Применение алгоритмического метода при изучении неравенств

- в любом алгоритме для каждого шага (кроме последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Поэтому говорят, что алгоритм обладает свойством дискретности.

  Таким образом, из характеристики основных свойств алгоритма ясно, что алгоритм всегда представляет собой предписание о выполнении некоторой системы операций, но не всякое предписание о выполнении операций является алгоритмом. Алгоритм считается заданным, если однозначным образом указаны те действия, которые на каждом шаге должны быть произведены над объектом при всех его возможных состояниях, чтобы перевести его в требуемое состояние. При этом считается, что все возможные состояния объекта известны и предусматривают однозначные реакции решающего задачу на каждое из них [16].     

В дальнейшем в нашей работе под алгоритмом будем понимать любое предписание, удовлетворяющее свойствам алгоритма.

§ 5 Классификация алгоритмов.

    Как  и любое множество объектов, множество алгоритмов, можно классифицировать по различным основаниям. Для того чтобы выяснить, как обучить алгоритму, необходимо представлять цель применения данного алгоритма: преобразование объекта или его распознавание.

   В курсе алгебры 7-9 классов большинство алгоритмов – вычислительные, а, следовательно, связаны с преобразованием тех или иных математических объектов.

Задача распознавания всегда является частной по отношению к задаче преобразования.

  Таким образом, алгоритмы с точки зрения цели, достигаемой с их помощью, можно разделить на 2 типа: алгоритм преобразования и алгоритм распознавания.  При этом алгоритмы преобразования включают в себя операции распознавания, а алгоритмы распознавания могут включать в себя операции преобразования.

   Как отличить такие алгоритмы друг от друга? Это можно сделать лишь по характеру цели, которая ставится в процессе решения задачи с помощью алгоритма, по заключительному результату,  получающемуся в итоге применения алгоритма.

   Если таким результатом является суждение о принадлежности исходного объекта к некоторому классу, то данный алгоритм в целом является алгоритмом распознавания, в противном случае алгоритм представляет собой алгоритм преобразования.

   Пример алгоритма распознавания посредством преобразования можно привести из области арифметики:

Например, для того чтобы определить (распознавать),  делится ли некоторое число на 9, задача преобразуется: ищется сумма цифр числа.  Чтобы   определить число  корней  уравнения 5х2+6х+1=0 преобразуем задачу: найдём дискриминант уравнения. Д=36-20=16 Так как 16>0, то уравнение имеет 2 различных корня.

 В любом процессе распознавания, который осуществляется путём преобразования, то есть  с помощью некоторой конструктивной деятельности,  важнейшей операцией является сопоставление преобразованного объекта с некоторыми признаками, заданными определением или каким-либо другим теоретическим  утверждением.

   Следует отметить, что в школьном курсе алгебры алгоритмам распознавания отводится гораздо меньше внимания, чем алгоритмам преобразования.  Такой подход нецелесообразен. Подавляющее большинство действий человека применимо не просто к отдельным конкретным предметам, а к предметам как к элементам некоторых классов предметов, и поэтому гораздо целесообразнее вырабатывать формы поведения применительно к объектам как представителям целых классов. Только в этом случае появляется возможность переносить поведение с одного предмета на другой; не проходя каждый раз специальной стадии обучения. Но чтобы такой перенос поведения стал возможен, необходимо распознать, к какому классу принадлежит объект.

Одно ясно, что не осуществив процесса распознавания или распознав предмет  ошибочно, учащиеся не могут осуществить его преобразование или оно будет неправильным.

Так, например, в методике математики выделяют три типа задач на проценты:

I.                   Нахождение процента от числа;

II.                   Нахождение числа по его проценту;

III.                   Нахождение процентного отношения;

Решение всех трёх типов задач  можно свести работе с формулой аb=c, где

 а – «всё», b – « процент, выраженный в десятичной дроби», c –  «часть». В задачах I типа известны переменные a и b, и нужно найти с. В задачах II типа известны - b и с, нужно найти а. Следовательно, в задачах третьего типа известны - а и с, и нужно найти b. Для того, чтобы решить задачу  на проценты, необходимо распознать к какому из трех перечисленных типов она относится.

 Специальное обучение процессам распознавания, преобразования и выяснения возможностей их алгоритмизации выступает, поэтому как важная задача, решение которой имеет существенное значение для практики и теории обучения.    

§ 6 Этапы изучения алгоритма в школе.

  Следует различать 2 смысла, в котором может употребляться выражение «алгоритмизация обучения».

1.            Под алгоритмизацией обучения понимают алгоритмизацию деятельности учителя; составление и использование алгоритмов обучения.

2.            Алгоритмизация деятельности учащихся, то есть не что иное, как обучение алгоритмам.

  Открытие алгоритмов решения математических задач привело к коренному изменению в практике обучения математике: алгоритмам стали учить, и это во много раз облегчило и ускорило овладение этим предметом.  В то же время учебный процесс ни в коем случае не должен и не может быть сведён только к обучению алгоритмам.

В обучении учащихся алгоритмам  можно идти разными путями:

1)           Давать учащимся алгоритм в готовом виде. Такой путь не является лучшим, но позволяет  экономить время.

2)           Гораздо более ценно, когда ученик открывает соответствующие алгоритмы сам или с помощью учителя.

3)           Подбор учителем таких упражнений и задач в ходе решения, которых у учащихся будут формироваться нужные системы операций.

Формирование алгоритмического процесса идёт более успешно, когда эти различные пути соединяются.

При формировании алгоритма выделяют три основных этапа [26]:

     I. Введение алгоритма.  Этот этап подразумевает следующее:

1)     Актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма.

2)     Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.

3)     Формулировка алгоритма.

II.Усвоение

Отработка отдельных операций, входящих в алгоритм и усвоение их последовательности.

III.Применение алгоритма.

Отработка алгоритма в знакомой и незнакомой ситуациях.

   Выделенные этапы будут проиллюстрированы во второй главе работы.

     Таким образом, применение алгоритмического метода при обучении математике устраняет главный недостаток учебников: процесс мыслительной деятельности расчленяется на определённое число достаточно простых элементарных операций, усвоения и понимания которых для учащихся будет менее трудоёмко.

Часть 2

1 Особенности изучения темы «Неравенства» в школьном курсе математики

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач.

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в её приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями. Тема “Неравенства” связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (нахождение промежутков знакопостоянства функции, определение монотонности и др.)

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений.

С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например, такие как: а+3 и а+1.

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» ещё не вводится. Приведём пример задания, предлагаемого в начальной школе.

Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство х<9.

В 5 классе изучается сравнение натуральных, десятичных дробей.

Например, сравните многозначные натуральные числа 3421 и1803

Результат сравнения  записывается в виде неравенства с помощью

Знаков « > » и « < » .

В 6 классе для установления отношений «больше», «меньше» на множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида |х|≤а, |х-b|<b,  |х-a|≤b. Их решения осуществляются с помощью числовой оси. 

Тема “Неравенства” систематически изучается  в 7-8 классах. В неё включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Почленное сложение и умножение числовых неравенств», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной».

В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. С целью повышения доступности материала рассматриваются  главным образом такие доказательства, которые ограничиваются методом сравнения с нулём разности левой и правой частей неравенств. В связи с решением линейных неравенств с одной переменной даётся понятие о числовых промежутках, появляются и вводятся соответствующие обозначения. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание надо уделять отработке умения решать простейшие неравенства вида ах<b.

Формирование умений решать неравенства вида ах2+вх+с>0, где а≠0, осуществляется в 9 классе с опорой на сведения о графике квадратичной функции. Здесь учащиеся знакомятся с методом интервалов. Решают этим методом дробно – рациональные неравенства.

Следует особо остановиться на вопросе о равносильности неравенств, так как некоторые свойства числовых неравенств нельзя бездумно переносить на неравенства, содержащие переменную. Известно, что при добавлении к обеим частям числового неравенства любого числа, получаем новое неравенство, равносильное исходному.  Но при добавлении к обеим частям  неравенства какого – нибудь выражения может получиться неравенство неравносильное данному.   

При переходе к функциональным неравенствам учащиеся сталкиваются с двумя важными аспектами математического образования.  

Первый аспект состоит в геометрическом истолковании неравенств, которое делает все рассуждения предельно ясными. Однако нельзя забывать, что заключение делается не на основе чертежа, а путём анализа алгебраического выражения.

Второй аспект сводится к различным приёмам доказательства. Самый главный из них – рассмотрение разности между двумя частями неравенства.  Но существуют  и такие методы, как сведение доказываемого неравенства к равносильному, которое осуществляется заменой  данных выражений  обратным им, использование метода от противного и метода математической индукции.

Таким образом, неравенства являются наиболее компактным, легко обозреваемым и доступным для учащихся материалом, на котором отрабатываются сложнейшие математические методы.                                                                              Отметим ряд особенностей изучения темы:

1)  Как правило, навыки решения неравенств формируются на более низком уровне, чем навыки решения  уравнений соответствующих классов, так как  теория неравенств сложнее теорий уравнений (при выполнении одного и того же числа упражнений техника решения неравенств какого – либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий).

2)  Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства  к уравнению  и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства (темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений).

3)  В изучении неравенств большую роль играют наглядно – графические средства (изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса – построение графиков и графическое исследование функций).

 Рассмотрим  введение  алгоритма решения неравенств первой и второй степени с одним неизвестным.

§2 Формирование алгоритма « Решение неравенств первой степени с одной неизвестной»

Цель:

·     выработать умение решать неравенства первой степени с одним неизвестным и системы линейных неравенств.

Рассмотрению линейных неравенств и их систем предшествует детальное изучение  числовых неравенств и их свойств.

В отличие от свойств числовых равенств, с которыми учащиеся знакомы ещё с начальной школы, свойства числовых неравенств они изучают практически впервые. Свойства формулируются в общем виде и достаточно строго доказываются. Это часто вызывает дополнительные трудности у учащихся, так как они здесь впервые в алгебре встречаются с теоремами.

Алгоритм решения неравенства с неизвестным сложнее, чем алгоритм решения уравнений, так как на последнем этапе решения приходится учитывать знак коэффициента при неизвестном. Кроме того, в отличие от уравнения неравенство имеет не отдельные решения, а, как правило, множество решений.

  Решение систем неравенств с одним неизвестным тесно связано с числовыми промежутками, с которыми учащиеся знакомятся впервые. Изображению числовых промежутков на координатной прямой нужно уделить особое внимание. В частности, можно предложить следующий алгоритм, который  позволит учащимся правильно отмечать промежутки, соответствующие неравенствам (простым или двойным) на координатной прямой.

Например,   дано неравенство  а ≤ x < b

Нужно отметить соответствующий промежуток на координатной прямой. Для этого воспользуемся алгоритмом.

1.      Если знак первого неравенства нестрогий, то точка будет закрашенной → ставим точку на координатную прямую

( ≤ ( ≥ )→ • → отмечаем точку).

  Если знак первого неравенства строгий, то точка будет выколотая→ отмечаем точку на координатной прямой

 ( < ( > )→ ο  →отмечаем точку)

2.      Аналогично для второго знака неравенства (если неравенство двойное).

3.      Отмечаем область согласно знаку:

-если знак меньше, то отмечаем все точки лежащие левее данной точки (штриховкой).

-если знак больше, то отмечаем все точки лежащее правее относительно  этой точки (штриховкой).

4.      Выделяем общую область (двойная штриховка, это для двойных неравенств). Упражнения на каждый этап работы с этим алгоритмом приведены во второй части работы (практическая часть).

Данный алгоритм используют как составную часть при решении неравенств первой степени, системы неравенств, нахождения области определения и области значений.

В результате изучения темы учащиеся должны:

·     знать определения неравенства и  основные свойства неравенств.

·     уметь решать неравенства с неизвестным и их системы.

Специфические действия:

a)        составление разности выражений стоящих в левых и правых частях неравенств;

b)       выполнение тождественных преобразований выражений;

c)        установление знака разности выражений;

d)       подведение под понятия  «больше» и «меньше»;

e)        изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка «на языке» неравенств;

f)         алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной;

g)        определения границ выражения, если переменные, входящие в него, заданы своими границами.

 «Ядерным» материалом темы является :

·     Понятия: «< » , « > » неравенство, решение неравенства, решение системы неравенств, равносильных неравенств;

·     Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

Страницы: 1, 2, 3, 4