Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов 
Проблема моделирования в начальной школе рассматривается
А. К. Артемовым, Л. П. Стойловой, М А. Бородулько, Е. В. Конновой,
М. Н. Сизовой, Т. Н. Харлановой и
другими, но в 5 – 6 классах лишь некоторые авторы используют моделирование
при решении сюжетных задач. Специальная методика формирования приема
моделирования для названной ступени обучения пока еше слабо разработана. Однако вопросы моделирования приобретают все
большее значение в обучении [26].
В
учебниках новых поколений понятие математической модели и математического
моделирования появляется уже на самых ранних этапах обучения. Так, например, в
учебнике для 5 класса Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон уже во 2
параграфе первой части предлагается для изучения тема «Математические модели»
[11].
В силу различных
причин реально в школе эти учебники используются редко, поэтому идеи
математического моделирования большинству учащихся незнакомы. Роль изучения элементов математического
моделирования в 5 – 6 классах – пропедевтическая.
В этот период происходит первичное знакомство учащихся с
понятиями «модель» и «моделирование», а также с отдельными действиями,
характерными для метода математического моделирования. Вопросы, изучаемые в
курсе математики 5 – 6 классов, составляют фундамент, на котором строится
дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам.
В связи с выше изложенным рассмотрим особенности изучения темы
«Математические модели» по учебникам «Математика» для 5 – 6 классов авторов Г.
В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон и дадим краткий обзор учебников [6], [7], [11 – 17], [21], [22] с точки зрения наличия элементов
математического моделирования.
1. В ходе
изучения психолого-педагогической, философской, методической литературы были
рассмотрены различные определения понятия «модель» и «моделирование» и их
классификации. Из всех определений этих понятий можно выделить основные черты
модели:
·
модель
замещает объект-оригинал;
·
сохраняет
некоторые важные свойства объекта-оригинала;
·
результаты
исследования модели переносятся на оригинал.
В свою очередь под
моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей.
Из всего многообразия моделей
большинство специалистов выделяют два класса моделей:
1)
материальные
(реально существующие, построенные из каких-либо вещественных
предметов: из металла, дерева, стекла и других материалов);
2) идеальные (воображаемые,
основанные на мысленном представлении).
2. Математическое
моделирование, как частный случай моделирования, предполагает использование в
качестве средства исследования оригинала
его математическую модель, с помощью которой появляется возможность
сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для
анализа универсальным математическим аппаратом.
3.
Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых,
моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в
результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть, и,
во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого
невозможно полноценное обучение. Метод моделирования используется в любой
науке, обладает огромной эвристической силой: позволяет свести изучение
сложного к простому, невидимого — к видимому, то есть сделать любой
сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения.
4. Представления
школьников о математическом моделировании весьма ограничены, хотя математическое
моделирование играет важную роль в развитии диалектико-материалистического
мировоззрения и является мощным методом научного познания. Включение в школьный
курс математики уже на ранних этапах обучения понятий «модель» и
«моделирование», формирование простейших умений математического моделирования
играет важную роль в развитии личности в целом. Обучение моделированию учащихся
приводит к повышению эффективности обучения и общеразвивающему эффекту.
2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки
зрения наличия элементов математического моделирования
В учебнике по
математике для 5 класса Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. [11] уже во втором параграфе предлагается
для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается
на понятия «математическая модель» и «моделирование».
Авторы не дают определение модели, а на примере двух
задач показывают, что в двух непохожих ситуациях используется одна и та же математическая
модель, сразу указывая на ценность математического моделирования, что одна
и та же модель может описывать различные явления. Для того чтобы построить
математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач
на математический язык.
Самая распространенная
формулировка заданий, характерная для метода моделирования, звучит следующим
образом:
·
переведи
условие задачи на математический язык;
·
построй
математическую модель задачи и реши ее.
Далее говорится, что после перевода задачи на
математический язык поиск решения сводится к работе с математическими
моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.
В 6 классе [12] выделяются
этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются
этапы решения задач с помощью уравнений.
Большое внимание
уделяется этапу формализации, который вызывает у школьников наибольшие трудности
при решении задач.
Для сравнения
возьмем учебники по математике для 5 – 6 классов Н. Я. Виленкина и
других [6 – 7], Г.В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина [21 – 22], И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича
[16 – 17] и определим, какую роль авторы этих учебников отводят моделированию.
В учебниках [6],
[7] понятия «модель» и «моделирование» не вводятся ни в 5, ни в 6 классах,
соответственно нет задач с формулировкой, характерной для метода моделирования.
В учебнике [22] небольшое
внимание уделяется математическому языку, но не встречаются сюжетные задачи,
требующие перевода условия задачи с русского на математический язык.
В учебнике [16] изучаются
темы «Математический язык», «Математическая модель». Как и в учебнике [11] понятие
модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти
значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения,
- это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в
задаче.
Авторы пишут: «Выполняя
задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли
математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять
математические модели, но и выполнять обратную работу – понимать, какую
ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель». Так неявно выделяются этапы
моделирования: формализация и интерпретация.
Но следует
отметить, что задачи, в которых требуется построить математическую модель,
встречаются в учебниках [16], [17] очень редко.
2.2. Методика обучения математическому
моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6»
Учебники Г. В.
Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» [11 – 15] входят в
часть единого непрерывного курса математики и являются продолжением учебника
математики для начальной школы авторов Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон.
Этот курс разрабатывается в настоящее время с позиции развивающего обучения,
гуманизации и гуманитаризации математического образования.
Обучение школьников
ведется на высоком уровне трудности. Но материал учебников предусматривает
возможность работы по ним детей разного уровня подготовки.
Учебники
ориентированы на развитие логического мышления, творческих способностей
ребенка и интереса к математике. Учебник для 5 класса состоит из двух частей,
для 6 класса – из трех. Каждая часть включает в себя две главы. Эти учебники
позволяют учащимся самостоятельно добывать знания, а главное учат учиться. С
первых уроков ученикам предлагаются задания для формирования умений сравнивать,
обобщать, классифицировать, рассуждать. Большая часть заданий требует от
учащихся творческого подхода.
Новый материал
вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное «открытие»
его учениками. Часто задания для закрепления даны в игровой форме (кодирование
и расшифровка, отгадывание загадок и т.п.) Учащиеся с огромным удовольствием
выполняют эти задания.
В учебнике в
системе даны задания на развитие логики, мышления, развитие всех видов памяти,
творческих способностей.
«В совершенно
различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение
практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и
груша, то как найти общее число фруктов? Конечно,
2 + 2 + 1 = 5. Но ведь точно также мы можем
определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока
русского языка, две математики и физкультура.
В этих двух
непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель,
складывая не яблоки с апельсинами и не физкультуру с математикой, а натуральные
числа.
Для того чтобы
построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить
условие задачи с привычного родного языка на специальный, математический язык,
чем мы и займемся в этом пункте,» – так авторы учебника проводят мотивацию
изучения математического моделирования еще в самом начале курса математики
пятого класса (п. 1, §2, глава 1, [11]). Рассмотренный
пример, настолько прост и нагляден, что понятен даже пятиклассникам, и
становится ясно, что с помощью модели решать задачу будет проще, но еще не понятно,
что именно представляет собой математическая модель.
Далее говорится, что после перевода задачи на
математический язык поиск решения сводится к работе с математическими
моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.
В этом же пункте
авторы составляют модели пяти разнообразных задач, которые располагаются среди
предложенных для решения, в том числе задач, основной сутью которых является
отработка навыка перевода задачи на математический язык. Такими задачами
являются задачи со следующими формулировками:
·
Составь
выражения для ответа на вопросы задач (№ 72).
·
Придумай
задачи, в которых математической моделью являются следующие выражения (№ 73).
·
Среди
данных задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают (№ 74).
·
Построй
математическую модель (№ 82, № 111).
·
Составь
схему к задаче (№ 76).
·
Переведи
условие задачи с русского языка на математический (№ 83, № 87, № 98,
№102, № 116).
·
Составь
таблицу по условию задачи (№ 124).
·
Запиши
математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин
буквы x и y (№ 137).
Весь этот пункт
направлен на овладение школьниками первым этапом решения задач с помощью
математического моделирования. Заметим, что задачи с такими формулировками
встречаются не только в этом пункте, но и по всему тексту учебника, например:
5 класс, часть 1,
[11]: №№ 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796,
797, 828 и другие;
5 класс, часть 2,
[12]: №№ 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478,
530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 и
другие;
6 класс, часть 1, [13]:
№№ 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 и другие;
6 класс, часть 2, [14]:
№№ 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 495 - 498, 505 - 507 и другие;
6 класс, часть 3,
[15]: №№ 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 и другие, что
дает возможность сформировать у учащихся не только умения, но и навыки
построения математических моделей сюжетных задач.
Но кроме умения
строить математические модели необходимо уметь их разрешать и переводить
результат на понятный человеку язык. Эти два этапа процесса моделирования
авторы объединяют в один, который называют «Работа с математической моделью» (п. 2, §2, глава 1,
[11]). Из рассмотренных в этом пункте примеров видно, что после перевода
текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с
математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Для
получения результата в некоторых задачах достаточно использовать алгоритмы
действий с числами (например, № 82, [11]), в других – решение уравнений
(например, № 144, [11]). Отсюда следует, что чем больше математических
понятий и свойств знают учащиеся, тем больше они имеют возможность для
отыскания короткого и простого решения.
При решении
математических задач часто бывает так, что исследование полученной
математической модели не сводится к известным случаям, то есть у учащихся нет
достаточных знаний для исследования той или иной модели. Авторы учебника
предлагают два специфических способа исследования математических моделей:
1) метод проб и
ошибок;
2) метод
перебора.
Рассмотрим на
примерах, в чем состоит суть этих методов.
Метод проб и
ошибок позволяет
найти ответ даже в том случае, когда математическая модель представляет собой
новый, еще не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует
всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения.
Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные
решения, и ни одного не пропущено.
Задача. Ширина прямоугольника на 9 см
меньше длины, а площадь равна 90 см2. Найти стороны прямоугольника
(см. № 168 (2), [11]).
Решение. Математическая модель
представляет собой следующее уравнение: . Нужно найти и . Никакие известные пятиклассникам
правила преобразования не помогают найти ответ. Авторы предлагают подобрать
решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.
Нам надо найти
такое число х, чтобы значение выражения х (x – 9) было равно 90.
Попробуем подставить в это выражение, например х = 13:
13 (13 - 9)=52
Мы видим, что
полученное значение выражения слишком мало. Возьмем теперь х = 14:
14 (14 - 9)=70
И снова выбранное
значение мало, хотя и ближе к искомому.
Далее возьмем х = 15.
Получим:
15 (15 - 9)=90
Эта попытка
оказалась удачной, при х = 15 имеем
15 (15 - 9)=90. Казалось бы, что задача уже решена, но это не
так: ведь может оказаться, что есть другие x, при которых это выражение тоже равно 90. Допустим, что х > 15,
тогда х – 9 > 6, следовательно произведение будет больше 90.
Пусть х < 15, тогда х – 9 < 6,
получим, что 15 (15 - 9)<90.
Нам требуется найти
стороны прямоугольника. Получаем, х =15 и . Ответ: 15 см и 6 см.
Данный метод
служит мощным средством при решении еще неизвестных уравнений, неравенств и
систем уравнений. Однако он очень трудоемкий и нужно добиваться от учащихся
поиска более рационального метода решения, если это является возможным в данной
ситуации.
При решении задач
методом проб и ошибок учитель должен объяснить школьнику, что простой подбор
одного неизвестного числа не дает уверенности в том, что найдены все искомые
значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные
иногда очень непростые рассуждения, а, значит, метод проб и ошибок имеет
недостаток, который, в свою очередь не имеет другой метод – метод перебора.
Метод полного
перебора. При
поиске неизвестного числа полным перебором автор поясняет, что следует
рассматривать «все мысленные возможности: если мы упустим хотя бы одну, то
может оказаться, что именно она и дает решение задачи» [11].
Полный перебор
требует, как правило, больших усилий и большого времени. Но следует обратить
внимание учащихся на анализ условия, тем самым сократить систему перебора.
Рассмотрим задачу.
Задача. Задумано двузначное число,
которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? (Cм. № 181 (1), [11]).
Решение. После составления модели
получаем следующую задачу:
Для цифр х
и y двузначного числа
выполняется равенство 10x + y = xy + 66. Найти это число.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|
|
