Элементы топологии на уроках математики в школе

Существует и ещё одна теорема, даже более знаменитая, чем выше названная, ибо прошло более ста лет, как она сформулирована, а доказательства до сих пор нет. В 1976 г. эта теорема была доказана с использованием ЭВМ [7] – [8]. Она известна как проблема четырёх красок (формально, пока не получено доказательство, её нельзя назвать теоремой). В ней утверждается: чтобы «правильно» раскрасить любую карту, изображённую на односвязной поверхности вроде поверхности глобуса или этой страницы, необходимо только четыре краски.

Раскрашивая географическую карту, обыкновенно стараются распределить цвета, таким образом, между странами, чтобы две страны, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Было обнаружено на опыте, что любая карта, сколько бы ни было изображено на ней стран и как бы они ни были расположены, может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более чем четырьмя красками. Легко убедиться, что меньшее число достаточным для всех случаев не является. На рис. 5 изображён остров посреди моря, который никак нельзя раскрасить менее чем четырьмя красками, так как на нём имеется четыре страны, из которых каждая соприкасается с остальными тремя.

Разумеется, что на карте могут существовать точки, в которых сходится любое число областей (или стран), что ещё совсем не означает, что каждую из них необходимо закрасить своей краской. Шахматную доску можно, как обычно раскрасить только двумя красками, хотя на ней есть точки, где сходятся четыре клетки. Чтобы две страны было необходимо закрасить в разные цвета, надо чтобы у них был хот бы небольшой общий участок границы. Нам не требуется также все моря красить голубой краской или все британские владения — розовой; мы обязаны лишь красить в разные цвета прилегающие страны. Никому не удалось построить карты, для которой потребовалось бы более четырёх красок, никому не удалось также доказать, что такой карты построить нельзя, хотя огромное количество учёных умов пытались это сделать. Было доказано, что пять областей нельзя расположить таким образом, чтобы каждая из них касалась всех остальных (доказательство, если проводить его абсолютно строго, оказывается хитрее, чем можно было бы предложить.) Однако отсюда ещё вовсе не следует справедливость общей теоремы о четырёх красках, хотя существование подобных пяти областей, конечно, опровергло бы эту теорему.

Тот факт, что до настоящего времени не было ни разу найдено такой карты, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырёх красок, приводит к мысли о справедливости такой теоремы: При любом данном разбиении плоскости на области, не покрывающие друг друга ни полностью, ни частично, всегда возможно пометить их цифрами 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы «прилежащие» области были бы обозначены разными цифрами. Под «прилежащими» областями понимаются такие, которые имеют целый отрезок границы общим: две области, имеющие лишь одну общую точку(или даже конечное число общих точек), как например штаты Колорадо и Аризона, не будут называться «прилежащими», так как никакого смешения или неудобства не возникает, если их раскрасить одинаково.

Можно начать чертить карту и раскрашивать её по мере построения, но не исключено, что мы зайдём в тупик и нам придётся вернуться назад и раскрашивать  карту по-новому. Во всех экспериментах нам удаётся выпутаться из любого положения, но до сих пор не доказано, что это действительно возможно всегда.

Есть основание полагать, что впервые проблема четырёх красок была поставлена Мёбиусом в 1840г.; позднее её формулировали де Морган в 1850г. и Кэли в 1878г. «Доказательство» её было опубликовано в 1879г. Кемпе, но Хивуд в 1890г. нашёл ошибку в рассуждении Кемпе. Пересматривая доказательство Кемпе, Хивуд обнаружил, что пяти красок всегда достаточно. Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, положение вплоть до нашего времени остаётся в сущности неизменным. Было доказано, что пяти красок достаточно для всех карт, и имеется предположение, что достаточно также четырёх. Но, как и в случае знаменитой теоремы Ферма, ни доказательства этого предположения, ни противоречащего ему примера приведено не было, и оно остаётся одной из «больших» нерешённых математических проблем. Заметим, между прочим, что проблема четырёх красок была решена в положительном смысле для частных случаев, когда число областей не превышает тридцати восьми. Отсюда ясно, что если в общем случае теорема неверна, то опровергающий пример должен быть не особенно простым.

Самое досадное, что доказана теорема, которая кажется гораздо более трудной: на торе или на любой другой двусвязной поверхности существуют карты, для раскрашивания которых требуется 7 красок, и семи красок хватает для раскрашивания любой карты. В случае если читателю нравится озадачивать других, пусть он нанесёт рис. 6 на бумажный тор (бублики малопригодны для картографии) и после небольшой предварительной болтовни его раскрасить. Как можно заметить, на рисунке семь областей, каждая из которых касается всех остальных (помните о склейках, указанных стрелками).

Следует объяснить, что области на противоположных сторонах, которые соприкасаются между собой вдоль участка склейки, должны быть окрашены в разные цвета. Даже в случае ленты Мёбиуса удалось доказать, что нужно не более чем 6 красок и что есть карты, для которых требуется ровно  6 красок. Если разбить полоску, как показано на рис. 7, а затем перекрутить её и склеить, то мы увидим, что при этом получится 6 областей, каждая из которых будет касаться всех остальных. Поскольку у листа Мёбиуса одна сторона, мы считаем, что он прозрачен: каждый участок имеет один и тот же цвет, независимо от того, с какого направления мы на него смотрим.

К проблеме четырёх красок подступались с разных сторон, из которых по-видимому, наиболее обещающей является формула Эйлера для многогранников, поскольку любую карту можно топологически преобразовать в некоторый многогранник, а формула, как мы видели ранее, приложима к любой фигуре, состоящей из граней (стран на карте), рёбер (границ) и вершин ( точек соприкосновения границ). Несмотря на изнурительные исследования, основная проблема не решена до сих пор, хотя в качестве её «отходов» получен ряд интересных теорем. В некотором смысле эту проблему можно было бы назвать проблемой трёх красок, ибо если бы нам удалось построить карту, для внешнего «пояса» которой потребовалось бы более трёх красок, то мы могли бы затем окружить её ещё одной областью, для чего нам понадобилась бы пятая краска.

Это означает не то, что для всей такой карты, за исключением лишь окружающей карту области, используют только 3 краски, а то, что во всех случаях мы должны быть в состоянии так перекрасить карту, чтобы для областей внешнего «пояса» потребовалось только 3 краски. В случае карты, изображённой на рис.8, мы начинаем раскрашивать сначала внутренние области: 1, 2 и 3, а затем, как на показано, окружающие их области; при этом мы начинаем с тех же красок 1, 2 и 3, но уже для х потребуется четвёртая краска, а для у – пятая. Дабы этого избежать, мы должны отказаться от четвёртой краски для области х, закрасив этим цветом одну из внутренних областей, что позволит нам в случае «пояса» х обойтись тремя красками. Если мы найдём удачный метод удаления четвёртых красок для всех последовательно возникающих «внешних поясов», то сможем решить эту часть проблемы.

Любой карте можно придать более единообразную форму, преобразовав её в то, что называется правильной картой – такой, у которой в каждой точке соприкасается не более трёх областей. Это не повлияет на  раскрашивание, поскольку при переходе к первоначальной карте окажется лишь, что несоприкасающиеся области соприкасаются в точке (но не по части границы!). Обычный способ состоит в том, чтобы заменить точку р, в которой соприкасается более трёх областей, новой областью А (рис.9). Теперь у нас образовалось 4 точки a, b, c, d, в каждой из которых соприкасаются только 3 области (страны). Если мы правильно раскрасим эту вторую карту, а затем удалим А, то в результате останется всё ещё правильно раскрашенная карта, с той оговоркой, что мы, быть может, используем 3 краски там, где окажется достаточно и двух. Мы принесли простоту в жертву единообразию – вещь, порой полезная в математике.

Отметим то замечательное обстоятельство, что для некоторых поверхностей более сложного типа, чем плоскость или сфера, соответствующие, соответствующие теоремы действительно были доказаны, так что, как это ни парадоксально, анализ более сложных (в геометрическом отношении) поверхностей в данном случае проводится легче, чем более простых. Как было сказано выше, для случая поверхности тора, имеющей вид «бублика», что всякая нарисованная на ней карта может быть раскрашена семью красками и что, с другой стороны, на ней мыслимы такие карты, составленные из семи областей, что каждая область соприкасается с остальными шестью.

Головоломка.  Вам требуется раскрасить карту ( рис. 10). Площадь каждой области равна 8м2, за исключением верхней, у которой площадь составляет 16м2. У вас есть следующие краски: КРАСНАЯ, которой хватает ровно, на 24м2; ЖЁЛТАЯ, которой хватает на 24м2; ЗЕЛЁНАЯ, которой хватает на 16м2, и СИНЯЯ, которой хватает на 8м2. Результат должен удовлетворить обычному требованию: соприкасающиеся области нельзя закрашивать в одинаковый цвет. Остерегайтесь единорогов.

§4. Фракталы.

Объекты, которые мы теперь называем фракталами, впервые появились в воображении математиков начала прошлого столетия. И тогда вряд ли могло прийти в голову, что в окружающей нас природе встретится что-либо похожее на эти необычные и изысканные кривые. И хотя в этом параграфе речь пойдёт в основном о физических системах, начать придётся с маленького и очень нестрогого математического введения.

4.1. Самоподобные геометрические объекты.

Самоподобной геометрической фигурой (телом) будем называть фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Примеры — на рисунке 11: отрезок, равносторонний треугольник, квадрат, куб.

Несколько сложнее выглядит самоподобный объект на рис. 12. Но строится он довольно просто. Начиная с равностороннего треугольника со стороной l0, будем повторять (до бесконечности) следующий процесс: каждые отрезок, соединяющий вершины ломаной, разделим на три части и среднюю часть заменим двумя отрезками длиной l/3, где l – длина исходного отрезка. Первые несколько стадий построения такой кривой показаны на рис. 12. На n-й стадии построения кривая представляет собой ломаную из N = 3N = 3·4n отрезков длиной l/3n каждый, полная её длина L = 3lо(4/3)n. Эту ломаную называют триадической кривой Коха (по имени шведского математика, придумавшего этот объект).

Рис. 12

Каждый исходный отрезок триадической кривой Коха состоит из четырёх подобных ему отрезков с втрое меньшим расстоянием между концами.

Самоподобными являются и объекты, показанные на рисунке 13, -- так называемые треугольная кривая Серпинского – «ковёр Серпинского» (по имени польского математика В. Серпинского (1882 – 1969)). Способ их построения ясен из рисунка: первая получается при многократном соединении середин сторон соответствующих равносторонних треугольников, вторая – при бесконечном повторении процедуры выбрасывания середины из разделённого на 9 частей квадрата.

Рис. 13

Вернёмся к кривой Коха. Попробуем, например, определить её длину с помощью циркуля. Установив раствор циркуля равным λ, будем переставлять циркуль по кривой, считая число его перестановок n. Длина кривой при этом приближенно будет равна L≈λn. Величину λ будем называть масштабом измерения.

Измеряя, скажем, длину окружности с радиусом R = 1м, мы получим, что измеренная длина L = λn при λ = 1м равна 3,0м, при λ = 0,1м  L = 6,2мм, при λ = 0,01м L = 6,28м, и при λ®0 длина L стремится к пределу 2πR = 6,28318… м.

Попытавшись проделать аналогичную процедуру с кривой Коха, мы убедимся в отсутствии того предела, который можно было бы считать длиной этой кривой. Выбирая масштаб λ = l0/3n, мы получим, что измеренная длина кривой будет равна длине ломаной, соответствующей n-й стадии её построения –  L = 3l0(4/3)n.

Попытки измерить длины других самоподобных кривых привели бы к аналогичному результату – с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растёт.

Отметим один весьма важный фактор, отличающий реальный самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения λmin.

Рассмотрим, например, реальный процесс построения кривой Коха с помощью карандаша и бумаги. Пусть мы строим кривую с начальной длиной стороны l0 = 1м карандашом, оставляющим линию толщиной а0 = 0,1мм = 10-4 м. С математической точки зрения процедура построения кривой может продолжаться бесконечно. Реальный же процесс остановится, как только длина отрезка между двумя соседними точками излома сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это произойдёт на шаге с номером n = ln(l0/а0)/ln3 ≈ 9. Длина нашей линии при этом будет L ≈ 40м. Так что реальная самоподобная кривая имеет конечную длину.

Теперь вернёмся к идеальным математическим объектам. Формулу длины кривой Коха можно записать в таком виде: L = Аλ-a, где А = 3l0ln4/ln3, a = (ln4/ln3)-1. (Учащиеся, зная правила обращения с логарифмами, смогут сами убедиться, что эта запись эквивалентна формуле L = 3l0(4/3)n.) Фигурирующий в формуле показатель a связан с размерностью кривой.

4.2. Что такое размерность?

Существует несколько определений размерности, соответствующих совершенно разным понятиям. Попробуем составить представление о некоторых из них.

Первое определение связано с минимальным числом координат, необходимых для однозначного определения положения точки. В нашем пространстве это число равно трём, на плоскости достаточно двух координат, на линии – всего одной. В этом смысле пространство трёхмерно, плоскость двумерна, линия одномерна. Естественно, в таком определении размерность всегда является целым числом.

Второе определение связано со следующим обстоятельством. Чтобы разрезать прямую на две части, достаточно исключить одну точку. Множество, состоящее из конечного (счётного) числа точек, будем считать нульмерным. Размерность любого множества будем полагать на единицу большей, чем размерность разреза, делящего его на две связные части. При таком определении размерности линия одномерна, плоскость (для разрезания которой необходимо провести разрез по некоторой линии) двумерна, объёмно геометрическое тело трёхмерно. Эта размерность – её называют топологической – также может быть только целой.

Перейдём теперь к третьем, самому интересному для нас определению размерности, точнее – к определению целого класса близких по смыслу понятий размерности. Простейшее из них – размерность самоподобия D можно определить формулой D = (ln N)/(ln n), где N – число одинаковых частей, на которые разбивается данный самоподобный объект, имеющих в n раз меньший пространственный разрез. Посмотрите на рис11. Проведя, как показано на рисунке, разрезы, мы разделим квадрат на N = 4 квадрата со стороной, меньшей исходной в n = 2 раза. Кубик со стороной 1 состоит из N = 8 кубиков со стороной ½ (n = 2). Так что размерность самоподобия для квадрата равна ln4/ln2 = 2, для кубика – ln8/ln2 = 3; очевидно, что размерность отрезка равна 1.

Вычисляя таким же образом размерность объектов, показанных на рисунках 12 и 13, мы увидим, что размерность каждого участка кривой Коха (и размерность всей кривой) равна D = ln4/ln3 = 1,2618, треугольной кривой Серпинского – ln3/ln2 = 1,5849, «ковра Серпинского» -- ln8/ln3 = 1,8727. Эти странные кривые имеют нецелую размерность.

А теперь вернёмся к формуле длины кривой Коха. Воспользовавшись только что приведённым определением размерности D, мы можем переписать эту формулу в виде L = 3l0Dλ1-D.

Рост измеренной длины самоподобной кривой при уменьшении масштаба измерения является показателем её нецелой размерности: D = 1+a.

4.3. Как измерить размерность?

Размерность самоподобия можно определить только для очень регулярных, построенных по строго определённым правилам, объектов. Если отклонения от регулярности невелики, объект можно считать приблизительно самоподобным. А если велики?

Воспользуемся определением размерности, которым часто пользуются при экспериментальном измерении размерности различных физических систем.

Пространство, в котором расположен интересующий нас объект, разбивают на клетки размером λ (например, наносят на плоскость фотографии объекта квадратную сетку со стороной λ). Подсчитывают число клеток, в которые попали точи объекта. Разбиение повторяют, используя меньший масштаб λ¢<λ и т.д. (рис. 14). Зависимость числа клеток, в которые попали точки объекта, от размера клетки при этом даётся законом N = Aλ-D, где D и есть искомая размерность. Рассматривая плоскую область площади S (треугольник на рис. 4), нетрудно убедиться, что N ≈ S/λ2, так что D = 2. Для отрезка N = BL/λ, где L – длина отрезка, а B – коэффицинт, зависящий от его ориентации. Размерность отрезка D = 1. Если проделать ту же процедуру и с объектами, показанными на рисунках 12 и 13, получатся значения D, совпадающие с их размерностью самоподобия. Для определения размерности реальных объектов рисуют график зависимости lnN от – lnλ. Этот график изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой даёт нам значение D.

Рис. 14.

4.4. «Фрактальная геометрия природы».

В 1961 году вышла работа английского исследователя Л. Ричардсона (1881 – 1953), посвященная измерению длин береговых линий. Автором было установлено, что измеряемая длина побережья растёт с уменьшением масштаба измерения по законуL = Аλ-a (закон Ричардсона), где показатель a составляет, например, для западного побережья Британии 0, 24, а для побережья Австралии – 1,13. И хотя этот закон очень напоминал формулы длин самоподобных кривых, работа Ричардсона существовала сама по себе. Имелось и некоторое количество других физических примеров, «выходящих» на самоподобные объекты. Но всё было разрознено…

Существенно изменение произошло с появлением книги французского математика Бенуа Мандельброта (работающего в США), вышедшей в 1975 году на французском и в 1977 году на английском языке. Книга собрала воедино множество этих математических и физических примеров, сделав их достоянием научного обихода. Но главной заслугой Мандельброта было то, что он придумал, как всё это называется.

Многие, вероятно, помнят, что основным вкладом Атоса в развитие событий, описанных в романе Дюма «Двадцать лет спустя», было изобретение названия операции – «Семейное дело». Этот вклад считался равноценным шпаге д’Артаньяна и деньгам Партоса. Придумать хорошее название – большая заслуга.

Для объектов дробной размерности, точнее – для объектов, фрактальная размерность которых больше их топологической размерности, Мандельброт придумал название «фрактал». Слово это происходит от латинского fraktus – дробный, изрезанный. Один весьма остроумный человек перевёл это название на русский язык словом «дробняк».

Первая книга Мандельброта называлась «Фракталы: форма, случай, размерность». Вторая, вышедшая в 1982 год, называлась уже так: «Фрактальная геометрия Природы». Это название как нельзя лучше отражает реальную ситуацию.

Фрактальными свойствами обладают многие географические объекты – океанские и морские побережья, реки, горы и горные ущелья. Границы государств, если только они следуют естественным ориентирам, а не проведены линейкой на карте и лишь потом определены на местности (как, например, граница между Египтом и Суданом), -- тоже фракталы. Длина границы между Португалией и Испанией (приведенная в португальском справочнике) и длина границы между Испанией и Португалией (приведенная в испанских официальных сведениях) отличается на 20 %, поскольку при их измерении использованы разные масштабы. Это ещё раз подтверждает, что понятие длины для фрактальных кривых является не слишком осмысленным.

Таким образом, история изучения фрактальных систем довольно поучительна. Появившись в начале как игра ума чистых математиков, эти объекты мало интересовали естествоиспытателей. Одновременно с этим существовало некоторое количество малоприятных фактов (типа неизмеримости длины береговой линии), не слишком важных, чтобы привлечь общее внимание, и не слишком интересных, чтобы исследовать их ради них самих. Число таких фактов растёт, но они по-прежнему остаются малоинтересными и разрозненными. Но этап вопросов прошли многие теории, прежде, чем приобрести стройность и завершённость. Так что у фракталов всё впереди.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Внеклассная работа является одной из важнейших форм обучения в классах обычных, а также с углубл6енным и повышенным изучением математики. Поэтому перед методистами- математиками в настоящее время стоят задачи помочь учителям наполнить её новым содержанием и повысить её эффективность. А так как в настоящее время происходит реформа образования (введение профильного обучения, и в связи с этим изменения программы), то эту работу нужно проводить как можно быстрее.

В данной работе были предложены материалы для проведения факультатива или курса по выбору по теме «наглядная топология». Учитель обладает широкими возможностями при рассмотрении данной темы.

Вопросы, рассматриваемые в данной работе, не полностью охватывают содержание теории топологии. Но всё же, предложенные разработки обладают рядом  особенностей: они интересны, занимательны и способны увлечь учащихся. Рекомендуем учителям гимназий, лицеев, школ в классах с углубленным и повышенным изучением математики использовать их при организации внеклассной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.                           Барр Ст. Россыпи головоломок / Перевод: Ю.Н.Сударева. – М.: Мир, 1978. – 415с.

2.                           Гарднер М. Математические головоломки и развлечения / Перевод: Ю.А.Данилова. – М.: Мир, 1971. – 511с.

3.                           Зборнік нарматыўных дакументаў // заснавальнік: Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь; пад рэд. Б.В.Іваноў, М.І.Ліс, Н.М.Лінькова і інш. – Мінск: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2004. - №21(560) – С. 3– 23.

4.                           Лизинский В.М. Работа с одарённой молодёжью //Научно-практический журнал «Завуч» для администрации школ. – 2004. - №7. – С. 83 – 87.

5.                           Соколов И.М. Фракталы // Квант. -1989, - №5 – С. 6 – 11.

6.                           Тригг Ч. Задачи с изюминкой / Перевод: Ю.Н.Сударева. – М.: Мир, 1975. – 304с.

7. Яглом И. М. Четырёх красок достаточно// Природа. –  1977, №4.

8. Белага Э.Г. Мини-геометрии, М., «Знание», 1977;

Приложение 1.

Решение головоломки.

Смешав 1/3 красной краски со всей синей, получим достаточно фиолетовой краски, чтобы покрасить 16м2. На рис. 11 показана схема раскраски.

Страницы: 1, 2