 |
|
|||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меню |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1. у у у
а) Куда направлены ветви параболы? b) Пересекает ли парабола ось ох, если да то сколько раз? с) При каких х парабола принимает положительные значения? d) При каких х парабола принимает отрицательные значения? 2. Изобразите схематично график функции. · у=х2+5х-6 · у=-х2+4х-4 · у=3х2+4х+8 · у=0,1х2+3х-6 3. Изобразите схематично параболу, которая на · промежутке (-∞;-3] убывает, а на промежутке [-3;+ ∞) возрастает; · промежутке (-∞;6] возрастает, а на промежутке [6;+ ∞) убывает; 4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения · f(x)=-x2+4x-2; · f(x)=3х2+2х-1; 5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения · f(x)=-х2+4х-1; · f(x)=4x2+2x-1; 2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя. После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи. Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 2х2-3х+1≥0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет. Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения. Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х2-х-1≤0 График квадратичной функции у=2х2-х-1 – парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х2-х-1=0. Корни уравнения х1=1, х2=-0.5 Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х1=1, х2=-0.5 Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.
Из рисунка видно, что неравенству 2х2-х-1≤0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка [-0.5;1]. Ответ: -0.5≤х≤1 График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что: 1) решениями неравенства 2х2-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1 2) решениями неравенства 2х2-х-1 > 0 являются все числа промежутков х<-0.5 и х>1. 3) решениями неравенства 2х2-х-1 ≥ 0 являются все числа промежутков х ≤-0.5 и х ≥ 1. После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки. 10 Решите неравенства: а) 4х2-5х+6х<0,2(10х2+15) 1. Приведите неравенство к квадратному виду . 2 Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни. (Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.) Заполните таблицу
|
|
Д>0
|
Д<0
|
Д=0
|
Количество корней
|
|
|
|
Найдите и отметьте корни на числовой оси (корни разбивают числовую ось на промежутки)
|
|
|
|
Изобразите схематично параболу
|
|
|
|
Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ.
|
|
|
Аналогично решите неравенства b) х2+2х+1≥0 (Заполните таблицу) c) -х2+х-1≥0 (Заполните таблицу) 3. Формулировка алгоритма. 20. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом). Ответы: 1. а)1<х<1.5 b) х – любое число; c) нет решения. 2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом) 1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни). 2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0. 3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах2+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах2+вх+с<0). 4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение. II Усвоение. Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным – ответы. 1. Приведите неравенства к квадратному виду 1) у2+5у2-3у>5(у+1) 2) 0.2(z+4)-0.8≥1.2z+2 3) 6+m2+m<m(2m2-6) 2.(устно) Используя график функции у=ах2+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.
у у у
-3 3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения. 1) 2) 3) 4.Решите графически неравенства 1) 2) 3) 4) 4. Найдите, при каких значениях х трёхчлен · принимает положительные значения; · принимает отрицательные значения; 5. Решите неравенства. a) х2<16; b) х2≥3; c) 0,2х2 >1,8; d) -5х2≤х. 6.Найдите множество решений неравенств: a) 3х2+40х+10<-х2+11х+3; b) 9х2-х+9≥3х2+18х-6; c) 2х2+8х-111<(3х-5)(2х+6). 7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: a) 4х2+12х+9≥0; b) -5х2+8х-5<0. III.Применение алгоритма На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки. 1.Решите неравенство. 1) 2) 3) 2x (3x-1)>4x2+5x+9 4) (5x+7)(x-2)<21x2 -11x-13 2. Найдите общее решение неравенств х2+6х-7 ≤ 0 и х2-2х-15 ≤ 0 3.Докажите, что: · х2+7х+1>-x2+10x-1 при любом х; · -2х2+10х<18-2x при х≠3. 4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см2. 5. Найдите область определения функции. · у = 12х-3х2 · у = 1/ 2х 2 -12х+18 После того как учащиеся познакомились с графическим методом, предлагается метод интервалов – как ещё один из способов решения квадратных неравенств. Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом. Алгоритм решения неравенства второй степени c одним неизвестным (методом интервалов). 1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей). 2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно). 3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни). 4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак. 5. Выберите на каждом из промежутков какое – нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке. 6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ, взяв их в объединение. 1. Актуализация знаний 1. ах2+вх+с=0 1) Решите квадратное уравнение. 2) Разложите левую часть уравнения по формуле ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где х1,х2 – корни данного уравнения. 2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси. · · 3.Разложите многочлен на множители · ·
II Усвоение 1. Сведите следующие неравенства к квадратному. 1) 2) 3) 2. Найдите при каких значениях х трёхчлен · принимает положительные значения; · принимает отрицательное значения; 3. Решите неравенства 4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см2. 5. При каких значениях х функция у= - х2 + 8х + 2 принимает значения больше 9. 6. Разложите многочлен на множители. · · · 7. Решите неравенство методом интервалов. · · · · · · 8. Найдите область определения выражения. 1) 2) 9. Решите неравенство 1) 2) 3) III.Применение алгоритма 1. Решите неравенство. 1) 2) 3) 4) 2. Найдите общее решение х2+6х-7 ≤ 0 и х2-2х-15 ≤ 0 3.Решите систему неравенств. 1) 2) 3) 4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч. 5.Решите неравенство методом интервалов. 1) 2) 3) 6.Решите неравенство. 1) 2) 3)
§4 Опытное преподавание. Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной). Цель: применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах с параметрами. Задачи: · расширить кругозор учащихся; · воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности; · осуществление взаимосвязи теории и практики; · развитие памяти, логического мышления. Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной. Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание. Решите неравенство 2(х+5)-3≥4+3х Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.
2х+7≥4+3х Раскрыли скобки в обеих частях неравенства 2х-3х≥4-2 Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащую в другую. -х≥2 Привели подобные члены в каждой части. х≤-2 Разделили обе части неравенства на коэффициент при переменной (учитывая его знак !). Отметили соответствующие промежутки на координатной прямой. х(-∞;-2] Записали числовой промежуток После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром. Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)∙х<12 Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю выражение (а-4). Определим знак выражения
Рассмотрим три случая: a) а-4=0 b) а-4>0 c) а-4<0 1)если а-4=0а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех хR 2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х > (используем свойство числового неравенства). 3) a-4<0a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х<. Ответ: если а=4, то х R; если а>4, то х >; если а<4, то х<. Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения, учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной. 1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей). 2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую. 3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х≤B(a), А(а)х>B(a), А(а)х≥B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) – функции параметра а. 4. Рассмотреть три случая: 1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства. 2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак. 3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак. 5. Записать ответ. Пример 2. решить неравенство
1) 1+а=0а=-1 Подставляем в неравенство 0∙х≤3, хR. 2) 1+а>0а>-1 х≤ 3) 1+а<0а<-1 x≥ Ответ: При а=-1, то хR; а>-1, то х ≤ ; а<-1, то x ≥ . Пример 3. х∙а2 ≤ а+хх∙ (а2-1) ≤ а 1) а2-1=0(а-1)(а+1)=0 а=1 или а=-1
2) а2-1>0 а>1 или a<1, то x ≤ 3) а2-1>0 a, то x
Ответ: а=1, то хR; а= -1, то нет решения; , то x ≤; , то x . Пример 4. 2а∙(а-2) ∙х а-2 1) 2а∙(а-2)=0 а=0 или а=2 а=0 х∙0-2 верно а=2 х∙00 неверно 2) 2а∙(а-2)>0 а, то х 3) 2а∙(а-2)<0 , то х Ответ: а=0, то хR; а=2, то нет решения; а, то х; , то х. Пример 5. (а2-9) ∙ха+3 1) а2-9=0 а=3 и а=-3 а=3 0х6 верно; а=-3 0х0 верно; 2) ; 3) ; Ответ: а=3 , а=-3 то хR; , то; , то ; Пример 6. а2х-а ∙х > a-1x∙ (a2-a) > a-1x∙(a∙ [a-1]) > a-1 1) a∙ [a-1]=0a=0 и а=1 а=0 0∙х>-1 верно а=1 0∙х>0 неверно 2); х> 3)а; х< Ответ: а=0, то хR; а=1, то нет решения; a, то х>; , то х<. Пример 7. а2∙х+4а∙х-а-4≤0 Ответ: а=0 , а=-4 то хR; , то; , то . Пример 8. Ответ: a<-2 а=2, то нет решения; а, то х < ; , то х>. Примеры для самостоятельного решения: 1)2∙а∙х+5>а+10∙x; 2)a∙x+x+1 <0; 3)x+1≤a∙x+a2; 4)a∙x+16≤a2-4∙x; 5)m∙x>1+3∙x; 6); 7); 8) (x-1) ∙ (a2-1)>5-4∙a; 9)b-3∙b+4∙b∙x<4∙b+12∙x; Выводы: Факультатив “Решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно. Заключение В ходе исследования были решены следующие задачи: 1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе; 2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма; определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов. 3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”. 4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.
Литература 1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др – М: Просвещение, 1999. 2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 2002. 3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1991. 4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 1996. 5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1992. 6. 4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997. 7. 5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994. 8. 6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1977. 9. 7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1978. 10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе – 2002 - №7 – с. 40 – 42. 11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999. 12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991. 13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе – 2000 - №2 – с. 61-68. 14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М: Наука, 1971. 15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы –М: Учпедгиз, 1955. 16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997. 17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Киев 18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993. 19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. –М: Наука, 1988. 20. Здоровенко М.Ю. 21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987. 22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе – 2001 - №8 – с.12-30. 23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951. 24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе – 2002 - №6 – с.22-32. 25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика – 2002 - №3 (16-22 января) – с.15-19. 26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988. 27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении.- М.: Просвещение, 1966. 28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998. 29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998. 30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение, 1994. 31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. – М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970. 32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина , 2001. 33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2002. 34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000. 35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000. 36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997. 37. Невяжский Г.Л. Неравенства. : Методическое пособие для учителей. – М., 1997. 38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т., Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970 39. Симонов А. Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе – 2002 - №7 – с.5-10. 40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. – М.: Просвещение, 1991. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
