Элементы топологии на уроках математики в школе

Элементы топологии на уроках математики в школе

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4

§1. Введение в  топологию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§2. Теорема Жордана о замкнутой кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

§3. Проблема четырёх красок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

§4. Фракталы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Самоподобные геометрические объекты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Что такое размерность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Как измерить размерность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

«Фрактальная геометрия природы». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Список используемой литературы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Дополнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . .. . . . . . . . . . . 25

ВВЕДЕНИЕ

В условиях развития новых технологий резко возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому так важно, чтобы в каждой школе проводилась внеклассная работа с учениками наиболее талантливыми. А топология как тема для факультативного курса или курса по выбору — это наиболее успешная тема для развития нестандартного мышления в сознании учащихся.

В данной работе представлены материалы по теме «наглядная топология», предназначенные для организации курса по выбору в классах с углубленным изучение математики. Изучение топологии способствует развитию пространственного воображения школьников, выработке абстрактного мышления.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировались учебники, научные журналы, научно-популярная литература, сборники нормативных документов, производился поиск и отбор материалов, посвящённых данной теме, проводилась их методическая обработка. Особенностью данной работы является рассмотрение вопросов, редко встречающихся в школьной практике.

Основное содержание работы изложено в трёх параграфах.

В первом параграфе рассказывается о топологии как науке: определяется, что является предметом топологии, даётся «определение» топологии, делается небольшой экскурс в историю топологии.

Второй параграф посвящён Жордановой кривой. Формулируется основное утверждение, проводится доказательство.

В третьем параграфе идёт обсуждение проблемы четырёх красок. Сообщается, что существует доказательство, что шести красок достаточно для правильной раскраски любой карты на плоскости или сфере. Приводится пример того, что необходимо как минимум четыре краски, чтобы раскрасить карту на плоскости или сфере и пока не найдено карты, для правильной раскраски которой не хватало бы четырёх красок. Сообщается, что пока фактического доказательства того, что любую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками. Но существует доказательство утверждения о семи красках тора. Предлагается разрешить интересную головоломку.

В четвёртом параграфе  идёт речь о фракталах. А именно происходит знакомство с самоподобными геометрическими объектами, даётся несколько вариантов определения размерности, рассказывается, как измерить размерность, знакомство с «Фрактальной геометрией природы».

В приложении – приводится решение головоломки предложенной в §3.

При написании работы были использованы книги, статьи научно-популярных журналов, сборник нормативных документов [1] – [8].

§1. Введение в топологию.

В середине ХIX столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией (или analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.

Топологии удивительно трудно дать определение. Её описание значительно сложнее тех формулировок, которые предполагают признанные справочники и энциклопедии для арифметики («Наука о положительных вещественных числах» – Webster’s New Collegiate Dictionary или «Искусство манипулировать с числовыми величинами и их отношениями» – Encyclopaedia Britannica) или геометрии («Изучение [математических] свойств пространства» – Encyclopaedia Britannica). [Марк Барр вообще определяет математику как нечто «предназначенное держать факты в состоянии оцепенения, в то время как мы бесстрастно изучаем соотношение между ними», что особенно применимо к алгебре.]

 Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики. Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели.

Одним из великих геометров этой эпохи был А. Ф. Мёбиус (1790—1868), человек, не слишком преуспевший из-за своей скромности в научной карьере: он занимал должность астронома в одной из второразрядных немецких обсерваторий. В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской академии мемуар об «односторонних» поверхностях, содержащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его рукопись несколько лет несколько лет валялась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что её опубликовал сам автор. Независимо от Мёбиуса гёттингинский астроном И. Листинг (1808—1882) сделал подобные же открытия и, под влиянием Гаусса, в 1847 г. Издал небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie». Когда Бернгард Риман (1826—1866) прибыл в Гёттинген, чтобы стать там студентом, математическая атмосфера этого университета этого города уже была насыщена острым любопытством по отношению к новым и старым геометрическим идеям. Скоро он осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств  аналитических функций комплексного переменного. Позднейшее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в которой топологические концепции имеют самое фундаментальное значение.

В некотором смысле слова топологии – это наука, изучающая непрерывность: исходя из непрерывности пространства или форм, она переходит к обобщениям, которые затем по аналогии приводят к новому пониманию непрерывности, а «обычное» пространство, как мы себе его представляем, остаётся далеко позади. Истинные топологи избегают всяких картинок, испытывая к ним некоторое недоверие. Это вызвано тем, что невозможно (и бессмысленно!) изобразить занимающие их «пространства».  Однако нам будет легче подойти к пониманию их целей, к топологической точке зрения на определённые формы (или «пространства»), если мы начнём с того, что можно увидеть и потрогать.

Тополог интересуется теми свойствами «предметов» (трактуемых нами пока в геометрическом смысле), которые наиболее устойчивы, то есть которые выдерживают деформации сжатия и растяжения.

На первых порах своеобразия методов, которыми приходилось действовать в новой области, воспрепятствовало тому, чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме, типичной для элементарной геометрии.

Хотя топологию можно с полной определённостью назвать продуктом двух последних столетий, необходимо всё же отметить, что ещё и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной систематики математических знаний, имеют ближайшее отношение  топологии. Из них самым крупным, несомненно, является установление формулы, связывающей числа вершин, рёбер, граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640г., позднее переоткрыта и использована Эйлером в 1752 году. Характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидными гораздо позднее – после того как Пуанкаре в «формуле Эйлера» и её обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии.

Так как при первых шагах в неизвестной области идеал безупречной строгости вовсе не обязателен и даже мало важен, то мы иногда будем без колебаний апеллировать непосредственно к интуиции учащихся.

§2. Теорема Жордана о замкнутой кривой.

На плоскости нарисована простая замкнутая кривая (нигде сама себя не пересекающая). Посмотрим, какое свойство этой фигуры сохраняется неизменным даже в том случае, если плоскость будет подвергаться каким угодно деформациям, как будто бы она была сделана из тонкого слоя  резины. Длина кривой или площадь ограниченной ею части плоскости при деформациях не сохраняется. Но у рассматриваемой конфигурации есть и топологическое свойство, столь простое, что может показаться тривиальным. Простая замкнутая кривая С на плоскости делит плоскость ровно на две области, внутреннюю и внешнюю. Точнее говоря, мы утверждаем следующее: точки плоскости разбиваются на два класса – А (внешние точки) и В (внутренние точки) – таким образом, что любая пара точек, принадлежащих одному и тому же классу, может быть связана кривой, не имеющей общих точек с С, тогда как всякая кривая, соединяющая две какие-нибудь точки разных классов, непременно пересекается с С.  Это утверждение вполне очевидно, например, для случая окружности или эллипса, но уже чуть менее очевидно для такой сложной кривой, как причудливой формы многоугольник, изображенный на рис. 1.

Впервые эта теорема была сформулирована Камиллом Жорданом (1838 – 1922) в его широко известном «Cours d’analyse», из которого целое поколение математиков почерпнуло современную концепцию математической строгости. Как это ни странно, доказательство, данное самим Жорданом, не было ни кратким, ни простым по своей идее, но в особенности удивительно то, что, как оказалось, оно и не было вполне исчерпывающим, и понадобились значительные усилия, чтобы восполнить его пробелы. Первые строгие доказательства теоремы Жордана были очень сложными и трудно воспринимаемыми даже для людей с хорошей математической подготовкой. Сравнительно простые доказательства были придуманы лишь недавно. Одно из затруднений заключается в большой общности понятия «простой замкнутой» кривой, значительно более широкого, чем понятие многоугольника или «гладкой» кривой: по определению  «простая замкнутая» кривая есть любая прямая, топологически эквивалентная окружности. С другой стороны, необходимо таким терминам, как «внутри» или «вне» (столь ясными интуитивно), дать логические определения, прежде чем строгое доказательство станет возможным. Проанализировать в их полной общности, возникающие в этой связи отношения и понятия есть теоретическая задача первостепенного значения, разрешению которой в большой степени служит современная топология. Но, с другой стороны, следует иметь в виду и, то обстоятельство, что, занимаясь изучением конкретных явлений в области геометрии, в громадном большинстве случаев малоуместно вводить понятия, неограниченная общность которых создаёт излишние затруднения. Так, возвращаясь к теореме Жордана, существенно то, что для случая «хорошо ведущих себя» кривых – например, для многоугольников или для кривых с непрерывно меняющейся касательной (которые только и встречаются в наиболее важных задачах) – доказательство этой теоремы может быть проведено совсем просто. Для случая многоугольников сделать это гораздо сложнее, приведём это доказательство чуть ниже.

Помним, что утверждается: жорданова кривая разбивает односвязную поверхность (например, плоскость или сферу) на   две области,не имеющие общих точек, общая граница которых совпадает с данной линией. Жорданову кривую, разбивающую поверхность на две части, можно нарисовать и на тор; нужно только, чтобы она не окружала дыру и не проходила через неё, как это имеет место в случае двух кривых на рис. 2. Однако на плоскости или на сфере всякая жорданова кривая разбивает поверхность на две части, а на торе это верно не для всякой жордановой кривой.

Приведём доказательство теоремы Жордана для случая многоугольника. Итак, теорема Жордана утверждает, что всякая простая замкнутая криваяС разделяет точки плоскости, не принадлежащие кривой С, на такие две области (не имеющие общих точек), по отношению к которым сама кривая С является общей границей. Докажем здесь эту теорему для частного случая, когда С есть замкнутый многоугольник Р.

Покажем, что точки плоскости (кроме точек, находящихся на самом многоугольном контуре Р) разбиваются на два класса А и В, обладающие следующими свойствами: 1) две точки одного и того же класса могут быть соединены ломаной линией, не имеющей общих точек с Р; 2) если две точки принадлежат разным классам, то любая ломаная линия, их соединяющая, имеет общие точки с Р. Один из названных классов образует «внутренность» многоугольника, другой – состоит из точек, находящихся «вне» многоугольника.

Приступая к доказательству, выберем какое-то фиксированное направление в нашей плоскости, не параллельное ни одной из сторон Р. Так как р имеет конечное число сторон, то это всегда возможно. Затем определим классы А и В следующим образом.

Точка р принадлежит классу А, если луч, проведённый через неё в фиксированном направлении, пересекает Р в чётном числе точек (0,2, 4,6 и т. д.). Точка р принадлежит классу В, если луч, проведённый из р в фиксированном направлении, пересекает Р в нечётном числе точек (1,3,5 и т.д.).

К этому нужно добавить, что если рассматриваемый луч проходит через какую-нибудь вершину Р, то эта вершина идёт в счёт как точка пересечения луча с Р или не идёт, смотря по тому, расположены ли прилежащие стороны многоугольника Р по разные стороны луча или по одну и туже его сторону.

Условимся говорить, что две точки р и q имеют одну и ту же «чётность», если они принадлежат одному и тому же из двух классов А и В.

Заметим прежде всего, что все точки любого отрезка прямой, не пересекающегося с Р, имеют одну и ту же чётность. Действительно, чётность точки р, движущеёся по такому отрезку, может измениться не иначе, как при пересечении соответствующего луча с одной из вершин Р; но, принимая во внимание наше соглашение о счёте точек пересечения, легко убедиться, что в каждом из двух возможных случаев чётность всё же не меняется. Из сказанного следует, что если некоторая точка Р1 области А соединена ломаной линией с некоторой точкой р2 области В, то эта линия непременно пересекает Р. Иначе чётность всех точек ломаной линии, в частности точек р1 и р2, была бы одинаковой. Дальше, покажем, что две точик одного и того же из двух классов А и В могут быть соединены ломаной линией, не пересекающейся с Р. Обозначим две данные точки через р и q. Если прямолинейный отрезок рq,  соединяющий р и q, не пересекается с Р, то доказывать больше нечего. В противном случае пусть р’—первая, а q’—последняя точка пересечения отрезка рq с многоугольником Р (рис. 4). Построим ломаную линию, начинающуюся сот точки р прямолинейным отрезком, расположенным по направлению рq, но заканчивающюся непосредственно перед точкой р’: отсюда ломаная пойдёт вдоль Р (безразлично, в каком из двух возможных направлений) и будет так идти, пока не придёт снова на прямую рq около точки q’. Весь вопрос в том, произойдёт ли пересечение с прямой рq на отрезке р’q’ или на отрезке q’ q: мы сейчас убедимся, что справедливо именно последнее, и тогда будем иметь возможность закончить ломаную, соединяя последнюю из полученных точек с точкой q прямолинейным отрезком, снова лежащим на отрезке рq. Если две точки r и s расположены очень близко одна от другой, но по разные стороны одной из сторон многоугольника Р, то они имеют различную чётность, так как выходящие из них (в фиксированном направлении) луч будут таковы, что на одном из них будет на одну точку больше точек пересечения с Р, чем на другом. Отсюда ясно, что чётность меняется, когда двигаясь по рq, мы проходим через точку q’. Значит, ломаный «путь», намеченный на чертеже пунктиром, вернётся на рq между q’ и q, так как р и q (следовательно, все точки на рассматриваемом «пути») имеют одну и туже чётность.

Таким образом, теорема Жордана для случая многоугольника доказана. «Внешними» по отношению к многоугольнику Р будут те точки, которые принадлежат классу А: действительно, двигаясь по какому-нибудь лучу в фиксированном направлении достаточно далеко, мы несомненно, придём к точке, за которой пересечений с Р уже не будет, и все такие точки будут принадлежать классу А, так что их чётность будет 0. Тогда уже придётся заключить, что точками «внутренними» будут точки класса В. Каким бы запутанным ни был замкнутый многоугольник Р, всегда очень легко узнать, расположена ли данная точка р внутри или вне его: достаточно из р провести луч и посчитать число его точек пересечения с Р. Если это число нечётное, значит, р «сидит» внутри и не сможет выбраться наружу, не пересекая Р.  Но если это число чётное, то точка р — вне многоугольника Р. 

§3. Проблема четырёх красок.

Среди ранних и глубоких достижений топологии есть ряд теорем, которые первоначально были сформулированы как проблемы и лишь затем доказаны. Некоторые из них, вроде уже упоминавшейся теоремы о жордановой кривой, быть может, потому так знамениты, что их наглядная очевидность столь явно контрастирует с трудностью доказательства.

Страницы: 1, 2