Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов (на примере учебников по алгебре под ред. ...

№ 724. Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

а) , где ;

б) , где .

Квадратичная функция еще не изучалась. Поэтому, чтобы аккуратно построить график, надо взять достаточно много точек из данного промежутка, например, рассматривать значения х с шагом 0,1 (или 0,2). Для облегчения работы можно воспользоваться калькулятором. Было бы хорошо, если бы работа выполнялась на миллиметровой бумаге.

Прежде чем составить таблицу значений функции, полезно обратить внимание на то, что отрезок  и  симметричен, поэтому составление таблицы может быть сокращено. Если сами учащиеся не заметят этой особенности формулы, можно навести их на эту мысль.

№ 738. На рис. 5 изображены графики функций , ,  и . Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 5

Чтобы соотнести график с соответствующей ему функцией, нужно использовать разные признаки. Так, график I целиком расположен ниже оси х. Это означает, что при всех значениях аргумента функция принимает отрицательные значения. Значит, этому графику может соответствовать одна из формул  или  (выражение, стоящие в правых частях, принимают отрицательные значения при всех значениях х). Чтобы выбрать из них нужную, вычислим ординату точки пересечения соответствующего формуле графика с осью у. Получим, что график функции  проходит через точку (0; –1). Значит, графику I соответствует именно эта формула. Графику II соответствует формула , графику III — формула  и графику IV – формула, .

В результате изучения данного пункта школьники учатся описывать графическую ситуацию по-разному, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки. Например: «функция у = f(x) принимает значение, равное 0, при х = –1 и х = 2», «график функции у = f(x) пересекает ось х в точках с абсциссами, равными –1 и 2», «уравнение f(x) = 0 имеет корни –1 и 2». То есть, учащиеся должны понимать эквивалентность соответствующих формулировок и свободно переходить от одной из них к другой.

В следующем пункте «Свойства функций» рассмотрены такие свойства функции:

1)    область определения;

2)    наибольшее и наименьшее значение функции;

3)    нули функции;

4)    промежутки знакопостоянства;

5)    промежутки возрастания и убывания функции.

Цель данного пункта – это показать наглядно с помощью графиков смысл вводимых понятий. Формализация свойств функций отнесена к старшим классам. Здесь же важно, чтобы учащиеся правильно употребляли новые термины, понимали, как указанные свойства отражаются на графике, и умели по графику отвечать на вопросы, касающиеся свойств функций.

Заметим, что усвоение свойств функций и, как следствие, выполнение заданий на установление свойств функции по ее графику, традиционно вызывает трудности у учащихся. Наиболее часто ученики путают промежутки возрастания или убывания с промежутками, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Параболу, ветви которой направлены вверх (вниз), многие считают графиком возрастающей (убывающей) функции. Для предупреждения подобных ошибок необходимо, чтобы свойства функций воспринимались учащимися осмысленно, а не формально. Этому может помочь обращение к содержательным графикам, например, к графику температуры. Учащимся стоит разъяснить, что как по графику температуры легко выяснить нужную информацию, так и график любой функции наглядно отражает все её свойства. Тот большой опыт работы с графиками реальных зависимостей, который приобрели учащиеся к данному моменту, поможет им перекинуть мостик от содержательных задач, связанных с графиками, к графикам произвольных функций.

Система упражнений.

Здесь содержаться упражнения, в которых по графику функции необходимо ответить на вопросы, касающиеся свойств функции, на сопоставление графиков и функциональных зависимостей; упражнения, в которых по известным свойствам функции необходимо задать формулу этой функции; упражнения на нахождение нулей функции (в ходе выполнения которых естественным образом повторяется материал, связанный с решением уравнений – линейных, квадратных, уравнений высших степеней, уравнений, решаемых на основе равенства нулю произведения). Кроме того, есть упражнения на построение графиков функций по известным её нулям (при решении таких упражнений повторяются графики зависимостей, изучавшихся в 7 классе).

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 740. На рисунке 6 изображён график функции , областью определения которой является отрезок [–2; 2]. Используя график, ответьте на вопросы:

1)  Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

2)  Укажите нули функции.

3)  Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает.                                                           Рис. 6

№ 741. На рисунке 7 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

Рис. 7

Учащиеся могут ошибочно подумать, что функция, график которой изображен на рис. 7 а), имеет наибольшее и наименьшее значения. В этом случае можно предложить им найти по графику какое-нибудь значение функции, большее 4 и меньшее –2. В отличие от функции на рис. 7 а), функция, график которой изображен на рис. 7 б), имеет наименьшее значение, оно равно –3.

При выполнении этого упражнения можно предложить учащимся посоревноваться: кто из них сможет указать больше свойств.

№ 743. Числа –3; 5; 0,5 являются нулями функции . Убедитесь в справедливости этого утверждения. Сформулируйте этот факт другими способами, используя слова «график», «значение функции», «уравнение».

Цель упражнения – в обучении переводу с одного языка на другой, умению выразить одно и то же утверждение разными способами. Убедиться в справедливости утверждения можно, подставив данные числа в формулу. Эквивалентные формулировки могут быть, например, такими: «график функции f(x) пересекает ось х в точках (–3; 0), (5; 0), (0,5; 0)», или «функция принимает значение, равное 0, при х, равном –3; 5; 0,5», или «числа –3; 5; 0,5 являются корнями уравнения ».

№ 746. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:

а) –3,5; 0; 4;

б) –5; –1; 2,5; 4,5.

Можно выполнять это задание парами – соседи по парте обменяются своими графиками, и каждый из них проконтролирует, правильно ли ответил на вопрос его напарник. Дополнить упражнение можно заданием: перечислить все свойства функции, которые можно выяснить по предложенному графику.

№ 752. График какой функции изображён на рисунке 8?

,

,

,                                              Рис. 8

.

Если использовать нули функций, то можно только отбросить функцию . Для остальных трёх нужно найти точку пересечения их графиков с осью у.

Работа сократится, если заранее заметить, что при подстановке нуля вместо х во вторую формулу получается отрицательное число и, значит, ордината точки пересечения соответствующего графика с осью у меньше нуля, а на предложенном графике она больше нуля. Остается выбрать из двух оставшихся функций h(x) и р(х).

График функции h(x) пересекает ось у в точке (0; 14), а р(х) – в точке (0; 7). Значит, на рисунке изображен график функции h(х).

В пятом пункте «Линейная функция» дано понятие линейной функции (функция, которую можно задать формулой вида y = kx + l, где k и l – некоторые числа, называется линейной) и её графика (графиком линейной функции является прямая).

Линейная функция – это первая конкретная функция, с которой знакомятся учащиеся. Так как учащиеся уже умеют строить график зависимости, заданной формулой у = kx + l (глава 4, пункты 4.1 и 4.2), то этот график служит опорой при введении всех понятий и свойств.

В ходе изучения данного пункта рассматривается большое число примеров реальных процессов и ситуаций, описываемых линейной функцией (в том числе и прямой пропорциональностью), поэтому учащиеся должны прийти к пониманию того, что величины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида. Это важно при формировании представлений о математическом моделировании, а также о практической значимости математических знаний.

Свойства линейной функции вводятся в пункте на основе конкретных графиков (расположение графика в координатных плоскостях, промежутки возрастания и убывания линейной функции). Учащиеся знакомятся еще с одним важным свойством линейной функции – описывать процессы, протекающие с постоянной скоростью.

Новой для учащихся является идея линейной аппроксимации, которая позволяет связать функциональный материал с вопросами статистики. На конкретных примерах, с опорой на графики, учащиеся знакомятся с зависимостями, которые не являются линейными, но приближенно могут быть заданы линейными функциями, что позволяет делать определенные прогнозы, получать приближенную числовую информацию.

Этот материал не является обязательным для усвоения всеми учащимися (не входит в обязательные результаты обучения) и в классах с невысокой математической подготовкой может быть опущен.

Система упражнений.

Через систему упражнений учащиеся строят график линейной функции, определяют её свойства и продолжают вырабатывать навык построения графиков кусочно-заданных функций. При этом они знакомятся с новой для них ситуацией, когда график имеет разрывы.

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 763. Андрей планирует поработать во время летних каникул, и у него есть две возможности. На работе А он будет получать 20 р. в день. На работе В он в первый день получит 10 р., а затем ежедневно будет получать 20 р. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег у от числа рабочих дней х для вариантов А и В. В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для . Существует ли значения х, при которых значения у равны?

Для варианта А формула очевидна. При составлении формулы для варианта В учащиеся могут ошибиться и предложить формулу . В этом случае, чтобы увидеть характер зависимости между у и х, можно составить таблицу, в которой будут записаны суммы, получаемые за каждый из нескольких первых дней работы.

День

1

2

3

4

…

х

Заработок

(руб.)

10

10+20

…

10+20(х–1)