Изучение первого пункта «Какую функцию называют квадратичной» преследует две цели:

1) создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как с геометрической фигурой;

2) повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.

Этот пункт очень важен для осознанного изучения дальнейшего материала. При работе с теоретической частью и выполнении заданий учащиеся должны будут проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Вначале приводится определение квадратичной функции (квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где a, b и c – некоторые числа, причём a≠0), которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики. Авторы делают замечание, что данная функция необязательно должна состоять из трёх слагаемых, главное, чтобы было слагаемое, содержащее квадрат независимой переменной.

Затем отмечается, что график любой квадратичной функции – это парабола и приведены различные виды парабол (из жизни).

После этого рассматривается построение графика функции . Здесь же вводится понятие области значений функции.

При этом сначала рассуждения проводятся с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Таким образом, формирование таких понятий, как наименьшее (или наибольшее) значение квадратичной функции, неограниченность сверху (или снизу) происходит с опорой на наглядные представления. Авторы учебника замечают, что рассуждения, проведенные для конкретной функции у = х2 –2х – 3, носят общий характер.

Далее рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс, а в упражнениях дана серия вопросов, на которые в подобных случаях должны отвечать учащиеся.

После этого рассматривается параболоид (фигура, полученная вращением параболы вокруг оси симметрии) и приводятся примеры параболоидов (например, фары автомобиля). Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал.

Система упражнений:

Ø     упражнения на восстановление навыка использования функциональной символики, а также приёмов нахождения значения у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика;

Ø     упражнения на овладение одним из алгоритмов построения графика квадратичной функции (вершины, оси параболы и с помощью симметричных точек).

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 184. Найдите на рисунке 10 график функции , где . Запишите на символическом языке утверждение и проверьте, верно, ли оно:

а) Верно ли, что g(2) > 0, g(–1) < 0, g(3,5) > 0;

б) укажите несколько значений х, при которых g(х) > 0, g(х) < 0.

Рис. 10

Указание. Учащиеся должны сформулировать общее утверждение: если точка графика расположена выше оси х, то g(x) > 0; если точка лежит ниже оси х, то g(x) < 0.

№ 186. Найдите нули функции  или покажите, что их нет:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

Указание. Учащимся ещё неизвестно о зависимости направления ветвей параболы от знака первого коэффициента квадратного трехчлена, поэтому и ответ о расположении графика по идее должен быть неоднозначным. Таким решением можно ограничиться на данном этапе изучения темы. В то же время с сильными учениками обсуждение вопроса целесообразно продолжить. Быть может, кто-то из них, рассматривая рис. 10 и строя графики по точкам, обратит внимание на то, что при а > 0 ветви параболы направлены вверх. Нужно сказать, что это верное умозаключение, но оно нуждается в доказательстве. Однако выяснить положение параболы не сложно.

№ 187. Докажите, что:

а) числа –4 и 3 являются нулями функции ;

б) функция  не имеет корней.

В каждом случае сформулируйте задачу иначе, используя слова: «уравнение» и «корень уравнения», «трёхчлен» и «корень трёхчлена», «график функции» и «точка пересечения».

Решение.

а) Можно убедиться подстановкой, что при  и х = 3 значение трехчлена  равно нулю, а можно решить уравнение .

б) Достаточно показать, что дискриминант трехчлена  отрицателен.

Во втором пункте «График и свойства функции », как и в предыдущем, ставятся две цели: знакомство с частным случаем квадратичной функции у=ах2 и развитие представлений об общих свойствах функций.

Сначала рассматривается случай . Отдельно выделен случай  и делается замечание, что с этой функцией учащиеся уже встречались (). Далее строятся два графика функций  и . Затем делается замечание, что у этих парабол ветви направлены вверх, вершиной служит начало координат, а ось симметрии – ось ординат и оговаривается, что такими свойствами обладает график любой квадратичной функции  при а > 0.

После чего учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены три графика функций , ,  и оценивается «крутизна» этих графиков. Затем рассматривается функция  при а < 0 и строится график функции . Сравнивая графики функций  и  делается вывод о том, что график второй функции можно получить из графика первой функции симметрией относительно оси абсцисс. Далее снова в одной системе координат построены графики , ,  и обращается внимание, что ветви любой параболы при а < 0 направлены вниз. Затем делается вывод: графиком функции , где а ≠ 0, является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось ординат; при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви направлены вниз.

Теоретическая часть пункта завершается рассмотрением свойств функции у = ах2 для случая а > 0. Свойства «считываются» с графика, фактически они получаются в результате перевода геометрических фактов на «язык функций». Это хорошо видно из таблицы, помещенной на с.92 учебника [34]: