Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геом... 
4. Итоги урока.
На
уроке были рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими
измерениями на местности – определением высоты предмета, нахождением расстояния
до недоступных предметов. Приведенные задачи имеют значительный практический
интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для
практических работ.
5. Задание
на дом:
№1.
Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5600м. Как далеко
можно видеть с вершины этой горы?
№2. М
– наблюдательный пункт высотой h метров над Землей; радиус Земли R, MT
= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что .
№ 3.
Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на
берегу. (Остров О принять за точку).
Рис.
14
Занятие
2. Тема:
Задачи с измерениями при различных ограничениях.
Цель
урока:
научиться применять имеющиеся теоретические и практические знания для решения
задач на местности. Изучить изготовления приборов для измерения высоты.
Познакомиться с различными способами решения задач.
Оборудование: дощечка или кусок коры,
булавки, ниточка с грузиком, записная книжка, карандаш, зеркало, шест.
Структура
урока:
1.
Организационный момент – 1-3 минуты.
2.
Актуализация знаний – 7 минут.
3.
Объяснение нового материала – 20 минут.
4.
Обсуждение с учащимися прошедшего урока – 5 минут.
5.
Выдача домашнего задания – 5 минут.
Ход
урока:
1. Организационный момент. Добиться
внимания учеников, проверить готовность к уроку.
2. Актуализация знаний.
а)
свойства равнобедренного треугольника;
б)
подобие треугольников.
3. Объяснение нового материла.
Существуют различные
способы измерения высоты деревьев [6]. Рассмотрим некоторые из них.
1.Самый
простой способ состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой
тенью, какой бы длины она ни была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции (рис. 15)
AB :ab=BC:bc
т.е. высота
дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во
сколько раз тень дерева длиннее тени человека (или тени шеста). Это вытекает из
геометрического подобия треугольников ABC и abc (по двум углам).
Рис. 15
Вполне
возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Таких способов
много.
2.
Можно воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника,
обратившись к весьма простому прибору, который легко изготовить из дощечки и
трех булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть
плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного
треугольника – и в них втыкают торчком по булавке (рис. 16).
Рис. 16
Если нет под рукой чертежного
треугольника для построения прямого угла, нет и циркуля для отложения равных
сторон, то можно перегнуть любой лоскут бумаги один раз, а затем поперек
первого сгиба еще раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получим
прямой угол. Та же бумага пригодиться и вместо циркуля, чтобы отмерить равные
расстояния.
Отойдя
от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один из катетов
треугольника был направлен отвесно, для чего можно пользоваться ниточкой с
грузиком, привязанным к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от
него, всегда можно найти такое место А (рис.17), из которого, глядя на
булавки а и с, можно увидеть, что они покрывают верхушку С
дерева: это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С.
Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ, так как угол а=.
Рис. 17
Следовательно,
измерив расстояние аВ (или на ровном месте, одинаковое с ним расстояние АD) и прибавив BD, т.е. возвышение аА глаза над
землей, получите искомую высоту дерева.
3.
Можно обойтись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который
придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы выступающая часть как раз
равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, как
показано на рис. 18, было видно верхушку дерева на одной прямой линии с
верхней точкой шеста. Так как треугольник Abc – равнобедренный и прямоугольный, то угол А= и, следовательно, АВ
равно ВС, т.е. искомой высоте дерева.
Рис. 18
4. В
качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты можно использовать
карманную записную книжку и карандаш. Она поможет построить в пространстве те
два подобных треугольника, из которых получается искомая высота.
Рис.
19
Книжку надо держать возле
глаз так, как показано на упрощенном рис. 19. Она должна находиться в отвесной
плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы,
глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия
треугольников abc и аВС высота ВС
определяется из пропорции
BC : bc=aC:ac
Расстояние
bc, ac и аС измеряются непосредственно.
К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD, т.е. – на ровном месте – высоту
глаза над почвой. Так как ширина ас книжки неизменна, то если всегда
становиться на одном и том же расстоянии от измеряемого дерева, высота дерева
будет зависеть только от выдвинутой части bc карандаша.. Поэтому можно заранее вычислить, какая высота
соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа не карандаш.
Записная книжка превратиться тогда в упрощенный высотомер.
5.Своеобразный
способ определения высоты дерева при помощи зеркала. На некотором расстоянии
(рис. 20 ) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально
зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в
зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз
выше роста наблюдателя (ЕD), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше
расстояния СD от зеркала до наблюдателя.
Почему?
Рис. 20
Решение:
Способ основан на
законе отражения света. Вершина А (рис. 21 ) отражается в точке А’ так
что АВ=А’В. Из подобия же треугольников ВСА’ и CED следует, что
A’B:ED=BC:CD.
В этой пропорции
остается лишь заменить А’В равным ему АВ, чтобы обосновать
указанное соотношение.
Рис.
21
Этот
удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом
насаждении, а к одиноко стоящему дереву.
4. Итоги урока.
На уроке были
рассмотрены различные способы измерения высоты деревьев. Изучены различные
приборы для измерения высоты деревьев. Полученные знания достаточно легко
применяются на практике.
5. Домашнее задание.
№1.
Как с помощью зеркала можно измерить высоту дерева, если к нему невозможно
подойти вплотную?
№2. В
40 метрах одна от другой растут две сосны. Высота одной 31м, другой – 6м.
Как вычислить расстояние между их верхушками?
§6. Педагогический эксперимент
По
проблеме исследования был проведен естественно – педагогический эксперимент.
Эксперимент
проходил в три этапа:
1 этап – констатирующий
эксперимент. При его проведении были выявлены знания учащихся по теме
«Использование и измерений и решение задач на местности при изучении некоторых
тем школьного курса геометрии», при этом использовались различные формы и
методы выявления знаний, такие как: анкетирование, беседы с учащимися и учителями,
наблюдение за учащимися.
2
этап – поисковый. На этом этапе производился отбор заданий для проведения факультатива.
В результате был подобран комплекс заданий, при работе с которым учащиеся
знакомятся с задачами, решаемыми на местности, осуществляется повторение и
систематизация знаний школьного курса геометрии, пропедевтика ряда
геометрических понятий, повышается интерес школьников к математике,
вырабатывается осознанный подход к применению знаний на практике.
3
этап – обучающий (формирующий), когда была проведена экспериментальная проверка
знаний, полученных в ходе проведения факультативных занятий, в виде опроса.
На третьем этапе эксперимента проводилась проверка гипотезы.
Выводы: факультативные занятия
способствуют углублению и расширению знаний, развитию интереса учащихся к
предмету, развитию математических способностей, привитию школьникам интереса и
вкуса к самостоятельным занятиям, воспитанию и развитию инициативы и
творчества, развитию определенных
сторон мышления и черт характера учащихся. Также занятия содействуют
профессиональной ориентации учащихся. На факультативах осуществляется
подготовка к выпускным экзаменам за счет повторения теории и решения различных
задач. У учащихся в процессе изучения темы повысился интерес к геометрии, чего
не наблюдается в классах, где факультативные занятия не проводились.
Таким
образом, эксперимент подтвердил выдвинутую гипотезу: если систематически и
целенаправленно включать в школьный курс геометрии разнообразный материал, то
это повысит интерес учащихся к геометрии и разовьет их творческие способности.
ГЛАВА
2
Существует
множество различных способов производить измерения при помощи незамысловатых
приборов и даже без всяких приспособлений.
Самый
легкий и самый древний способ – без сомнения, тот, который греческий мудрец
Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды [10]. Он
воспользовался ее тенью. Фалес, – говорит предание, - избрал день и час, когда
длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды
должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Конечно, длину тени надо
было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого
основания Фалес мог измерить непосредственно.
Фалес
жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались
геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины
не были открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения
задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства
треугольника, - именно следующие два:
1)
что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно - что
стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;
2)
что сумма углов всякого треугольника (или по крайней мере прямоугольного) равна
двум прямым углам.
Только
вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная
тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину
прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени
должны обозначать равнобедренный треугольник. Однако способ Фалеса в указанном
виде применим не всегда.
§1.
Задачи с измерениями при различных ограничениях
При
решении задач, связанных с измерениями на местности не всегда применимы
непосредственные геометрические измерения. Существуют трудности, связанные с
такими измерениями. При решении задач необходимо, чтобы используемые способы
были осуществимы на практике и применялся минимум необходимых средств для
построений, измерений и вычислений.
1.1.
Выясним как по длине тени, падающей от дерева в
солнечный день, определить высоту этого дерева?
Так как лучи солнца можно считать практически
параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо
шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест
известной высоты а и измерив отношение k длины тени от дерева к длине
тени от шеста, можно вычислить искомую высоту дерева ka.
Заметим, что указанный способ не слишком надежен, так как
отбрасываемая при свете солнца тень не имеет отчетливой границы из-за присущей
ей неясно очерченной каймы полутени.
1.2. В городе установлен большой памятник. Имеется почтовая
карточка с фотографией этого памятника, сделанной с почтительного расстояния от
него Можно ли воспользоваться этим снимком для определения высоты памятника?
Для приблизительного нахождения высоты памятника по снимку можно
выбрать две точки, расположенные у фундамента этого памятника, и измерить
расстояние между ними на фотографии и на местности (второе расстояние нас
интересует скорее не в чистом виде, а как проекция на прямую, перпендикулярную
направлению, в котором был сфотографирован памятник). Найдя отношение k первого из
расстояний ко второму, мы узнаем масштаб снимка, после чего останется замерить
на нем высоту памятника и поделить ее на k..
1.3. Необходимо измерить на местности расстояние между двумя
объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим
непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как тем не менее можно
произвести указанное измерение?
Рис. 22.
Пусть А
и В — данные точки на местности, между которыми определяется расстояние.
Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В (рис. 22). На
продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии АС
от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим
точку Е, для которой СЕ=ВС. Тогда отрезки ED и АВ равны,
поскольку они симметричны относительно точки С.
Если же из-за недостатка места точки Е и D выйдут за пределы
досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда
отрезок ED будет в то же число
раз короче отрезка АВ, так как треугольники ABC и DEC будут подобны.
1.4.
Можно ли воспользоваться для измерения глубины озера
торчащим из воды камышом, не вырывая его?
Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим
расстояние а между точками А и В, в которых камыш
пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном
положении (рис. 23). Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту b над водой, на
которую поднимется при этом точка В наклоненного камыша, заняв исходное
положение С. Тогда, обозначив через D основание камыша, а через
х — искомую глубину AD, из прямоугольного треугольника ABD находим
откуда
и .
Рис. 23 Рис. 24
1.5.
Каким способом можно измерить высоту дерева, не взбираясь на него и не прибегая
к помощи теней?
Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева,
нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности
верхушку дерева (рис. 24). Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз
равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны b и у соответственно,
то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем
глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева
.
Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться
равенства b=a, которое
достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что
позволит считать h=0, а в результате высота дерева окажется равной x=y.
1.6.
Существует огромный пруд круглой формы, обойти который по окружности нельзя
из-за имеющихся на его берегу различных препятствий в нескольких местах. Кроме
того, представляется затруднительным измерять расстояние между какими-либо
точками, если только соединяющий их отрезок проходит над водой. Можно ли при
таких ограничениях измерять диаметр пруда?
Рис. 25
Встав в точку А на некотором расстоянии от пруда (рис. 25),
можно расположить перед собой горизонтальную палку длины а так, чтобы
расстояния от обоих ее концов до одного глаза (второй глаз при этом лучше
закрыть) были равны одному и тому же значению b , а сами концы палки
зрительно совместились с крайними точками пруда, видимыми из точки А.
Тогда, измерив расстояние у от А до ближайшей точки пруда по
прямой, проходящей через середину палки, можно вычислить радиус х пруда,
а значит, и его диаметр 2х. Действительно, из подобия соответствующих
прямоугольных треугольников находим
,
откуда 2bx=ax+ay, т.е. x=y.
Заметим, что если добиться равенства b=а (что достигается
выбором точки А), то коэффициент при у в последней формуле будет
равен 1, а искомый диаметр пруда окажется равным 2х=2у.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
