Применение алгоритмического метода при изучении неравенств

·     Операции над числовыми неравенствами ; 

·     Алгоритм решения неравенства с одной переменной и решения системы неравенств;

Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств предлагается ввести индуктивно на конкретных примерах, анализ которых позволяет учителю вместе с учащимися, сделать обобщение, сформулировать алгоритм.

Для построения алгоритма как результата теоретического обобщения решения задач может быть эффективно использована групповая форма работы на первом этапе построения алгоритма.

Класс разделён на четыре группы. Каждой группе учитель даёт задание - решить предложенное  неравенство (1 группе – под буквой а; 2 группе под буквой b и так далее). Порядок выполнения действий описан ниже.

a)  x∙(x+1)+2∙(x2+3x)+6 > x∙(3∙x+5)-x+9

b) 7∙t∙ (2∙t-3) –18 ≥ (14∙t+3) ∙ (t+2)

c)  3∙x∙ (2∙x-5)+4 ≤ x∙(6∙x-9)-2∙ (3∙x+3)

d) (2∙y+1)2+2 < 2∙y∙ (2∙y+5)-6∙y+5

Первый шаг: упростите выражение в каждой части неравенства.

Второй шаг: перенесите члены неравенства содержащие переменную, в левую часть, а числа – в правую часть с изменением знака на противоположный (на основании какого свойства числовых неравенств мы это можем сделать?).

Третий  шаг: приведите подобные  члены.

Четвёртый шаг: разделите обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильных неравенств),  получите простейшие неравенства:

a)  x>1;

b) t<-16,1;

c)  нет решений;

d) у - любое решение;

Пятый шаг: отметьте решения на координатной прямой.

  Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства 1 степени с одной неизвестной.

1.  Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2.  Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3.  Привести подобные члены в каждой части.

4.  Разделить обе части неравенства  на коэффициент при переменной (с учётом свойств равносильности при а≠0).

5.  Записать ответ в виде простейшего неравенства.

6. Отметить соответствующие промежутки на координатной прямой.

7. Записать числовой промежуток.

Алгоритм решения неравенства вида ax>b, который является составной частью приведённого выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).

Рассмотрим  работу с алгоритмом решения линейных неравенств поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать следующие знания: тождественные преобразования рациональных выражений, свойства числовых неравенств, изображение промежутков на координатной прямой,  нахождение пересечения и объединения промежутков. После этого проводим описанную выше работу и формулируем  сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм  (приведение подобных членов, решение неравенств при а > или ≤ 0)  и  их последовательность.

                да                                     нет

                                                                          да              

Третий этап может быть очень разнообразным. Всё зависит от уровня знаний и умений учащихся.  Но в любом случае надо начать с элементарных задач, а уже после формирования  навыка решения линейных неравенств первой степени с одной неизвестной у учащихся.

I.                                  Этап  (актуализация знаний)

  а) Изобразите на координатной прямой промежутки, соответствующие неравенствам:

·           х≥3,

·           x<-5,

·           x≤2

b)

·           –1.5≤x≤4,

·           2<y<6.1,

·           -3<z ≤ 9.2

c) Запишите неравенства, соответствующие ппромежуткам:

·           [2;+ ∞)

·           (-3;+ ∞)

·           (-∞;4)

·           (-5;3]

·           [-6;8]

·           (-∞;+∞)

2)  Найдите пересечение промежутков

·           (1;8)∩(5;10)

·           [-4;4]∩ [-6;6)

·           (-∞;10) ∩ (-∞;6]

3) Найдите объединение промежутков

·                   [7;10] и (-3;5]

·                   [3;+] и (8;+)

·                       (-;3] и (-5;16]

4)    Запишите в виде неравенства утверждения

·   сумма  чисел х и 17 больше 18;

·     разность чисел 13 и х меньше 2;

·     произведение чисел 17 и х  не меньше 3;

·     удвоенная сумма чисел х  и (-3)  не больше 2;

·     полусумма чисел х и 3 не больше их произведения;

·     удвоенное произведение чисел х и (-4) не меньше их разности

5) Заполните пустые места таблицы

Неравенство

Изображение решения

Запись решения

3<x<6

(3,6)

-2≤x≤4

…

7<x≤10

…;10]

…x<5

[-3;…

…

[4;+∞)

-4<x…3

…