Роль моделирования при работе над задачей в 5 классе

в математическом кружке – 18 учеников;

в танцевальном кружке - ?, на 12 учеников больше, чем в математическом;

в спортивном кружке - ?, на 5 учеников меньше, чем в танцевальном.

Такая запись при первичном анализе задачи нерациональная, так как не раскрывает наглядно взаимодействия между данными и искомыми, не помогает в выборе действия.

Учащимся предлагается смоделировать условие задачи следующим образом:

в математическом кружке –

в танцевальном кружке –

в спортивном кружке –

Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми в задачах.

Анализируя задачу, учащиеся выясняют, что в танцевальном кружке учеников на 12 больше, чем в математическом, то есть их столько же плюс еще 12; поэтому отрезок на схеме, изображающий число учеников в танцевальном кружке, они начертят большей длины, чем отрезок, изображающий число учеников в математическом кружке. А так как число учеников в спортивном кружке на 5 меньше, чем в танцевальном, то есть их столько же, но без пяти, то и отрезок, показывающий число учеников в спортивном кружке должен быть меньше отрезка, показывающего число учеников в танцевальном кружке.

Анализируя эту схему, учащиеся самостоятельно записывают правильное решение.

Внимательно рассматривая модель, можно предложить ученикам найти другой способ решения задачи. Исходя из графической схемы задачи, учащиеся выясняют, что в спортивном кружке учеников больше, чем в математическом; определяют, на сколько больше (12-5=7(уч.)), а затем отвечают на поставленный вопрос (18+7=25(уч.)). Этот способ может служить проверкой ранее рассмотренного способа решения.

Рассмотрим, как можно смоделировать задачу № 2:

«В три магазина привезли 3840 кг масла. После того, как первый магазин продал 568 кг, второй – 642 кг и третий – 401 кг, масла осталось во всех магазинах поровну. Сколько кг масла получил каждый магазин?»

В процессе разбора этой задачи с учащимися, получаем примерно такие вспомогательные модели:

Осталось?                  Осталось?                  Осталось?

                                  3840 кг

Получил:                    Осталось:              Продали:

                                                            ?

1-й магазин?

                                                            ?

2-й магазин?

3-й магазин?

Такая модель помогает уяснить одно из важных условий задачи, которое вызвало наибольшее затруднение в решении, а именно: после того, как в каждом магазине продали часть завезенного масла, в каждом из них осталось поровну.

Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

Посмотрим еще одну задачу и модель к ней.

Задача 3:

«Три группы учащихся очищали каток от снега. Первая группа очистила 7/12, а вторая 2/3 того, что осталось, а третья оставшиеся 250 м2. Вычислите площадь катка».

По предложению учеников каток изобразим в виде прямоугольника. Рассуждаем, какие размеры прямоугольника лучше взять для изображения катка. Сделаем вывод, что длину удобнее взять равной, например 12 см (число, кратное 12), а его ширину, например 6 см (число, кратное 3), на схематическом чертеже отметим данные и установим, что будем определять. Получится такая схема:

1-я группа                                                 2-я группа

Схема помогает ученикам самостоятельно найти правильные решения данной задачи.

«Иногда в 5 классе задачу не проверяют или понимают под проверкой, например, прочтение решения задачи для всего класса или сверку на доске. Модель не только поможет найти рациональный способ решения задачи, но и поможет проверить его правильность.»[4, 83]

Условие задачи с пропорциональными величинами обычно кратко записывают в таблицу. Например, следующим образом.

Задача 4: «В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?»

Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. Она предполагает уже хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве с такой задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие.

При первичном знакомстве с таким видом задач целесообразно смоделировать условие в виде схематического рисунка или чертежа.

  21 кг

                 ?                                                                  ?

По такой модели решение задачи становится более понятным для всех учащихся.

Рассмотрим задачу 5:

«С первой яблони собрали 3 одинаковые корзины яблок, а со второй – 5 таких же корзин, причем со второй яблони собрали на 40 кг яблок больше, чем с первой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони?»

1 ябл.                                                                                             

                     ?

2 ябл.

                                            40      

                                   ?

Схематический рисунок этой задачи позволяет наглядно убедиться, что разница в 40 кг возникла потому, что число корзин с яблоками, собранными со второй яблони, на две больше, чем с первой. Главное при решении – понять, что в этих двух корзинах и было 40 кг. Поняв это, дети сами записывают решение.

Модели помогают найти разные способы решения одной и той же задачи.

«Движение является темой для самых разнообразных задач. Существует самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, временем и расстоянием. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении» [22, 31]

Основные объекты задач на движение: пройденный путь (s), скорость (v), время (t); основное отношение (зависимость):  s = vt.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение

Задачи на встречное движение двух тел

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1,  v1, t1; движение второго – s2,  v2, t2. Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

        v1                                                                                                  v2

      t1                                                                                                      t2

А        s1       t встр.                      s2                        В

                                                    S

Если два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t1= t2= t встр..

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. v сбл.= v1+ v2.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: S= v сбл * tсбл..

Задачи на движение двух тел в одном направлении

«Среди них следует различать два типа задач:

1)  движение начинается одновременно из разных пунктов;

2)  движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1,  v1, t1, а движение второго - s2,  v2, t2.

Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

        v1                        v2                                                                    

      t1                              t2                                                                    

А        s                                     s2                      В

                                        S1

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v1 >   v2. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстоянии v1- v2. Это расстояние называют скоростью сближения: v сбл.= v1- v2.

Расстояние S, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

S = s1 - s2 и S = v сбл * tвстр.»[1, 141]

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

v удал. = v1+ v2, где v1 и v2 соответственно скорости первого и второго тел, а v удал – это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи.

Использование графических изображений способствует сознательному и прочному усвоению многих понятий. Благодаря им, математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся.

Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем, чертежей, помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: заставляют любоваться неожиданным, остроумным графическим решением задачи, стимулируют поиски рациональных путей решения, снижают утомляемость, повышают активность, воспитывают внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условии задачи закономерности, на которых основано решение.

Графические изображения служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим средством для проверки знаний учащихся.

Правильно построенные графические модели условий задач позволяют ученикам во многих случаях сделать прикидку ожидаемого ответа, графическую проверку правильности решения задачи, выполненной аналитическим способом.

Также графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на моделях легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу.

Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково – символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения.

Таким образом, использование графической модели при решении задач обеспечит качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть использована и для составления и решения обратных задач для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения; как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает сделать обобщения теоретических знаний; развивает самостоятельность и вариативность мышления.

Использование моделирования при работе над задачами на движение в 5 классе

Использование моделей при решении задач на движение по теме «Десятичные дроби» (учебник «Математика» автор Н. Я. Виленкин)

Задача 1: (№ 1142)

«Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м, одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 мин?»

Страницы: 1, 2, 3, 4