|
Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов
Полный перебор
можно провести, рассматривая последовательно все значения х от 1 до 9 и
подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9. Однако этот перебор можно
сократить, если заметить, что правая часть равенства больше 66. Значит, и левая
его часть, то есть задуманное число больше 66. Поэтому неизвестное число х
не меньше 6, и можно рассматривать только четыре значения х – от 6 до 9.
При х = 6
наше равенство имеет вид 60 + y = 6y + 66, а этого быть не может, так как левая часть получилась
меньше правой при любых значениях y от 0 до 9.
При х = 7
имеем 70 + y = 7y + 66. Если мы от каждой части этого равенства
отнимем одно и то же число y, то
получим 70 = 6y + 66, откуда 6y = 4, что для натурального числа
не возможно.
При х = 8
имеем равенство 80 + y = 8y + 66. Снова, вычитая из каждой части y, получим, 80 = 7y +66, 7y = 14, y = 2. Таким образом, для чисел х = 8 и y = 2 равенство выполняется, и
число 82 удовлетворяет условию задачи:
82 = 8 · 2 + 66.
Следует обратить
внимание учащихся, что нельзя считать задачу полностью решенной, поскольку перебор
еще не закончен, и среди не рассмотренных случаев могут найтись решения.
Выполняя
аналогичные преобразования, имеем при х = 9:
90 + y = 9y + 66,
90 = 8y +66,
8y = 24,
y = 3.
Показывая
учащимся, что получилось еще одно решение, число 93, которое удовлетворяет
93 = 9 · 3 + 66, мы
подчеркиваем важность полного перебора.
Авторы также
советуют проводить перебор с помощью таблицы:
|
X
|
Уравнение
|
Упрощенное уравнение
|
Y
|
6
|
60 + y = 6y + 66
|
|
невозможно
|
7
|
70 + y = 7y + 66
|
6y = 4
|
невозможно
|
8
|
80 + y = 8y + 66
|
7y = 14
|
y = 2
|
9
|
90 + y = 9y + 66
|
8y = 24
|
y = 3
|
После того, как
произведен полный перебор, важно научить школьников формулировать ответ в
соответствии вопросу исходной задачи. В данном случае ответ будет таков:
задумано либо число 82, либо 93.
К методу проб и
ошибок и к методу перебора авторы еще раз возвращаются уже в 6 классе (§ 3,
глава 3, [15]).
В 6 классе продолжается
обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение
уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с
помощью уравнений. Но прежде чем приступить к решению задач, авторы учебника
пытаются дать ответ на вопрос: «Для чего решают задачи?» и приходят к выводу, что,
решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Далее
выделяются три этапа математического моделирования:
1) построение модели;
2) работа с моделью;
3) практический вывод.
Распространенным
видом математических моделей являются уравнения. В соответствии с этапами
моделирования решение задач с помощью уравнений состоит также из трех этапов:
1) составление уравнения;
2) решение уравнения;
3) ответ на вопрос задачи.
Учащиеся
обучаются выбирать переменные, составлять уравнения, решать их и анализировать
результат.
Система задач,
приведенная в учебниках [11 – 15] позволяет достаточно полно
раскрыть методы исследования математических моделей, большое внимание уделяется
решению задач с помощью уравнений, так как уравнения – это основной вид
моделей, изучаемых в 5 – 6 классах. На основе этих упражнений учащиеся должны научиться
понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а
также понимать значение математической модели, уметь строить ее, искать
наиболее рациональный способ ее исследования и правильно делать вывод о
проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу.
2.3. Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г.
Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для
формирования умений, характерных для математического моделирования
Известно, что процесс математического
моделирования осуществляется в три этапа:
1) формализация;
2) решение внутри модели;
3) интерпретация.
Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется
работе над вторым этапом моделирования, в то время как
формализация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми.
Необходимо организовать обучение учащихся
элементам моделирования, относящимся ко всем трем этапам. Важным
средством обучения элементам моделирования, относящимся к этапам формализации
и интерпретации, являются сюжетные задачи, но этап формализации при решении школьных сюжетных
задач оказывается представлен слишком узко. Учащимся, как
правило, сразу предъявляется словесная модель задачи, поэтому представления
о характере отражения математикой явлений, описываемых в задачах, часто оказываются
весьма примитивными, то есть нет условий для
содержательного раскрытия деятельности, проходящей на этом этапе математического моделирования. Поэтому надо
искать пути
содержательного раскрытия и конкретизации этапов формализации и интерпретации
математического моделирования. Уже в 5 – 6 классах целесообразно использовать задачи, которые позволяют
учить школьников действиям, характерным для этапов формализации и
интерпретации.
Моделирование
включает в себя большое число составных элементов, поэтому большую роль в успешности работы по
математическому моделированию играет выявление элементов математического
моделирования. В. А. Стукалов [28] выявляет следующие элементы:
1)
замена
исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;
2)
оценка
полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых
данных;
3)
выбор
точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;
4)
оценка
возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.
На основе перечисленных
элементов математического моделирования, характерных для этапов формализации и
интерпретации, можно выделить умения, которыми должны овладеть учащиеся для
успешного освоения методом математического моделирования:
1) умение заменять исходные
термины математическими эквивалентами;
2) умение оценивать полноту
исходной информации;
3) умение выбирать точность
числовых значений;
4) умение оценивать возможность
получения числовых данных для решения задачи.
Проанализируем
учебники [11 – 15] Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон с точки зрения наличия
задач, применяемых для формирования у учащихся 5 – 6 классов выделенных умений.
Выполнение
действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается прежде всего на
жизненном опыте учащихся, то есть знании терминов, встречающихся в быту или при
изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими
понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников
должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но
не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого,
задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными
фактами из разных наук, вооружают учащихся навыками самостоятельной работы,
способствуют сознательному применению имеющихся знаний к жизни, знакомят их с
новыми приемами решения, развивают математическое мышление и практическую
смекалку.
Обучение
замене исходных терминов может происходить при формировании понятий. В
анализируемых учебниках [11 – 15] такими математическими эквивалентами являются
понятия «прямоугольник», в частности, «квадрат», «прямоугольный параллелепипед»
(в частном случае «куб»), «окружность», «сфера». В заданиях, предложенных
авторами учебника, всегда наряду с исходным термином указывается его
математический эквивалент, что по нашему мнению является целесообразным. В
тексте учебника встречаются следующие задачи.
Понятие «прямоугольник»
·
Площадь
баскетбольной площадки прямоугольной формы а м2, а длина 20
м. Какова ее ширина? (Cм. № 16 (1), [11]).
·
На
рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди площадь
этого участка, и выразили ее в арах. Какова длина прямоугольника, имеющего
такую же площадь и ширину 45 м? (Cм. № 57, [11]).
·
Переведи
условие задачи на математический язык:
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м
больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5
м, а ширину – на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2.
Какова площадь образовавшейся строительной площадки? (Cм. № 271 (2), [12]).
·
Построй
математическую модель задачи и найди ответ методом перебора:
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м2.
Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными
числами (см. № 333(3), [11]).
Понятие «параллелепипед»
Прямоугольный
параллелепипед является математическим эквивалентом «аквариума», «печи»,
«ящика», «бассейна». Например.
·
Из фанеры
требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с
измерениями 40 см, 20 см и 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления
ящика? Какова будет его вместимость? (Cм. № 272, [11]).
·
Из жести
сделали бак без крышки. Он имеет форму куба с длиной ребра 8 дм. Бак надо
покрасить снаружи и изнутри. Какую площадь надо покрасить? Какова вместимость
бака? (Cм. № 712, [11]).
·
Чтобы
сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного
параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических
метров земли пришлось вынуть? (Cм. №
280 (1), [11]).
·
Имеется
два аквариума с измерениями 45´32´50 см и 50´32´45 см.
а)
На изготовление какого из двух аквариумов потребовалось больше стекла?
б)
Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже
верхнего края на 10 см, а во втором – на 5 см. В каком аквариуме больше воды? (Cм. № 547, [15]).
Понятия «окружность» и «круг»
При
изучении окружности, круга и их свойств в учебнике используются задачи, в
которых используются такие термины как «окружность колеса», «обороты колеса»,
«арена цирка», «циферблат часов», «беговая дорожка», «экватор Земли».
·
Великий
древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э.) установил, что длина окружности примерно в 3 раза больше ее
диаметра. Пользуясь этим результатом, реши задачу: Какова длина беговой дорожки
ипподрома, имеющей форму круга радиусом км? (Cм. № 307(1), [12]).
·
Длина
экватора Земли равна примерно 40000 км, а ее диаметр составляет длины экватора.
Чему равен диаметр Земли? (Cм. № 488, [12]).
·
Сколько
оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8
м? Число p округли до целых (см. № 549 (2), [15]).
·
Чему
равна площадь циферблата часов, если длина минутной стрелки равна 4,5 см. Число
p округли до целых (см. №
566 (а), [15]).
·
Арена
цирка имеет длину 40,8 м. Найди диаметр и площадь арены. Число p округли до целых (см. №
737, [15]).
Также
к этой группе относятся задачи:
5 класс, часть 1,
[11]: №№ 102 (3), 142 (5), 280 (1), 716, 753, 791, 800;
5 класс, часть 2,
[12]: №№ 269 (5), 271 (1), 307, 352 (3), 379 (1), 380 (2);
6 класс, часть 1,
[13]: №№ 56 (а);
6 класс, часть 3, [15]: №№ 341, 342, 547, 549 (2,4), 562, 566.
Также при
обучении действию замены исходных терминов выбранными математическими
эквивалентами применяются задачи, в которых требуется замена одной единицы
измерения другой более мелкой и наоборот. Таких задач в учебниках очень много,
но в основном в них требуется переводить километры в метры, метры в сантиметры,
минуты в часы (№№ (5 класс, часть 1, [11]) 146 (1,2,4), 162 (2), 340 (1), 392,
406, 408, 504, 561, 581, 679, 752. 764, 786, 797, 798; №№ 44, 56, 127 (3), 221,
228, 616 (2), 769 (2), 901, 992, 1065, 1067 (5 класс, часть 2, [12]); №№ 189
(2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209, 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306,
334 (6 класс, часть 1, [13]); №№ 44, 49, 125,203, 204, 292,
293 (1), 322, 372, 373, 551 (6 класс, часть 2, [14]); №№ 116, 130 (а),
132,133, 154, 195, 223, 228, 304, 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563, 633,
667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (6 класс,
часть 3, [15])), что не вызывает больших сложностей у школьников. Например.
·
Чтобы
связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется,
чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? (Cм. № 225 (1), [14]).
·
Подводная
лодка, идя со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С
какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 45 мин быстрее (см. №
227 (1), [14]).
Часто
на практике используются такие единицы времени, как неделя, декада, квартал,
век. В учебниках недостаточно задач, в которых название единиц измерения
включено в сюжет задачи и требуется заменить одну единицу измерения другой в
соответствии с условием. В таких задачах математическим эквивалентом будет
являться число более мелких единиц измерения.
·
Средняя
температура воздуха за неделю равна 18,6°, а за шесть дней без воскресенья –
18,4°. Какой
была температура воздуха в воскресенье? (Cм. № 285 (2), [13]).
Мы считаем, что
необходимо рассматривать больше задач, в которых требуется перевод единиц
измерения, не водящих в известные системы мер, чем их приведено в учебниках [11
– 15].
При обучении действию
оценки полноты исходной информации и введения при необходимости недостающих
числовых данных необходимо учитывать компоненты, которые могут быть в
условии этих задач: сюжет (объекты), величины, их характеризующие, значения
этих величин. При этом можно выделить следующие типы задач, представленные в
таблице [19].
|