 |
|
|||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меню |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой. Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов. Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL. Решить заданную систему уравнений: 1) методом обратной матрицы; 2) методом простых итераций. 0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3 = 9,8 2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3 = 6,7 4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3 = 5,8 Цель работы: научиться решать в EXCEL системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций. Основные понятия. Уравнение — это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями). Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной. Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А. Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная. Итерация — это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.
Решение. 1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. а). Рассмотрим матрицы: — матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных): 0,1 4,6 7,8 А = 2,8 6,1 2,8 4,5 5,7 1,2 — матрица неизвестных: x1 X = x2 x3 — матрица свободных членов: 9,8 B = 6,7 5,8 б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А. По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 , где a11 , a12 , a13 — элементы первой строки матрицы A, A11 , A12 , A13 — их алгебраические дополнения. - если detA = 0, то обратной матрицы не существует; - если detA ≠ 0, то обратная матрица существует. Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения. По определению: Aik = (-1)i+k · Mik , где i - номер строки матрицы, k - номер столбца матрицы, M - минор. - если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik
A11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64 A12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24 A13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49 Теперь мы можем сосчитать детерминант. detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982 detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления. в). Найдем обратную матрицу А-1. По определению: A11 A21 A31 A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA , A13 A23 A33 где А11 , …, А33 - алгебраические дополнения матрицы А. Для нахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А: A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94 5,7 1,2 A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98 4,5 1,2 A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13 4,5 5,7 A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7 6,1 2,8 A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56 2,8 2,8 A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24 2,8 6,1 Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив в формулу полученные данные: 1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411 - 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516 - 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089 Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство: A-1 · A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно. 0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8 A-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8 0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2 Произведем промежуточные вычисления: С11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1 C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0 C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0 C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0 C22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1 C23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0 C31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0 C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0 С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1 1 0 0 A-1 · A = 0 1 0 = E 0 0 1 Обратную матрицу нашли верно. г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных). По определению: X = A-1 · B , где B — исходная матрица B (матрица свободных членов). 0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737 X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105 0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069 Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений: x1 = 0,521737 x2 = 0,391105 x3 = 1,019069 д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения: 0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8 2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7 4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8 Система уравнений методом обратной матрицы решена верно. 1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL. Шаг первый: Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными: а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10). Шаг второй: Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек. а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица. б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические. в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8. г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В ячейках A11:C13 появится: — в режиме формул — =МОБР(А6:C8) ; — в режиме значений — массив обратной матрицы. Шаг третий: Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов: а). Выделим ячейки E11:E13. б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические. в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13. г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8. д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В ячейках E11:E13 появится: — в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ; — в режиме значений — компоненты векторов решения x1 , x2 , x3 . Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”. 1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.
Для наглядности создадим сравнительную таблицу: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Математический расчет методом обратной матрицы |
Обращение матрицы в EXCEL |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
0,521737 |
0,521737318 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
0,391105 |
0,391104998 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
1,019069 |
1,019069651 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3). Вывод.
Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы.
Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.
Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.
Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные.
2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.
Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса.
Заданная нам система имеет вид:
0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения. Получится система вида:
4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
б) Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.
4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
В итерационной форме получили систему:
x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.
При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 в полученной системе являются максимальными по модулю).
г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).
Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы, т.е.
║C║=√Σaaj2 <1
В итерационной форме имеем систему:
x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 7,8
или
x1 = 0 - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 1,288889
x2 = 2,8x1 / 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607
x3 = 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103
Проверка выполнения второго условия “НОРМА” :
0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5
[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1
- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0
║C║ = √ У aij2 < 1
║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2 + (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2
║C║= √ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2 +(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2
║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)
║C║ =√ 2,4449144
║C║ = 1,5636222 > 1
Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.
Вывод: так как второе условие сходимости итерационного процесса не выполнено, то решение данной системы уравнений не может быть получено методом простых итераций.
Задача 3.
Комплексные числа.
Даны два комплексных числа, записанные в показательной форме.
z1 = 3e -(р/4) i
z2 = е (р/4) i
1). Записать эти числа в тригонометрической форме;
2). Найти сумму z1 + z2 и произведение z1 · z2 , переведя их в алгебраическую форму записи;
3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.
Основные понятия.
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy , где
“x” и “y” — действительные числа,
“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2 = -1.
Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.
Решение.
1). Тригонометрическая форма записи.
Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r , ц. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
z = r cos ц + i r sin ц = r ( cos ц + i sin ц ),
где cos ц + sin ц = eiц => ц = р/4
При этом r называют модулем, а ц - аргументом комплексного числа.
1.1) z1 = 3 · (cos р/4 i sin р/4) = 3√2/2 i 3√2/2
1.2) z2 = r · eiц = r (cos р/4 + i sin р/4) = √2/2 + i √2/2
2). Алгебраическая форма записи:
2.1) Сумма.
Если z1 = x1 + iy1 , а z2 = x2 + iy2 , то
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
z1 + z2 = (3√2/2 + √2/2) + i (3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 i 2√2/2= = 2√2 - i√2
2.2) Произведение.
Если z1 = x1 + iy1 , а z2 = x2 + iy2 , то
z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i (x1y2 + x2y1)
z1·z2 =(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=
= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3
3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.
Для упрощения преобразуем значения x и y из простых дробей в десятичные.
x1 = 3√2/2 = 2,1 y1 = - 3√2/2 = -2,1
x2 = √2/2 = 0,7 y2 = √2/2 = 0,7
x3 = 2√2 = 2,8 y3 = -√2 = -1,4
x4 = 3 y4 = 0
y
0,7 Z2
0,7 2,1 2,8
0 Z4
3 x
- 1,4 Z3
- 2,1 Z1
Операнды — Z1 и Z2
Результаты — Z1 + Z2 = Z3
Z1 · Z2 = Z4
Страницы: 1, 2