Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах 
Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах
Федеральное агентство по
образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Вятский
государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная
квалификационная работа
Инверсия плоскости
в комплексно сопряженных координатах
Выполнила:
студентка V курса
математического
факультета
Дмитриенко
Надежда Александровна
Научный
руководитель:
старший
преподаватель кафедры
алгебры и
геометрии
Александр Николаевич
Суворов
Рецензент:
Допущена к защите в
государственной аттестационной комиссии
«___»__________2005 г. Зав.
кафедрой В.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан
факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные положения теории
инверсии............................................ 4
1.1. Общие
сведения о комплексной плоскости.......................................... 4
1.2. Определение
инверсии – симметрии относительно окружности......... 5
1.3. Формула
инверсии в комплексно сопряженных координатах............ 11
1.4. Неподвижные
точки и окружность инверсии..................................... 11
1.5. Образы
прямых и окружностей при обобщенной инверсии.............. 12
1.6. Свойства
обобщенной инверсии......................................................... 19
Глава 2. Применение инверсии при
решении задач
и доказательстве
теорем.................................................................. 30
2.1. Применение
инверсии при решении задач на построение.................. 30
2.2. Применение
инверсии при доказательстве.......................................... 41
Заключение..................................................................................................... 43
Библиографический список........................................................................... 44
Введение
В наш век современных технологий так и
хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было
бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу
нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и
центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать
только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки
зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык
координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению
преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.
Цель
работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об
инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования при
решении задач и доказательстве теорем.
Поставленная
цель предполагала решение следующих задач:
·
вывод комплексной
формулы инверсии;
·
доказательство основных
свойств инверсии на комплексной плоскости;
·
решение нескольких задач
при помощи инверсии комплексной плоскости;
·
доказательство ряда
теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.
Оказалось, что не так много специальных
работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в
литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. Поступали следующим
образом: брали известный факт из евклидовой плоскости, а потом доказывали его
методом комплексно сопряженных координат. Чаще всего такие доказательства были
понятнее и короче, чем исходные.
Глава 1
Основные положения теории инверсии
1.1. Общие сведения о комплексной плоскости. Зададим на плоскости прямоугольную декартову
систему координат 0xy. Тогда каждому комплексному числу z,
представленному в алгебраической форме , можно однозначно поставить в соответствие точку
М плоскости с координатами . Комплексное число z
называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: .
Следовательно,
множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном
соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью
комплексных чисел.
Все необходимые
сведения об этой плоскости очень хорошо даны в книге Я. П. Понарина [3]. Здесь
приведем лишь некоторые формулы, взятые из того же источника, использованные в
работе.
Расстояние между
двумя точками с координатами а и b равно .
Уравнение прямой
в канонической форме: ,
.
Уравнение
окружности с центром в точке s и радиусом r: . Также часто используют запись , , , где центр , радиус .
Скалярное
произведение векторов: .
Коллинеарность
трех точек с координатами а, b и с: .
Критерий
коллинеарности векторов: .
Расстояние от
точки с координатой z0 до прямой , : .
Критерий
параллельности двух прямых и , заданных в канонической форме: .
Критерий
перпендикулярности двух прямых и , заданных в канонической форме: .
Двойное отношение
четырех точек плоскости с координатами а, b, с и d: ; аргумент w равен ориентированному углу между окружностями abc и abd.
Критерий принадлежности
четырех точек одной окружности или прямой: .
Критерий ортогональности
окружностей , и , : .
Параллельный
перенос на вектор с координатой r: .
Гомотетия с
центром s и коэффициентом s: , .
Осевая симметрия
с осью симметрии ,
где : .
Центральная симметрия с центром : .
1.2.
Определение инверсии – симметрии относительно окружности.[1]
Определение 1. Углом между двумя
окружностями называется угол между касательными к окружностям в точке их
пересечения.
Если окружности
не имеют общих точек, то угол между ними не определен.
Определение 2. Углом между окружностью S и прямой l называется угол между прямой l и касательной к окружности S в точке пересечения этой окружности
с l.
Опять же, если
прямая и окружность не имеют общих точек, то угол между ними не определен.
Из определения 2
следует, что окружности, центры которых лежат на данной прямой l, и только эти окружности,
перпендикулярны к прямой l.
Теорема 1. Все окружности,
перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А,
проходят и через точку В, симметричную точке А относительно
прямой l.
□ Рассмотрим
произвольную окружность с центром на прямой l, проходящую через точку А. Введем систему координат
таким образом, что прямая l
является действительной осью, а начало координат располагается в центре нашей
окружности, и радиус ее равен 1.
Действительная
ось имеет уравнение ,
и формула осевой симметрии относительно l будет .
Окружность имеет уравнение .
Если точка А
имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь
координату .
Докажем, что она тоже лежит на окружности.
Действительно,
поскольку А ей принадлежит, то , что и означает принадлежность точки В() этой окружности. ■
Если А не
лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей,
проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые
окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все
совпадали бы.
Если А
лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек,
поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В
(не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть
еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки,
то есть они все совпадут, что невозможно.
Значит, если
окружности перпендикулярны прямой l и
проходят через точку А, и точка В симметрична точке А
относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то
это единственные общие точки этих окружностей.
Поэтому можно
дать такое определение симметрии относительно прямой.
Определение
3. Точки
А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности,
перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А,
проходят и через точку В.
Введем теперь
понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 2. Все окружности,
перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную
точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через
некоторую точку В, отличную от точки А.
□ Рассмотрим некоторую
окружность w, удовлетворяющую нашим
условиям.
Введем систему
координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности
Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной
оси.
Тогда Σ задается
уравнением , w задается уравнением , где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность
окружностей дает равенство . Раз А лежит на w, то верно , а с учетом предыдущего равенства .
Точка А,
по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на
действительной оси, поэтому и , то есть , откуда . Последнее число, очевидно, тоже является
действительным. Тогда докажем, что точка с координатой лежит на w, то есть верно . Но это равносильно , или , что верно. Значит, точка с
координатой лежит
на w. Так как она отлична от
точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей,
что и требовалось. ■
Заметим, что
точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку
тогда касательная к w будет иметь с последней две
общие точки, что невозможно.
Естественно, что
других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и
проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку
тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все
окружности бы совпадали.
Заметим также,
что точки с координатами 0, а и коллинеарны. Две последние точки лежат по
одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри
окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение
расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному
числу – квадрату радиуса данной окружности.
Если А лежит
на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно,
если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы
к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть
не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все
совпадут, что невозможно. Если же еще одна
общая точка окружностей
лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ,
поэтому или
. Но мы
всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону,
поэтому будем считать, что . Тогда из верного равенства получаем, что . Так как В лежит на
w, то верно , но В лежит и на Σ,
тогда последнее равенство запишется как . Получаем систему Û Û .
Так как , то и левая часть
первого условия не должна равняться нулю. Значит, из первого условия можно
смело находить центр w. Но тогда все окружности
пучка совпадут, так как радиус окружностей находится как расстояние , что невозможно.
Также заметим,
что и в этом случае квадрат расстояния от точки А до центра окружности
равен квадрату радиуса данной окружности.
Теперь становится
естественным следующее определение:
Определение 4. Точка А называется
симметричной точке В относительно окружности Σ, если каждая
окружность, проходящая через А и перпендикулярная Σ,
проходит через точку В.
Для каждой точки А
существует только одна ей симметричная. Причем, очевидно, что если А
лежит на Σ, то у нее нет отличных от нее симметричных точек, она
симметрична сама себе. Также очевидно, что если А совпадает с центром
окружности симметрии, то у нее нет симметричной ей точки.
Еще ясно, что
произведение расстояний от центра данной окружности до симметричных точек равно
квадрату радиуса этой окружности.
Если точка А
симметрична точке В относительно окружности Σ, то и точка В
симметрична точке А относительно окружности Σ. Это позволяет
говорить о точках, симметричных относительно окружности. Совокупность всех
точек, симметричных точкам некоторой фигуры F относительно окружности Σ, образует фигуру F’, симметричную фигуре F относительно окружности Σ.
Симметрия
относительно прямой является предельным случаем симметрии относительно окружности,
так как прямую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса.
Симметрия
относительно окружности называется также инверсией; в этом случае окружность,
относительно которой производится симметрия, называется окружностью инверсии,
центр этой окружности – центром инверсии, а квадрат ее радиуса – степенью инверсии.
Инверсию можно
еще определить и так:
Определение 5. Инверсией
плоскости с центром в точке S и
степенью инверсии k называется преобразование,
которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’,
что точка М’ лежит на луче SM и произведение .
Докажем
равносильность определений 4 и 5.
4Þ5. Вспомним, что при
доказательстве теоремы 2 и далее в рассуждениях мы пришли к факту, что
симметричные относительно окружности точки лежат на одной прямой с центром
окружности Σ и по одну сторону от него, причем произведение их
расстояний до центра этой окружности равно постоянному действительному числу –
квадрату радиуса окружности. Это было показано для каждой точки, отличной от
центра окружности.
5Þ4. Проведем окружность с
центром в точке S и радиусом . Нам дано, что . Но любая окружность, перпендикулярная проведенной и
проходящая через точку М, не лежащую на проведенной окружности, проходит
и через точку М’, мы это показали ранее. Значит, действительно, точки М
и М’ симметричны в смысле определения 4.
Чтобы это было
действительно преобразование, допускают, что точка S отображается в бесконечно удаленную
точку, и наоборот (в данном случае нам удобнее мыслить бесконечно удаленную
область как одну точку).
Определение 5
менее геометрично, чем предыдущее, но обладает преимуществом большей простоты.
Исходя из этого определения, инверсию иногда еще называют преобразованием
обратных радиусов. С этим определением связано также название «инверсия» (от
латинского слова inversio – обращение).
Очевидно, слова
«точка М’ лежит на луче SM и произведение » можно с успехом заменить
словами «точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное
произведение векторов ». Здесь k всегда положительно. Но иногда
полезно рассмотреть преобразование, которое переводит точку M в М’ так, что и точки S, M и М’ коллинеарны, но M и М’ лежат по разные стороны
от точки S. Тогда, очевидно, k будет отрицательным. Такое
преобразование называют инверсией с центром в точке S и отрицательной степенью. Здесь
также допускают, что центр инверсии переходит в бесконечно удаленную область, и
наоборот.
Вообще, говоря об инверсии, имеют в виду обычно инверсию с положительной
степенью. Если знак степени инверсии может быть любым, то такое преобразование
называют обобщенной инверсией. Его определение будет таким.
Определение 6. Обобщенной инверсией
плоскости с центром в точке S и
степенью инверсии k называется преобразование,
которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’,
что точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное
произведение векторов . При этом считают, что S переходит в бесконечно удаленную область,
и наоборот.
Это преобразование инволютивное, поскольку точки М и М’
входят в формулу равноправно, а для центра инверсии и
бесконечно удаленной области все очевидно.
1.3.
Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной
инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’.
Страницы: 1, 2, 3
|
