Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах

По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек  S, M и М’ дает равенство . Отсюда имеем  Û , откуда и получаем искомую формулу .

Итак, обобщенная инверсия имеет формулу  или, что то же самое, . При k>0 получаем инверсию с положительной степенью, при k<0 – с отрицательной.

Но всякое ли преобразование плоскости, заданное формулой , является обобщенной инверсией? Если принять , , то достаточно потребовать, чтобы и  для обобщенной и  для обычной инверсии (с положительной степенью).

Значит, всякое преобразование плоскости, задаваемой формулой , есть обобщенная инверсия.

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии. Исследуем уравнение инверсии на неподвижные точки: для них должно выполняться равенство  Û . Мы не рассматриваем центр инверсии и бесконечно удаленную область, так как мы доопределили, что они не остаются неподвижными, а переходят друг в друга. Тогда будет выполняться равенство .

Очевидно, что если , то все искомые точки образуют окружность с центром в точке с координатой s и радиусом . Эта окружность при  называется окружностью инверсии. Если обозначить радиус окружности инверсии через R, то выполняется . И формулу инверсии для k>0 можно переписать более наглядно: .

Если степень инверсии отрицательна, то преобразование не имеет неподвижных точек (поскольку невозможно изобразить на плоскости, даже комплексной, точки, координаты которых удовлетворяют равенству ). Но иногда эту мнимую окружность также называют окружностью инверсии, ее центр расположен в центре инверсии, а радиус будет равен ==.

Так как , то, очевидно, инверсию отрицательной степени легко представить в виде коммутативной композиции инверсии с положительной степенью  и центральной симметрии  с общим центром в s.

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии. Без ограничения общности рассуждений можно принять , и формула инверсии примет вид , более удобный для практики. Ведь нам пока не важны коэффициенты в получающейся формуле, важно, какую фигуру она описывает.

Пусть задана прямая l с уравнением , . При подстановке в это уравнение  и  получаем: . Умножим на , это будет равносильным преобразованием, поскольку ; получим, опуская в полученном результате штрихи: .

Если q = 0, то получаем уравнение . Так как , то умножим обе части уравнения на , получим . Это уравнение прямой, совпадающей с заданной прямой l. Если , то получаем уравнение окружности , так как . Она содержит центр инверсии, ее центр расположен в точке , а радиус равен . Заметим, что центр лежит на прямой , проходящей через центр инверсии перпендикулярно l.

Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмем теперь окружность , не проходящую через центр инверсии . Тогда выполняется . Ее образ имеет уравнение  (штрихи опущены). При раскрытии скобок получим . Умножим на , это будет равносильным преобразованием, поскольку ; получим . Так как , то этим уравнением задается окружность с центром  и радиусом . Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии 0, центр данной окружности s и центр ее образа  коллинеарны, поскольку число  действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности s перейдет в , то тогда должно выполняться . Поскольку , умножим на , получим равносильное равенство . Отсюда , то есть , что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.

Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то  и окружность  при инверсии  переходит в окружность , центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением  инвариантна.

Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение . Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность  в фигуру . Поделив обе части на , получим окружность с центром  и радиусом , что и требовалось доказать.

Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.

Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек:  и .

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия  для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а1 и а2. Тогда при инверсии а1 переходит в -1, а а2 – в 1. Тогда можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, . Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения   = .

Из второго условия получаем  =. Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке  и степенью .

Точка с координатой а2 лежит на действительной оси правее точки с координатой а1, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения .

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо , откуда , либо , откуда , то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а1 переходит в 1, а а2 – в -1. Можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, .

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения , откуда . Из второго уравнения  = . Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения . Отрицательна она будет только в случае , то есть  или в случае  , то есть . Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.

Итак, когда радиусы окружностей не равны, одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая – с отрицательной.

Если же радиусы окружностей равны, то все выкладки будут иметь место, но гораздо упростятся. Для первого случая получим из равенства , что , тогда . Причем у нас не может быть случая, когда одна окружность лежит внутри другой, значит, степень положительна.

Для второго же случая получаем верное равенство , но , и получим , то есть окружности концентричны, но в силу равенства радиусов они совпадают. Это невозможно по предположению, значит, такой инверсии не может быть.

Можно сделать вывод, что если радиусы окружностей равны, то одну в другую можно перевести ровно одной инверсией с положительной степенью. В принципе, этого следовало ожидать: у двух окружностей равного радиуса только один центр гомотетии.

Покажем теперь, что существует инверсия, переводящая прямую l в окружность действительного радиуса, и обратно. Ясно, что эта окружность проходит через центр инверсии, а прямая нет. Мы уже показали, что центр инверсии лежит на прямой m, проходящей через центр нашей окружности перпендикулярно l. Значит, он может быть только в одной из точек пересечения окружности с прямой m.

Введем систему координат так, что начало координат располагается в центре окружности, а прямая m совпадает с действительной осью.

Данная прямая l параллельна мнимой оси, поэтому будет иметь уравнение , . Прямая пересекает действительную ось в точке с координатой . Окружность, если обозначить ее радиус r, будет иметь уравнение . Инверсии, если они есть, будут иметь формулы  и , где k1 и k2 нам пока не известны. Первая переведет окружность в прямую с уравнением  Û  Û . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Вторая инверсия переведет окружность в прямую с уравнением  Û  Û . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Могут получиться следующие случаи:

1)  Û , тогда , ;

2) Û , тогда , , то есть второй инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой -r;

3)  Û , тогда , ;

4) Û , тогда , то есть первой инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой r, ;

5)  Û , тогда , .

Можно сделать вывод, что если прямая не имеет общих точек с окружностью, то одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая с отрицательной. Если прямая касается окружности, то одну в другую можно перевести только одной инверсией с положительной степенью. Если прямая и окружность пересекаются, то одну в другую можно перевести двумя инверсиями с положительными степенями.

Две же различные прямые никогда не могут быть переведены друг в друга инверсией.

1.6. Свойства обобщенной инверсии.[2]

1º. При обобщенной инверсии с центром О и степенью k внутренние точки окружности Σ(О,) (окружность инверсии, если k положительно) переходят во внешние и наоборот (поэтому говорят также о зеркальном отображении относительно окружности).

□ Для центра инверсии и бесконечно удаленной области это очевидно. Для остальных точек при инверсии с положительной степенью это было доказано выше, в теореме 2. А так как инверсию с отрицательной степенью можно представить как коммутативную композицию инверсии с положительной степенью и центральной симметрии с центром в начале инверсии, то и для нее все очевидно. ■

2º. Преобразование плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование

□ Следует из инволютивности преобразования инверсии. ■

3º. Две фигуры, инверсные третьей фигуре относительно одного и того же центра О, гомотетичны.

□ Действительно, пусть М – точка фигуры F, М1 и М2 – точки, соответствующие ей в двух инверсиях с общим центром О и коэффициентами k1 и k2. Без ограничения общности рассуждений можно рассмотреть инверсию с центром в начале координат. Тогда, если точки М, М1 и М2 будут иметь координаты m, m1 и m2 соответственно, то , . Замечаем, что вторая точка получена из первой при гомотетии с уравнением . ■

Мы видим, что выбор степени инверсии не влияет на форму полученных фигур. Эта форма изменяется только при изменении центра инверсии.

4º. Зависимость расстояния между образами A’ и B’ двух точек А и В от расстояния между этими точками при инверсии с центром S и степенью k выражается в формуле .

□ Инверсия задается формулой . Тогда . Отсюда  =  = =. А это и означает . ■

5º. Инверсия сохраняет величину угла между окружностями, а также между окружностью и прямой, между двумя прямыми, но изменяет его ориентацию на противоположную.

□ Пусть заданы две окружности (прямая и окружность, две прямые), одна из которых проходит через точки A, B, C, а другая – через точки A, B, D. Берем точки «хорошие», то есть среди них нет бесконечно удаленной и нулевой, так как мы будем брать инверсию с центром в нуле. Если заданы две прямые, считаем А = В. Если A’, B’, C’, D’ – образы этих точек при инверсии , то их двойное отношение w’ равно числу, комплексно сопряженному двойному отношению w точек A, B, C, D:

.

Согласно геометрическому смыслу аргумента двойного отношения, он равен ориентированному углу между окружностями (прямой и окружностью, двумя прямыми) ABC и ABD, но . ■

Следствие 1. Инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.

□ Заметим, что . Из этого следует, что инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.

Для иных наборов точек это утверждение, вообще говоря, неверно. Например, будем предполагать, что все четыре точки различны. Если центр инверсии совпадает, скажем, с точкой А, то, при неравенстве остальных точек бесконечно удаленной, получаем отношение , не имеющее смысла. Если же А совпадает с бесконечно удаленной точкой, то получим  - тоже нет смысла. ■

Следствие 2. Две точки и их образы при инверсии лежат на одной окружности или одной прямой.

□ Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим инверсию . Пусть точки А(a) и В(b) переходят при инверсии в точки А’(a’) и В’(b’). Тогда координаты образов будут  и  соответственно. Если двойное отношение их вещественно, то все доказано.

, то есть они действительно лежат или на одной окружности, или на одной прямой.

Чтобы они лежали на прямой, нужно потребовать, чтобы точки А и В были коллинеарны с центром инверсии, причем каждая из точек даже может совпадать с центром инверсии или бесконечно удаленной точкой. ■

Следствие 3. Касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямая переходят при инверсии в касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямую, если только точка касания не совпадает с центром инверсии, иначе они переходят в параллельные прямые.

□ Угол между касающимися окружностью и прямой или касающимися окружностями равен 0º. Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то окружности переходят в две окружности, если центр инверсии не на одной из окружностей, в противном случае в окружность и прямую. Угол сохраняется, значит, все верно.

Если же точка касания совпадает с центром инверсии, то окружность переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а прямая переходит сама в себя. Угол между прямыми сохраняется и равен 0º, то есть они действительно параллельны. ■

Определение 7. Прямая называется касательной к кривой в точке М0, если для произвольной точки кривой М расстояние от М до прямой стремится к нулю быстрее, чем от М до М0, когда M® М0, то есть , где Р – это проекция точки М на прямую.

Определение 8. Окружность называется касательной к кривой в точке М0, если касательная к окружности в этой точке является и касательной к кривой в этой точке.

Определение 9. Углом между двумя кривыми в их общей точке называется угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.

Если кривые не имеют общих точек, или хотя бы одна из них не имеет касательной в общей точке, то угол между кривыми не определен.

Очевидно, что угол между двумя кривыми в их общей точке также можно определить как угол между касательными окружностями (касательной окружностью и прямой) к этим кривым в рассматриваемой точке.

Определение 10. Всякое преобразование, при котором сохраняются углы между кривыми, называется конформным преобразованием.

Следствие 4. Инверсия есть конформное преобразование.

□ Лемма. Пусть дана окружность с центром s и точка m0 на ней. Тогда прямая, проходящая через эту точку и касающаяся данной окружности, будет иметь уравнение .

○ Искомая касательная перпендикулярна прямой, проходящей через s и m0, и сама проходит через m0.

Перенесем центр координат в точку m0, то есть применим параллельный перенос, который будет иметь уравнение . Прямая, проходящая через s-m0 и 0, будет иметь уравнение , или в канонической форме . Любая прямая, проходящая через 0, будет иметь уравнение . Чтобы она была перпендикулярна прямой , нужно, чтобы . То есть можно взять . Значит, искомая прямая будет иметь уравнение . Переводим в исходные координаты: . ●

Пусть нам даны кривые g и n, имеющие общую точку с координатой  m0, и пусть каждая из них имеет касательную в этой точке – l и p соответственно. Пусть при некоторой инверсии кривые g и n перейдут в кривые g’ и n’, прямые l и p – в прямые или окружности l’ и p’. Все фигуры будут проходить через точку с координатой m’0. Угол между последними, по свойству 5, сохранится, так что остается показать, что они будут касательными к кривым g’ и n’ в точке с координатой m’0.

Страницы: 1, 2, 3