Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геом...

§3. Задачи, предлагаемые учащимся сельской школы

ОКРУЖНОСТЬ

3.1. Для возможности поворота автомобиля (или колесного трактора) направляющие (передние) колеса соединены с осью шарнирами  и  так, что плоскости колес (рис. 35) могут по­ворачиваться относительно оси. Во время правильного поворота все четыре колеса катятся по дугам концентрических окружностей, причем проекции колес являются касательными к этим окружностям [19]. Докажите, что правильный поворот возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на разные углы.

Решение. Допустим противное, что  Тогда равны и вертикальные им углы и , а значит, по признаку параллельности прямые  и параллельны.

С другой стороны, поскольку углы и  прямые, а прямые  и  — касательные к окружности качения, то прямые и содержат радиусы концентрических окружностей. Значит, прямые и пересекаются. Противоречие.

Замечание. Рассмотренный эффект на практике достигается с помощью так называемой рулевой трапеции.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

3.2. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии s от передающей антенны высоты Н можно принять телепередачу с помощью приемной антенны высоты h? Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Решение. Вершина В принимающей антенны (рис. 36) за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае  где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то , а потому . Полагая в этой формуле  получаем .

Рис. 36

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s (в м): s. Из нее теперь нетрудно получить ответ и на второй вопрос задачи.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.3. Докажите, что правильный поворот (см. 3.1.) автомобиля возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на такие углы  и , что есть величина постоянная при любых возможных и .

Решение. В силу условия правильного поворота точка О (рис. 37) должна лежать на продолжении задней оси CD. Так как , , то из прямоугольных треуголь­ников и находим:

3.4. Величина угла на местности часто определяется линейными промерами. На сторонах угла откладывают отрезки (рис. 38) АВ = АС = 10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС = 12 м?

Решение. Пусть D — середина ВС. Тогда AD — высота биссектриса

Рис. 37                                             Рис. 38

равнобедренного треугольника. Из прямоугольного треугольника ADB имеем:

 .

3.5.    В строительной практике широко распространены понятия уклона и угла наклона (участка дороги, откоса плотины, стенок канала, скатов крыши и т. п.). Пусть ЕС— некоторый отрезок на местности, CD — вертикальная, ED — горизонтальная прямая. Углом наклона СЕ называется угол CED; уклоном отрезка СЕ называется отношение его подъема CD к его горизонтальной про­екции ED. Какая зависимость существует между углом наклона ее отрезка ЕС и его уклоном k?

Ответ., k = tg.

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

3.6. При проектировании сельской дорожной сети часто возникает необходимость соединить дорогами три пункта А, В и С При этом можно проложить дороги по сторонам треугольника ABC, а можно соединить эти пункты с помощью узла разветвления О (рис. 39) В каком случае общая длина дорожной сети будет меньше?

Решение. Продолжим отрезок АО до пересечения с соответствующей стороной треугольника. В силу неравенства треугольника имеем

АО + ОЕ < АВ + BE, ОС < ОЕ + ЕС.

Сложив эти неравенства, получим:

АО + ОС < АВ + ВС

Аналогично доказывается, что

АО + ОВ <АС + ВС, ВО + ОС < АВ +АС.

Сложив эти неравенства и упростив, по­лучим

АО + ВО + СО < АВ + ВС + АС.

Рис. 39

Так что использование узла разветвления дает более короткую дорожную сеть.

3.7. На рисунке 40 изображено поперечное сечение земляной плотины, сооруженной на склоне. Перед началом строительства такой плотины вначале отмечают на местности (столбами) ее продольную ось OS, а затем с помощью так называемых от точек  и  до оси плотины. Найдите эти расстояния, если известно, что высота плотины OS=h , ширина гребня , откосы  и имеют уклон (см. 3.5.) 1:n, а уклон склона 1:m.

Рис. 40

Решение. Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда прямая  имеет угловой коэффициент  про­ходит через точку , прямая  имеет угловой коэффициент - и проходит через точку, а проходящая через начало координат прямая имеет угловой коэффициент . Поэтому рассматриваемые прямые имеют следующие уравнения:

Точка А принадлежит одновременно прямым  и . Поэтому ее абсциссу  можно найти из уравнения

Решив уравнение, получим, что

Аналогично находим, что

Полученные формулы и используются на практике.

ПОДОБИЕ ФИГУР

3.8. На рисунке 41 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D. Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF, лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажите, что

                   (*)

где Н — высота дерева, h — высота человека на уровне глаз, d — расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах).

Рис. 41

Решение. Так как GEA=AFB (докажите это, рассматривая пары параллельных прямых), то прямоугольные треугольники EGA и FBA подобны. Поэтому (все размеры в см):

 или

Отсюда и следует (*).

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

3.9. Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндри­ческую катушку с желобками (рис. 42), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки. При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t, исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t=13.6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

 Рис. 42

Решение. Требуется найти диаметр окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной ап — t. По известной формуле получаем:

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ И ДУГА ОКРУЖНОСТИ

3.10. Известно, что пучок света от фар расходится под углом  = 2° к направлению движения. Какова видимость от фар на поворо­те с радиусом закругления R = 100 м?

Решение. Пусть автомобиль находится в точ­ке А (рис. 43) Тогда фары освещают дугу АВ, длину которой l и требуется найти. Соединим точки А и В центром окружности О.

Пусть С — середина стороны АВ. Угол СОА равен углу РАВ, так как они дополняют угол ВАО до 90°. Поэтому .АОС =, AOB = Значит,  м.

Рис. 43

3.11. Работая на поле, тракторный агрегат часто совершает холостой «грушевидный» (рис. 44) или «восьмеркообразный» (рис. 45) поворот, который, как допускают в приближенных расчетах, состоит из дуги окружности радиуса R, плавно (с помощью сопряжения) переходящей в прямые l и т. При этом предполагают, что сопряжение окружности  с прямыми l и т осуществляется дугами окружности того же радиуса R. Кроме того, в случае широкозахватного агрегата (например, трактор с несколькими сеялками) радиус поворота R оказывается равным ширине захвата b.

Для определения производительности тракторного агрегата необходимо знать длину его холостого пробега и, в частности, длины холостых поворотов.

а) Найдите длину грушевидного поворота широкозахватного агрегата.

Решение. В силу симметрии поворота достаточно рассмотреть лишь его левую половину. Поворот начинается в точке сопряжения с прямой l, а в точке сопряжения с окружностью  происходит переезд с одной окружности на другую. Поэтому для решения задачи необходимо построить точки сопряжения.

Из курса черчения известно, что центр С сопрягающей дуги является точкой пересечения окружности радиуса 2R с центром в О и прямой, параллельной l, отстоящей от l на расстоянии R (рис. 37), причем точка сопряжения А лежит на отрезке СО, а точка сопряжения В лежит на перпендикуляре к l, опущенном из точки С.

Пусть — радианная мера угла COS. Тогда

Рис. 44                          Рис. 45

OCB=, и потому

 ,

,

а значит, длина поворота

Найдем величину . Поскольку

то

а следовательно,   0,85. Поэтому

.

б) Найдите длину восьмеркообразного поворота широкоза­хватного агрегата.

Решение. Рассуждая так же, как и при решении предыдущей задачи, найдем (рис. 34), что

Однако в этом случае , а потому  и, следовательно,  0,25. Поэтому

.

Ответы к задачам показывают, что там, где это возможно, предпочтительнее выполнение грушевидного поворота, чем восьмеркообразного, так как при этом холостой пробег агрегата короче.

Замечание. Используемую при решении рассмотренных задач формулу  — длины дуги через радианную меру угла — легко (и целесообразно) вывести при изучении радианной меры угла.

Площади фигур

3.12. Требуется выкопать канал для подачи воды к рыбоводному пруду. Имеется возможность устроить его в форме полувыемки — полунасыпи (рис. 46). В таком случае наиболее экономичным будет такое расположение канала, при котором сечение выемки

Рис. 46

равновелико сечению насыпи (не нужно будет ни отвозить, ни подвозить грунт). Определите, какой должна быть при этом глубина выемки, если об­щая глубина канала h = 2м, ширина по дну b = 1м, ширина гребня выемки а = 1м, а угол наклона откосов—45°.

Решение. Пусть х — глубина выемки. Тогда площадь поперечного сечения выемки  площадь сечения насыпи . Приравняв площади, получим квадратное уравнение. Решив его, найдем х = 1,2м.

3.13. В различных расчетах по эксплуатации оросительных систем встречается величина R =  гидравлический радиус канала, где F — площадь поперечного сечения канала (живое сечение), Р — длина границы этого сечения (смоченный периметр). Найдите гидравлический радиус канала (рис. 47), проложенного каналокопателем Д — 716 (AD = 260 см, ВС = 60 см, ABC = BCD = 135°).

Рис. 47

3.14.  С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Сечение канала — равнобедренный треугольник. Каким должен быть угол при вершине, чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль?

Решение. Пусть F — живое сечение канала, х — величина угла при его вершине, а — длина боковой стороны треугольника. Так как F = Р = 2а, то

Смоченный периметр Р будет наименьшим, когда  будет наибольшим, т.е. при х = 90°.

3.15. Для хранения зерна на элеваторах часто сооружают емкости в форме цилиндров [4]. При этом строят сразу несколько таких емкостей, примыкающих друг к другу в определенном порядке, а также в некоторых местах сооружают дополнительные круглые стенки. Получается монолитный корпус с поперечным сечением довольно сложной конструкции. Зерно засыпается не только в цилиндрические емкости (круглые силосы), но и в емкости образовавшиеся между ними (силосы-звездочки). Для расчета емкости силосного корпуса необходимо знать площади сечений всех его силосов.

На рисунке 48 изображено поперечное сечение силосного корпуса одного из элеваторов. Найдите площади сечений силосов-звездочек 2 и 3, зная диаметр d силоса 1 и пренебрегая толщиной стенок.

Рис. 48

Решение. Площадь  равна, очевидно, разности между площадью квадрата ABCD и площадью круга 1:

Если от площади квадрата EFGH (которая, очевидно, равна половине площади квадрата ) вычесть , то мы получим учетверенную площадь луночки. Поэтому площадь луночки

а площадь фигуры 2

УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ

3.16.  Найдите наибольший допустимый угол а наклона склона, вдоль которого может стоять, не опрокидываясь назад, заторможенный трактор МТЗ-50 (этот угол называется предельным углом подъема трактора).

Решение. Требуется найти угол между плоскостью склона и горизонтальной плоскостью. Он равен углу между прямыми (рис. 49) в продольном сечении склона. Из курса физики известно, что для устойчивости тела на наклонной плоскости необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр масс А, не выходила за пределы опоры BD. Рассмотрим предельный случай, когда эта вертикаль АВ проходит через границу опоры. Проведем ACBD и рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. Так как

 ВАС = а, то .

У трактора МТЗ-50 интересующие нас параметры таковы АС == 89 см, ВС == 85 см. Поэтому для него  и, следовательно, предельный угол подъема .

Рис. 49

3.17. При строительстве домов на селе нередко устраивается так называемая четырехскатная крыша, скаты которой представляют собой (рис. 50) два треугольника и две трапеции с одинаковым уклоном. Найдите площадь кровли четырехскатной крыши дома длины а и ширины b, если известно, что угол наклона скатов крыши равен .

Рис. 50

Решение. Угол между плоскостями многоугольников — скатов крыши — и плоскостью ABCD равен , а ортогональные (вертикальные) проекции этих многоугольников на горизонтальную плоскость образуют прямоугольник ABCD. Поэтому площадь кровли S =.

МНОГОГРАННИКИ

3.18. При одном из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата — 50 см) и высотой 10 см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой лунке на склоне под углом наклона 10°, если дополнительно известно, что одна из сторон основания лунки горизонтальна.

 Рис. 51

Решение. Так как (рис. 51) BL = 50tgl0° < 10, то в момент наибольшего наполнения слой воды представляет собой призму высоты 50 см, основанием которой является трапеция. Поэтому объем воды

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

3.19. Бревна и дрова на складах лесоматериалов укладывают в штабеля. Учет уложенной в штабеля древесины ведется через объем штабеля с помощью коэффициента полнодревесности, под которым понимается отношение объема древесины в штабеле к геометрическому объему штабеля (первый меньше из-за наличия пустот между стволами). Найдите коэффициент полнодревесности идеализированного прямоугольного штабеля (рис. 52), состоящего из одинаковых цилиндров.

Рис. 52

Решение. Пусть r— радиус основания цилиндра, h — его высота. Допустим, что по ширине штабеля уложено m цилиндров, а по высоте — п. Тогда объем древесины в штабеля

.

Штабель принимается за параллелепипед с измерениями 2mr, 2nr и h. Его объем

,

значит, коэффициент полнодревесности

.

Удивительно, что именно такой коэффициент полнодревесности указан в ГОСТ для правильного прямоугольного штабеля из метровых бревен без коры.

3.20. При защите почв от водной эрозии на склонах иногда делают лунки в форме полушара диаметром d. Сколько воды может накопиться в такой лунке на склоне с углом наклона ?

Рис. 53

Решение: Объем воды равен объему (рис. 53) шарового сегмента:

где Н – высота сегмента. Так как расстояние от центра лунки до поверхности воды  то  Отсюда находим:

Заключение

Целью данной работы являлось разработка содержания темы «Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии» и методики проведения факультативных занятий. В работе была выдвинута гипотеза исследования, заключающаяся в том, что систематическое и целенаправленное внедрение в школьный курс геометрии разнообразного материала способствует повышению интереса учащихся к геометрии и развивает их творческие способности. В результате естественного педагогического эксперимента гипотеза была подтверждена.

Были решены следующие задачи:

 1. Изучена математическая, психолого-педагогическая, методическая литература по проблеме исследования.

2. Подобран и адаптирован для школьников теоретический и практический материал, позволяющий продемонстрировать приложение геометрических фактов к решению задач на местности.

3. Найдены  эффективные пути и способы организации факультативных занятий.

4. Разработана методика проведения факультативных занятий по теме «Решение задач на местности».

5. Проведена экспериментальная проверка отобранного материала и методики факультативных занятий.

Практическая значимость исследования  заключается в том, что в нем обоснованы возможности совершенствования учебно-воспитательного процесса применительно к процессу преподавания математики путем проведения факультативных занятий,  разработаны рекомендации по совершенствованию организационно-педагогического обеспечения математических факультативов. Предложенные научно - методические материалы при использовании в массовой практике позволяют находить эффективные пути организации математических факультативов. Разработанные материалы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении методики преподавания и на педагогической практике, а так же учителями средних школ при организации и проведении уроков.

На основе изучения педагогической, методико-математической, психолого-педагогической литературы, а также опыта работы учителей по вопросу организаций факультативных занятий и непосредственной работы с учителями  общеобразовательных школ разработаны рекомендации для успешного функционирования математического факультатива в средней школе.

  Важной задачей является раскрытие психолого-педагогических основ организации факультативных занятий как осуществление профильной дифференциации.

 Основным направлением предложенных рекомендаций, является максимальное повышение эффективности работы факультативных занятий.

 Современная общеобразовательная школа ставит задачу профориентации учащихся по окончании школы, путем введения  факультативной формы работы. В работе сформулированы рекомендации, которые повысят уровень преподавания факультативных занятий и тем самым повысят уровень подготовленности учащихся.

Литература

1. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический

          аспект. – М., 1977.

2. Балк М.Б.,  Балк Г.Д. Математика после уроков, М., Просвещение, 1977.

3. Балк М.Б.,  Балк Г.Д. Математический факультатив вчера, сегодня, завтра

          //Математика в школе – 1987 - №5.

4. Бенбяминов М.Р. Математика и сельское хозяйство, М., 1968.

5. Вилянкин Н.Я., Шибасов Л.Т., Шибасова З.Ф. За страницами учебника

           математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. – М.: Просвещение:

           АО «Учеб. мет.», 1996.

6. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности, М., 1973 – 126 с.

7. Гильбух Ю., Кондратенко Л., Коробко С. Как не убить талант? //Народное 

           образование. – 1991. - №4.

8. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. М., 1979.

9. Депман И.Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М. -:

           Просвещение, 1989.

10. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. / Я.И. Перьльман. –

           Ростов н/Д: ЗАО «Книга», 2005.

11. Иваньков П.А. Основы  геодезии , топографии и картографии.-М., 1972

12. Иванов П.А. Технические измерения М., 1964

13. Калмыкова З.И. Типологические принципы развивающегося обучения.-      

           М.: Знание, 1979.

14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика:

           Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./А.Я.Блох,

            В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвеще-

            ние, 1987.

15. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: 

           Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / В.А. Ога-

           несян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – 2-е изд., пе-

           раб.   и доп. – М.: Просвещение, 1980.

16. Морозова Н.Г. Учителю  о  познавательном  интересе.  М.:  Знание,  серия

          «Педагогика и психология», 1979.

17. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Пет-  

           рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.1.

18. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Пет-  

           рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.2.

19. Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе: Кн. для учите-

           ля. – М..6 Просвещение, 1986.

20. Погорелов А.В. Геометрия. М., 1990.

21. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.,

           Наука, 1989.

22. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии: Планиметрия. – М.: 

           Учпедгиз, 1959.

23. Четверухин Н.Ф. Методы геметрических построений, М., Учпедгиз, 1952.

24. Шварцбурд С.И. и др. Состояние и перспективы факультативных занятий

           по математике: пособие для учителя. – М., 1977.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5