок. На внеклассные мероприятия и занятия ученики приходят по желанию, без всякой предварительной записи. Если у ученика пропадет интерес к внеклассной работе, он прекращает свое участие в ней. Активизация внеклассной работы по матема­тике призвана не только возбуждать и поддерживать у учеников интерес к математике, но и желание заниматься ею дополнительно как под руководством учителя во внеурочное время, так и при целенаправленной самостоятельной познавательной деятель­ности по приобретению новых знаний, т. е. путем самообучения.

Одной из форм внеурочной работы являются конкурсы, кото­рые обладают большим эмоциональным воздействием на участ­ников и зрителей. (Смотри приложение 3)

4.  ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОТРЕБНОСТЕЙ

В дидактике установлено, что самостоятельная деятельность учащихся по приобретению новых знаний по собственной ини­циативе, сверх программы школьного предмета, возможна лишь при наличии серьезного интереса к предмету, увлечения рас­сматриваемыми проблемами, переходящего в познавательную потребность приобретать сверхпрограммные знания в соответ­ствии с индивидуальными интересами и потребностями.

С помощью анкет, в ходе личных бесед можно установить, почему тот или иной ученик посещает занятия кружка или факультатива. В младшем возрасте, как правило, это интерес к математике как любимому учебному предмету, в среднем и стар­шем — это либо интерес к математике как науке, либо профессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой послешкольной деятельностью. Например, в одной из школ с помощью анкет учитель установил, что среди семиклассников, регулярно занимающихся в математических кружках и факультативах, около 70% считают занятия по математике более любимыми в школе, чем по другим предметам, примерно 20% заявили о своем серьезном увлечении математикой как наукой и намерении посвятить математике свою трудовую послешкольную деятель­ность, а около 10% назвали другие причины, в том числе следо­вание за товарищем, увлеченным математикой. Через два года анкетирование среди этих же учеников показало, что лишь 6% изъявляют желание глубоко изучать математику, 83% связывают дополнительные занятия математикой с необходимостью хорошо подготовиться к конкурсному экзамену по математике на всту­пительных экзаменах в вуз, а 11 % указывают другие причины. Для учителя полученные данные нужны для эффективного при­менения индивидуального подхода к школьникам во внеурочной работе, корректировки своей работы, направленной на развитие интереса учащихся в ходе внеурочных занятий. В противном случае первоначальный интерес к математике, не получая под­крепления и развития, гаснет и ученики прекращают посещать внеурочные мероприятия. Более того, они перестают самостоя­тельно заниматься математикой дома, фактически прекращают самообучение.

Интерес к математике формируется с помощью не только математических игр и занимательных задач, рассмотрения со­физмов, разгадывания головоломок и т. п., хотя и они необхо­димы, но и логической занимательностью самого математического материала: проблемным изложением, постановкой гипотез, рас­смотрением различных путей решения проблемной ситуации, ре­шением задач или доказательством теорем различными методами и другими разработанными в методике математики приемами формирования познавательного интереса к математике. (Смотри приложение 4).

Разбор предложенных способов проходил на расширенном заседании математического кружка с привлечением учащихся из группы факультатива и приглашением желающих и вызвал неподдельный интерес у присутствующих. Необходимые вычисле­ния проводились с помощью микрокалькулятора.

Самообучение школьника невозможно без его умения и жела­ния работать с математической книгой.

Подбору математической литературы для самообучения учи­телю приходится уделять большое внимание. Установлено, что учащиеся по-разному работают над книгой: одни стараются побыстрее пройти теоретический материал и приступить к реше­нию задач, другие больше внимания уделяют, наоборот, теорети­ческим вопросам. Первым не нравятся многословные учебники и пособия, они предпочитают краткие дедуктивные доказатель­ства; вторые предпочитают книги с подробными выкладками, пояснениями, индуктивными выводами, примерами и т. п.

Так, в одной из школ на факультативных занятиях в стар­ших классах изучение программирования на ЭВМ осуществлялось с помощью программированных пособий. На факультативе их при­менение оправдывалось тем, что ученикам предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе, затруднения преодолевались с помощью индивидуальных консультаций, а подведение итогов проводилось на заключительной конференции по книгам.

Наблюдения показали, что одни ученики старались быстрее овладеть теорией. Если оказывалось, что выбранный ими ответ неверен, то, не пытаясь разобраться в причинах ошибки, они искали другой ответ, пока не находили верный, позволявший им читать очередную запрограммированную порцию учебной ин­формации. В процессе изучения материала пособия многие из этих учащихся составляли свой шифр — последовательность стра­ниц для чтения с правильными ответами, а затем вторично прочитывали эти страницы в указанной шифром последователь­ности, т. е. читали как обычную книгу, а не как программирован­ное пособие, составленное по разветвленной программе. Другим, наоборот, нравилось разбирать все замечания автора. Даже убедившись, что выбранный ими ответ верен, они читали ука­зания и к другим, неверным ответам, чтобы рассмотреть при­водимые примеры и уяснить причины возможных неправильных ответов.

При переходе в дальнейшем к изучению обычной литературы по программированию на ЭВМ первые испытывали чувство удовлетворения от того, что их не переби­вают то и дело вопросами, на которые нужно давать ответ, а в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора. вторые же не всегда удовлетворялись краткостью авторского из­ложения материала, постоянно обращались к учителю с вопроса­ми, чувствуя необходимость в его комментариях.

С учетом избирательного отношения учеников к математичес­ким книгам можно рекомендовать для самообучения не одно учебное пособие, а несколько, чтобы ученики сами выбирали то, которое им больше подходит по их индивидуальным склонностям и способностям. Правда, учителю в этом случае труднее конт­ролировать их самостоятельную работу над книгой и проводить консультации. Зато самообучение школьников будет более эф­фективным.

Большое значение для стимулирования самообучения имеет организация обзоров изученной учащимися математической ли­тературы, ее обсуждение на читательских конференциях или в устных журналах. Обычно делается это так. Объявляется тема для обзора и рекомендуется литература. Список литературы помещается на стенде. Там же указывается расписание консуль­таций. Дается время для подготовки, назначается место и время проведения.

Обзор литературы делают два-три ученика, они же отвечают на вопросы. Впрочем, отвечать могут и присутствующие ученики и учитель, а также дополнять или поправлять докладчиков. При этом возникают споры, выдвигаются гипотезы, находятся новые решения и т. д. (Смотри приложение 5).

Для самостоятельного обучения очень важно воспитать у уча­щихся потребность в самостоятельном поиске знаний и их прило­жении. Поэтому одной из задач является приобщение учеников к решению задач по своей инициативе, сверх школьной програм­мы. Одним из средств является математическая олимпиада. Школьники убеждаются на собственном опыте, что, чем больше разнообразных задач они самостоятельно решают, тем значитель­нее их успехи не только в школьной, но и в районной олимпиаде. Это служит дополнительным стимулом к самообучению.

Одним из условий самообучения является умение ученика

планировать свою самостоятельную внеурочную познавательную деятельность по приобретению знаний. Учитель помогает ему в составлении индивидуальных планов самообучения и в их реали­зации. Если в V—VII классах самообучение школьника про­водится обычно по плану, подсказанному учителем, в VIII—IX классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальных или групповых беседах и консультациях, то в Х—XI классах эти планы составляются самим учеником. Лишь в некоторых случаях он прибегает к совету учителя или руководствуется его рекомендациями.

Так, в одной из групп факультатива XI класса учащимся было предложено уточнить свои индивидуальные планы само­обучения на учебный год. В ходе индивидуальных бесед учитель установил, что ученики планировали изучение научной и научно-популярной математической литературы, посещение математи­ческого кружка школьников-старшеклассников при пединституте и математического лектория при политехническом институте, решение задач из сборников задач различных математических олимпиад (отечественных и зарубежных). Большое место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке к поступлению в вуз: изучению пособий по математике для поступающих в вуз и решению конкурсных задач, публикуемых в «Кванте», обучению на заочных подготовительных курсах в избранный или родственный вуз и т. д.

Выяснив планы учащихся, учитель осуществлял индивидуаль­но-групповое педагогическое руководство самообучением школь­ников, которое проводилось в следующих направлениях:

Страницы: 1, 2, 3, 4