Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа 
5)
Найдите на числовой окружности точки с абсциссой
или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью
двойного неравенства), каким числам t они соответствуют.
а) х<1/2 б) х³-Ö3/2 в) у>Ö2/2 г) у £0.
6)
Вычислите синус t и косинус t, если t = 0, π/2, -π/4, -5π/3,
23π/6.
7)
Определите знак числа а) sin(4π/7)
б) cos(-3π/8) в) sin(-12) г)
cos5 д) sin(-14π/9)*cos(π/8).
8)
Сравните: а) sin 2 и cos 2 б) sin 3 и sin( –3) в) cos 6 и sin 1.
9)
Вычислите: cos(π
+a)*cos (-a-π/2)
(sin(-a)* sin (π/2-a))
Краткий
анализ урока.
Несмотря на
то, что ответы на многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли
не все. Многие были неуверены в правильности своих мыслей, поэтому некоторых
учеников приходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока
активность возросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось.
Результаты небольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят
сами за себя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5.
Поэтому я считаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.
Урок № 2.
Функция у= sin х, ее свойства и график.
Образовательные
цели урока:
1) Изучить
свойства функции у= sin х.
2)
Сформировать у учащихся умение изображать график
этой функции и по графику находить область определения и область значений,
промежутки возрастания и убывания, нули, наибольшее и наименьшее значения.
Форма занятия.
Так как
многие свойства синуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы
данного урока избрать беседу.
Содержание
основной части урока.
1)
Ввести функцию у= sin х.
Обосновать, что это действительно функция.
2)
Установить ее область определения и область
значений. Обосновать.
(подробнее про обоснования всех свойств см. в §3. «Методика
преподавания темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и
начал анализа»)
3)
Сформулировать и обосновать с помощью
тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх
как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность, ограниченность, а
также наибольшее и наименьшее значения.
4)
Воспользовавшись данными свойствами и равенством sin(x+2p)=sin(x), построить график и
сообщить, что он называется синусоидой.
5)
Еще раз проиллюстрировать все свойства данной
функции, но уже с помощью графика.
Практическая
часть.
1)
Не выполняя построения, ответьте на вопрос,
принадлежит ли графику функции у=sin х точка с
координатами: а) (-π/2;1) б) (π/2;1/2) в) (π;1) г) (0;0)?
2)
Используя график функции f(х),
где f(х)=sin х, найдите: а)f(π) б) f(3π/2) в) f(-π/2)
г) f(23π) д) f(-15π/2).
3)
Отметьте на графике функции у=sin х и назовите все точки, в которых значение функции равно а) ½
б) -Ö3/2
в) Ö2/2
г) –1 д) 10.
4)
Найдите все значения переменной х и отметьте их на
числовой прямой, при которых функция у=sin х принимает
значения: а) большие ½ б) меньшие Ö2/2 в) большие 0, но меньшие Ö3/2 г) меньшие
–1, но большие –2.
5)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=sin х а) на отрезке [π/4, 2π/3]; б) на луче [π/3, +¥]; в) на
интервале (-3π/2,3π/4).
6)
Сравните а) sin 0 и sin(-3); б) sin 2 и sin е; в) sin (-4) и sin 5; г) sin 8,3 и sin 9 д) sin 315 и sin 317 е) sin (–630) и sin (–631).
Краткий анализ
урока.
Урок
прошел хорошо. Ребята работали активно, так как практически все задания
решались фронтально и полуустно за исключением 4 в) и 6 г), д) и е). Цели,
поставленные на данный урок, были реализованы. По результатам 7-минутной
проверочной работы, которая проводилась на следующем уроке, можно сделать
следующие выводы: 1. Учащиеся научились строить график функции у=sin х. 2. Большинство из них, пользуясь схемой анализа, могли свободно
перечислить все свойства этой функции. Неплохо решали задачи, подобные тем,
что были разобраны. Наибольшее затруднение вызвали задачи подобные 5 в) и 6 е)
и д). Хотя, в общем, с работой справились не плохо.
Урок № 3.
Функция у= sin х, ее свойства и график.
Образовательные
цели урока:
1)
Способствовать формированию навыков применения
свойств функции у= sin х при исследовании функций, для
которых она является одной из составляющих.
2)
Научить применять известные ранее правила
преобразования графиков функций к функции у= sin х.
3)
Выработать у учащихся навыки решения некоторых
уравнений, содержащих синус, графическим способом.
Форма занятия.
Фронтальное коллективное и самостоятельное решение задач.
Содержание
основной части урока.
1)
Постройте и прочитайте график функции у= f (х), где
х2 , если х < 0,
f(х)=
sin х, если х ³0.
Вычислите f(p), f(p/3), f(-2), f(-p/2), f(3,14).
2)
Постройте график функции у= f
(х), где
х -2p, если х < 0,
f(х)= sin х, если -2p < х < 0,
Öх, если х ³0.
Для данной функции найдите область определения, область значений,
промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства.
3)
(Для самостоятельно решения с последующей
проверкой.)
Постройте график функции у= f (х), где
-(х +p)2, если х < 0,
f(х)= sin х, если -p < х < p,
(х -p)2, если х ³0.
Запишите все известные вам свойства данной функции.
4)
Постройте график функции у= sin(х+p/4). По графику определите нули данной функции и промежутки
знакопостоянства.
5)
Постройте график функции у = sin(х-2p/3)+2. По графику определите все известные вам свойства этой функции.
6)
Решите графически уравнения а) sin(х) =p+х б) sin(х) =3х в) sin(х)
+(х+p/2)2
+1=0
7)
(Для самостоятельно решения с последующей
проверкой)
а) sin(х+4p/3)-1= (х-p)2 б) -sin(х-p/6)+1,5 - ((х-4p/6)2 +0,5)=0
Краткий анализ
урока.
На
данном уроке учащиеся научились исследовать кусочно-заданные функции,
содержащие функцию у= sin х как одну из своих
составляющих, научились применять известные ранее правила преобразования
графиков функций к функции у=sinх, а также графически
решать некоторые тригонометрические уравнения. Об этом можно судить исходя из
результатов проделанной учащимися домашней работы, а также по последующему
применению полученных умений при решении подобных задач для функции у= соs х. Поэтому можно сделать вывод о том, что цели данного урока были
реализованы. Что касается затруднений, то наибольшие затруднения вызвали
задания, связанные с преобразованием графиков. Часто учащиеся путались в
вопросе - когда в какую сторону переносить график. Но в целом урок прошел
неплохо.
Заключение.
Итак,
приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся
изучения тригонометрических функций, мы проанализировали наиболее
распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и
обобщили полученные результаты в §3. Используя опыт практического преподавания,
описанный в §4 можно сделать следующие выводы:
1.
Тригонометрические функции являются наиболее
удобным и наглядный средством для обучения учащихся исследованию функций.
2.
Преподавание темы «Тригонометрические функции»
требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть
разработки эффективной методики.
3. Изучение тригонометрических
функций будет более эффективным, в том случае когда:
ü
перед
введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая
пропедевтическая работа с числовой окружностью;
ü
числовая
окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как
элемент декартовой системы координат;
ü
построение
графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций,
исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
ü
каждое
свойство функций четко обоснованно и все они сведены в систему.
4.
Наиболее удачным как с методической, так и с
содержательной точек зрения является учебник [16].
Библиографический список:
1. Алексеев, А.
Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант.
– 1995. - №2. –с. 40 – 42.
2. Алимов, Ш.А. Алгебра и
начала анализа 10-11[Текст] / Ш.А. Алимов // Учебник - Москва: Просвещение,
2001.
3. Башмаков, Алгебра и начала
анализа 10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник - Москва: Просвещение, 1992.
4. Бескин, Н.М. Вопросы
тригонометрии и ее преподавания [Текст] / Бескин Н.М. - Москва: Учпедгиз,
1950.
5. Гилемханов, Р.Г. О
преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г.
//Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
6. Горнштейн, П.И.
Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. 1989-№5 – с.
68-70.
7. Дорофеев, Г. Периодичность
и не периодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н. //Квант. 1977- №1-
с.43-48.
8. Зарецкий, В.И. Изучение
тригонометрических функций в средней школе [Текст] / Зарецкий В.И. - Минск:
Народная асвета, 1970.
9. Земляков, А. Периодические
функции [Текст] / Земляков А., Ивлев Б. // Квант. 1976-№12- с. 34-39.
10. Калинин, С.И. Задачи и
упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И., Канин Е.С.,
Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. - Киров: ВГПУ,
1997.
11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и
начала анализа 10-11 [Текст] /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва:
Просвещение, 1999.
12. Крамор, В.С.
Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. – Москва:
Просвещение, 1979.
13. Лященко, Е.И. Лабораторные и
практические работы по методике преподавания математики [Текст] /Лященко Е.И. –
Москва: Просвещение, 1988.
14. Мишин, В.И. Методика
преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] / Мишин,
В.И. - Москва: Просвещение, 1987.
15. Мордкович, А.Г.
Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе
[Текст] / Мордкович А.Г. //Математика в школе. 2002 - № 6 – с.32-38.
16. Мордкович, А.Г. Алгебра и
начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина,
2003.
17. Панчишкин, А.А.
Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т.
- Москва: Наука, 1986.
18. Раббот, Ж.
Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.
19. Синакевич, С.В.
Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.
20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе.
1993-№3- с.56-58.
21. Цукарь, А.Я. Упражнения
практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в
школе. 1993-№3- с 12-15.
22. Шаталов, В.Ф. Методические
рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов
В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.
23. Шенфельд, Х. Что общего
между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. //
Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.
Приложение
Факультатив
«Тригонометрия помогает алгебре».
Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда,
когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится
средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся
то, как можно применять свойства тригонометрических функций и
тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.
Цели:
1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.
2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений
алгебры с помощью тригонометрических подстановок.
Место
изучения.
Этот факультатив
желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.
Ход
факультатива:
Учащимся предлагается попробовать решить уравнение самостоятельно. Попробовав
выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на
уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается.
Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной
данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить
изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После
чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения
переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α, или х=cosα, α,
причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.
Учащиеся совместно с учителем
прорешивают данное уравнение.
«Поскольку функция 4х3-3х
существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)= : 1- х2 ≥0,
значит х. Введем
замену х=cosα. Нас интересуют все значения
этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус
принимает все свои значения, например отрезок .
Подставим х=cosα в уравнение,
получим
Так как α, то sinα ≥0 и можно
опустить модуль:
Условию α удовлетворяют три значения α1=, α2=, α3=.
x1=cos α1=cos=,
x2=cos α2=cos=-sin= =
x3= cos α3=cos =-cos=.
Ответ: x1=, x2=, x3=.
Пример 2. Сколько корней на отрезке
[0;1] имеет уравнение
При отсутствии лишнего времени
решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки
класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α ставит в соответствие
каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α. Значит, число решений
исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на , причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α». Уравнение примет вид
Условию α удовлетворяют четыре
значения α1=, α2=, α3=, α4=.
Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.
Пример 3. Решить систему уравнений
Внимательно
посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя)
замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и
делают вывод: если в задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать
замену х= sinα, y= cosα, α, так как числа, сумма
квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа.
Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено
учащимися самостоятельно.
Пусть х= sinα, y= cosα, α Второе уравнение
системы примет вид
Условию α удовлетворяют четыре
значения α1=, α2=, α3=, α4=.
х1= y1=
х2= y2=
х3= y3=
х4= y4=
Ответ: х= , y= ; x= , y= ; x= ,
y= ; x= , y= .
В качестве домашнего задания учащимся
можно предложить решить задачу:
Числа a, b, c, d таковы, что a2+b2=1, c2+d2=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?
Решение
может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α, c=sinβ, d=cosβ, β. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде
Преобразуем выражение ab+cd:
Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α - β)=0, a значит ab+cd=0.
Ответ: ab+cd=0»
После этого
учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические
подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят
все действительные числа?»
Можно, но в случаях, когда переменная
может принимать различные значения, используются замены x=tgα, α и x=ctgα, α.
Пример 5. Доказать, что при любых действительных х
и у
.
Замечание. Желательно обсудить с учащимися
лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.
Положим , где . Тогда
Так как все
значения выражения
лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все
значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось
доказать.
*
более подробно эти вопросы изложены в параграфе 3
1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение
тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение
тригонометрических функций только в начале 11го.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
