Рефераты, курсовые, доклады; Показательно-степенные уравнения и неравенства- скачать рефераты, бесплатно рефераты

Показательно-степенные уравнения и неравенства

На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .

На том же рисунке изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .

Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

1) Область определения — промежуток (0; + оо).

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция у = х-r убывает на (0; +оо).

Построим для примера график функции у — х таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).

Подобный вид имеет график любой функции

у = хr, где r — отрицательная дробь.

Рис. II.6.

II. 2. Показательная функция и ее свойства.

Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.

1. Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

Рис. II.7.

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если x > 0, то аx > 1;

е) если х < 0, то 0 < ах < 1.

3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):

а) область определения D(f)=R;

б) множество значений E(f)=R+;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0 < ах < 1;

е) если х < 0, то ах > 1.

Рис. II.8.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.

Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

4. При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

Решение

1) x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.

2) x – 3 = 1, x2 = 4.

3) x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.

4) x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

1) x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 00 это не решение.

2) x – 1 = 1 x 1 = 2.

3) x – 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

4) =

Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.

Ответ: 2.

Пример №3.

Решение

1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) ≠ 0 т.е. . Тогда можем записать:

3) = 1. = 0

4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.

5) ≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или

= 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №4.

Решение

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

при ,

2) , .

3) , .

, (-1)0 = (-1)0 это решение.

4) и

или

При (-4)0 = 1 – верно.

Ответ: -1, 2, 4.

Пример №5.

Решение

1) , , это не решение.

2) , и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,

х = 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.

Пример №6

Решение

1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) . или .

3) отрицательных значений не имеет.

4) При ,

, т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №7

Решение

1) , , , . Это решение .

2) , .

3) , , - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.

4) и , , , , 4-3 = 4-3 – верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1

Пример №8

Решение

ОДЗ: ,

, ,

Все решения принадлежат уравнению =2.

, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.

Пример №9

Решение

ОДЗ: , , .

1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При , или ,

ОДЗ, ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .

Проверка: , 20 = 1 – верно.

, - верно.

Ответ: 0, 3/2.

Пример №10

Решение

1) решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .

3) , и .

Второе решение не подходит, т.к , . А является решением

Ответ: , 2, 4.

Пример №11

Решение

1) , , и это решение .

2) , .

3) , , - четное, - нечетное. Это является решением.

4) или , , , , .

Проверка: , - верно.

Но не является корнем!

Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.

Ответ: -4, -2, -1.

Пример №12

Решение

ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.

и все решения содержатся в уравнении.

, ,

Ответ: 5.

Пример №13

Решение

1) , , . Это решение .

2) , , .

3) отрицательных значений не имеет.

При или все решения в уравнении , и .

При , - верно. .

Ответ: -1, 2, 3, 4.

Пример №14

Решение

ОДЗ:

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При

2) , и . - решение, а .

3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .

При , - верно. .

Ответ: 4, 5.

Пример №15.

Решение

используя свойства логарифма и получили:

В первой части уравнения выполнили преобразования

. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.

или .

Ответ: 2.

Пример №16

Решение

ОДЗ:

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

; .

, , где

1) , - верно.

2) ,

Пасть , тогда

, или .

Следовательно; или , , .

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.

Пример №17

Решение

ОДЗ: и

Выполним преобразования.

+= 2+2

+= 4

Пусть , а ,

Следовательно, или

2*2t = 4

2t = 4/2

2t = 2

t = 1

Ответ: 2.

Пример №18

Решение

ОДЗ:

;

Прологарифмируем обе части равенства:

, где .

Умножим обе части уравнения на 2.

Пусть , тогда

, или

1) ,

или

Ответ: 0.1, 10.

Пример №19

Решение

ОДЗ:

Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!

или

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

, - верно.

Ответ: -3, 3.

Пример №20

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

или

Прологарифмируем по основанию 10.

или

1) или

Ответ: 0.01, 100.

Пример №21

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем по основанию 10.

, где .

Пусть , тогда:

умножим на 4

, или

Ответ: 0,0001, 10.

Пример №22

Решение

ОДЗ:

Заменим: , получим:

, где .

Решаем уравнение:

; или

1) ; ; . .

2) , , , , .

; ; ; .

Ответ: 0,1, 1, 10.

Пример №23

Решение

\ :

Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:

или

составляем систему уравнений:

Ответ: (13;8)

Пример №24

Решение

ОДЗ:

;

; или

, .

Ответ: 5.

Пример №25

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим:

или

Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:

Решая его относительно , находим , .

Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:

. Значит, , т.е. .

Ответ: 30, 100.

Пример №26

Решение

Так как , то при и имеем равносильное уравнение:

или

Ответ: 5.

Пример № 27

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:

; или

1) 2)

Ответ: 0.1, 100.

Пример №28

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

и , поэтому

Пусть , тогда

или .

;

Ответ: , 3.

Пример №29

Решение

1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) = 1, =1, , или

=-1, , .

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3) (т.к. )

При все решения принадлежат уравнению . или .

При = 0, что не удовлетворяет уравнению

Ответ: , .

, .

Пример №30

Решение

ОДЗ:

1) , , .

2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .

Ответ: , -, и , .

Пример №31

Решение

1) или , и . Это решение. .

2) , и

3) Так как , то ;

;

; . Это решение.

Ответ: ; 5; 3; 4.

Пример №32

Решение

при всех

1) , - решений нет.

2). Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) ;

;

и ;

; ;

;

- решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:

Решение

У функции Д(y): x > 0 и log2 x > 0, т.е.,

x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда (определение логарифма: ).

Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

0 1 4 х

Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).

Пример №34

Решить систему уравнений:

Решение:

По определению логарифма имеем:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

Из второго уравнения системы выразим у через х:

Тогда:

Пусть , , Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, , или .

1) 2)

Д = (-3)2 – 4*1*(-4) = 25 пусть , тогда

или Д = (-1)2 – 4*3*4 = -47<0

или корней нет

(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).

Пример №35

Решите систему уравнений:

Страницы: 1, 2, 3

Меню

Показательно-степенные уравнения и неравенства