 |
|
|||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меню |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Основные понятия. Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL. Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов). По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “изменение, переделка”. Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0 , xn) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”. Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”. Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены Pn (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е. Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности. Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя. Конечной разностью первого порядка называется разность: Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1, .... , n – 1 Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков. Интерполяционный полином Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде: Pn (x) = y0 + (x-x0) · Дy0 /1!h + (x-x0)(x-x1) · ДІy0 /2!hІ+....+ (x-x0)(x-x1)…..(x-xn-1) · Дny0 / n!hn Решение. Выполнение задания I. Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ). Pn(x) = P9(x)= y0 + (x-x0) Дy0 / 1!h + (x-x0) (x-x1) ДІy0 /2!h2+.. ..+ (x-x0)(x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4) (x-x5) (x-x6) (x-x7) (x-x8) (x-x9) Д9y0 / 9!h9 = 0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 + (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9. Выполнение задания II.
1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Шаг первый: Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL: а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4). б) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14. в) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14. Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы. Шаг второй: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка: а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 = y1 – y0, которая примет вид: =C6–C5; a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6 получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy1 =y2 - y1 = 0,779 – 0,819 = -0,040),в ячейке D7 получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy2 = y3 – y2 = 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где получаем формулу =C14-C13 (т.е. Дy8 = y9 – y8 = 0,549 – 0,577= -0,028) б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка: б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула =D6-D5 (т.е. ДІy0 = Дy1 - Дy0 = -0,040 - ( -0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12. В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy7 = Дy8 - Дy7= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001). в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка: для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д. Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”. Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”. Шаг третий: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов: а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0/1!h) в ячейку M5 введем формулу =($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $). а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента (x-x0) (x- x1)/2!hІ = (x-x0)/1·h · (x-x1)/ 2·h = a · b, где a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0)/1h, b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x1) / 2h, вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2. а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу: =M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 , в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и т.д. Шаг четвертый: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона: а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x0) · Дy0 / 1!h = (x-x0) / 1h ·Дy0, содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5. Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютона находятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечные разности берутся только из строки с номером 5; а.2) для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13. Шаг пятый: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона: а.1) объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Сумма коэффициентов полинома”; а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y0. При x = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001. Шаг шестой: Ввод формул: а) Ввод формул для вычисления значения полинома: а.1) объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома"; а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5. В ячейке N18 появится число 0,861 , которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149 Шаг седьмой: Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома при x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560. а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат: в ячейке N16 — (-0,073); в ячейке N18 — (0.787); б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат: в ячейке N16 — (-0,209); в ячейке N18 — (0,651); в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат: в ячейке N16 — (-0,287); в ячейке N18 — (0,573). Шаг восьмой: Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу. Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”. Режим значений — “Приложение 2. 2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой. Табличный процессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации с использованием “функций аппроксимации кривой” Пусть в узлах x0 , x1, …, x n известны значения f(x0), f(x1), … ,f(x n). Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1), f(x n+2), … . В категории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов x (x0 , x1 , … , x n) и y (y0 ,y1 , … , y n) методом наименьших квадратов. Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру: ТЕНДЕНЦИЯ (y массив, x массив, x список) y массив , x массив — даны из условия. x список -- это те значения x, для которых требуется сосчитать значения функции f(x). Страницы: 1, 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
