Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение.

По определению логарифма имеем:

Основание логарифма может быть:

1)  (дробное)

    (-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.

2)

Выполним преобразования:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

,

, ,

 или

Пусть ,  тогда

Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9

 или

: (х+1)

, где

;

1)

 или 

Решаем биквадратное уравнение

Примем , тогда получим 

D = 32 – 4*1*(-4) = 25

;   или

а)

б) ;   (не удовлетворяет ОДЗ)

 - решение системы уравнений.

2)

 или

  - (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)2 -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ: .  [ ]

Пример № 36

Решение

Для любого х  и  ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х  из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

                          и                  

Решаем ее.

 принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ:  .

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Неравенства вида  (или меньше) при а(х)>0 и  решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Пример   1.

 Решить неравенство:

 23x:+7 < 22x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х -  1.   Решив   это   неравенство,   получим   х < - 8.

Ответ: -8.

Пример   2.

Решить неравенство:

Решение.

Так как 625 = 252= , то за­данное неравенство можно записать в виде  

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2 - 8 =  -2. Имеем последовательно

,

,

,

.

Решив последнее неравенство, полу­чим 2  х 3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример   3.

Решим неравенство

0,57-Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 -2 = 4, перепишем заданное нера­венство в виде

0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не­равенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ:  ( — оо ; 3).

Пример 4. 

Решим неравенство

Показательная функция y = 6x возрастает. Поэтому дан­ное неравенство равносильно неравенству х2 + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо;  -3)

и (1;   оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1;   оо).

Пример 5.   

Решим    неравенство:

Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно,   решением   данного неравенства   являются   числа   х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа.  Но  , , а функция   убывает,

поскольку   < 1. Поэтому решением неравенств  будут числа х,  удовлетворяющие неравенствам   - 2 < х < 1.

Ответ: ( - 2;  1).

Пример 6.

Решение

1)     

                            2         3                10

Изобразим на числовом луче

Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при  взятое не выполняется. Решений нет.

2)   

Изобразим на числовом луче

                                             10

Если , то

 -решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к.  или 1 не удовлетворяют условию, а при  т.е.  получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ:

Пример 7

Решение

При , х = 2,5 или х = -1

При  или  можно записать .

При  второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

                   -1                     2,5                                  3

Система не имеет решений.

2)  

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

 решение системы неравенств.

3) ,  - выражение  имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При - верно.

При  - верно.

При  - верно.

4) , х2 = 2,5 и х1 = -1

При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4.

При х = 2,5, 02,5 – не имеет смысла.

5)

;  

При ;  - верно.

При ;  - верно.

Ответ:  или .

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками

по данной теме.

Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.

Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                                         Ответ: .

2.                                   Ответ: 2.

3.                                       Ответ: 7; 14.

4.                            Ответ: .

5. Найдите произведение корней уравнения

                           Ответ: .

6.                                      Ответ: .

7.                         Ответ: .

8.                                      Ответ: .

9.          Ответ:

10.                                          Ответ: .

11.                              Ответ: 2; 3; 4; 11.

12.                         Ответ: .

13.                       Ответ: .

14.                                            Ответ:  -2; 0; 2.

15.                                      Ответ:  1; 4; 5.

16.                                              Ответ:  нет решений.

17.                                 Ответ:  1; 10; 10-3.

18.                                      Ответ: 1; 8.

19.                                            Ответ: -1; 1; 2.

20.                                 Ответ:  .

21.                            Ответ:  2; 10-1; 10-3.

22.                            Ответ:  0; 3.

23.                          Ответ:  0.

24.                          Ответ:  .

25.                                           Ответ:  .

26.                                

 Ответ:  .

27.                             Ответ:  .

28.                        

 Ответ:  .

29.          Ответ:  .

30.                        Ответ:  .

31.             

                                  Ответ:  .

32.                  

  Ответ:  .

33.                          

 Ответ:  .

34.           Ответ:  0; 1.

35.                                                             Ответ:  1; 3.

36.                                                             Ответ:  0; 1; 5.

37.                                                           Ответ:  0; 5; 4.

38.    

Ответ:  .

39.                    Ответ:  .

40.              Ответ:  .

41.                           Ответ:  .

42.                    Ответ:  .

43.                          Ответ:  1; 0,1; 0,01.

44.

45.              Ответ:  -2; -1; 3.

46.              Ответ:  -2; 0,6.

47.              Ответ:  .

48.                 Ответ:  -4; -3,5; -2; -1.

49.                        Ответ:  -0,2; 0,5; 1; 3.

50.                  Ответ:  -2; 0,6.

Решить системы уравнений

1.                                   Ответ:  .

2.                           Ответ:  (5;-1).

3.                                 Ответ:  .

4.                           Ответ:  .

5.                           Ответ:  .

6.               Ответ:  .

7.          Ответ:  .

8.                          Ответ:  .

9.               Ответ:  .

10.                             Ответ:  .

11.                  

 Ответ:  .

12.                          Ответ:  .

13.          

Ответ:  .

14.

15.

16.

17.          

 Ответ:  .

18.                     

 Ответ:  .

19.   

Ответ:  .

20.                Ответ:  .

21.               Ответ:  .

22.                  Ответ:  .

23.        Ответ:  .

Решить неравенства.

1.                          

                                      Ответ:  если , то если  то .

2.    Ответ:  .

3.                   Ответ:  .

4.                             Ответ:  .

5.                            Ответ:  .

6.                        Ответ:  .

7.              Ответ:  .

8.      Ответ:  .

9.                      Ответ:  .

10.               Ответ:  .

11.              Ответ:  .

12.       Ответ:  .

13.       Ответ:  .

14.       Ответ:  .

15.        Ответ:  .

16.    Ответ:  .

17.       Ответ:  .

18.                 Ответ:  .

19.                 Ответ:  .

20.                    Ответ:  .

21.                  Ответ:  .

Заключение.

Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:

1.                        Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.

2.                        Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.

3.                        Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.

Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.

Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.

Список используемой литературы.

1.                Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени  и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.

2.                Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.

3.                Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.

4.                Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.

5.                Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.

6.                Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.

7.                Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.

8.                Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.

9.                Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.

10.            Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

11.            Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.

12.            Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.

13.            Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.

14.            Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.

15.            Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.

16.            Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.

17.            Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.

18.            Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.

19.            Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.

20.            Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.

21.            Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.

22.            Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.

23.            Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.

24.            Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.

25.            Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.

Страницы: 1, 2, 3