Моделирование процессов переработки пластмасс

Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются

номограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру

при различных значениях критерях Био приведена на рис.2.3

[pic]

Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности

неограниченной пластины.

Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в

центре пластины, приведена на рис.2.4.

[pic]

Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в

середине неограниченной пластины

2.2.2 Неограниченный цилиндр.

Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности

которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена.

Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде

некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур

определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа

встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна,

затвердевания литников литьевых форм и т. п.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

имеет вид: [pic] (2.19)

Краевые условия:

[pic]

Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной

форме, имеет вид:

[pic] (2.20)

Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю

температуру как:

[pic] (2.21)

Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением:

[pic] (2.22)

где [pic]; [pic]- корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка

определяемые выражением:

[pic] (2.23)

Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым

экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10

приведена номограмма зависимости между ( и Fo.

[pic]

Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной

средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного

цилиндра.

2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением

физического состояния

Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится

встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся

изменением физического состояния (плавлением или затвердением).

Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.

Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для

упрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем

считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна ?, а температура

плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и

жидкой фазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должно

удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:

Ts = Tm = Tn при X=X(t)

(2.24)

Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой

фазе (например, ?s — плотность твердой фазы). Соответственно индекс m

указывает, что величина относится к жидкой фазе.

Второе граничное условие касается поглощения (или выделения) скрытой

теплоты на поверхности раздела. Предположим, что в области x>x(t) находится

жидкость при температуре Тт(х, t), а в области x=x(t) — твердая фаза при

температуре Ts(xtt).

Если поверхность раздела перемещается на расстояние dx, то в элементе

объема вещества выделяется и должно быть отведено в результате

теплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности

равное (?dx. Математически это условие запишется в виде:

[pic] (2.25)

Рассмотрим три случая: плавление, затвердевание и плавление с

удалением расплава.

2.3.1. Плавление в области х > 0.

Если в начальный момент область х > 0 занята твердым телом с

постоянной температурой Ts0 и при t > 0 плоскость х = 0 поддерживается при

постоянной температуре Т2 > Тп, то положение плоскости плавления

определится выражением:

[pic] (2.26)

Здесь [pic] - корень уравнения

[pic] (2.27)

где

[pic]; [pic]

При этом распределение температур в твёрдой и жидкой фазах описывается

выражением:

[pic] (2.28)

[pic] (2.29)

2.3.2. Затвердевание.

Пусть в начальный момент времени область х > 0 представляет собой

жидкость, а область х 0 движется относительно этой плоскости со скоростью v. Следовательно,

массовый расход расплава, Qm, отнесенный к единичной ширине, равен:

[pic] (2.36)

В установившемся режиме температура в области х > 0 описывается

выражением:

[pic] (2.37)

Из дифференциального уравнения теплопроводности следует, что тепловой

поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла,

подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла,

отводимого в единицу времени с расплавом:

[pic] (2.38)

Определив v из соотношения (2.38), можно рассчитать распределение

температур в твердом теле по формуле (2.36). Рассмотренные три случая

наиболее типичны для процессов переработки полимеров, так как любой

реальный процесс плавления можно свести к одному из них.

2.4.Теплопередача в потоках расплава

Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму

конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса

тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности самой жидкости.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности в случае

конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа

упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты

экспериментальных исследований, представленные в виде зависимостей между

соответствующими критериями подобия. Обычно при изучении теплопередачи

конвекцией принимаются следующие допущения:

1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблюдаются условия

прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость,

теплопроводность, плотность и вязкость) сохраняют неизменное значение для

всего потока; 3) лучистый теплообмен между поверхностью нагрева

(охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной

теплоотдачи.

В настоящее время наибольшее распространение получили экс*

периментальные исследования процессов стационарного теплообмена. Для

описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение

Ньютона:

[pic] (2.39)

где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла,

подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с

единичной площадью;

Tw — температура стенки канала;

Тж — средняя температура жидкости.

По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной

величиной и характеризует отношение коэффициента теплопроводности жидкости

к толщине ? пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:

[pic] (2.40)

Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы

теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида

функциональной зависимости:

[pic] (2.41)

Здесь — [pic] критерий Нуссельта, характеризующий

интенсивность

теплообмена;

Рr = Ср?/( — критерий Прандтля, характеризующий соотношение между

количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энтальпии, и

количеством тепла, отводимого за счет теплопроводности;

Gr = g?P2lz?T/?2 — критерий Грасгофа, характеризующий интенсивность

теплообмена за счет свободной конвекции;

Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции

к силам вязкого трения;

Ре = vd/a — критерий Пекле;

[pic]— критерий Гретца.

Известные в настоящее время результаты экспериментального исследования

теплообмена в расплавах полимеров относятся преимущественно к течению в

каналах круглого сечения. Общая формула имеет вид:

[pic] (2.42)

где индексы «Ж» и «ст» Означают, что соответствующие значения критерия

относятся к усредненным характеристикам жидкости или к характеристикам

жидкости в пристенном слое.

Значения показателей степени при критериях в уравнении (2.42)

приведены ниже:

Таблица (3.1) Значения показателей степени при критериях подобия.

|Полимер |А |X |У |Z |Z1 |

|П Полиэтилен низкой |[pic] |0,33 |0,33 |0,15 |0,33 |

|плотности 16 | | | | | |

|П Полиэтилен низкой |2,25 |0,18 |0,20 |0,25 |0 |

|плотности 17 | | | | | |

2.5. Лучистый теплообмен

Нагрев излучением применяется главным образом в операциях,

предшествующих пневмо- и вакуум-формованию относительно тонких листов

термопластов.

Лучистая энергия передается в виде электромагнитных волн,

распространяющихся в пространстве до тех пор, пока на их пути не встретится

какая-либо поглощающая среда: газ, жидкость или твердое тело. Излучаемая

энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры изучающего

тела. Так как обычно большая часть энергии излучения в применяемой на

практике области температур приходится на инфракрасный спектр, нагрев

излучением называют также инфракрасным нагревом.

Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется

абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспускания абсолютно черного тела

Еb определяется законом Стефана — Больцмана:

[pic] (2.43)

Где а — постоянная Стефана Больцмана, равная 1,36 • 10 -12 кал/(см2 •

с • /K4), или [pic]

Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная способность е

оценивается по формуле:

[pic] (2.44)

где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела.

Обычно ? зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды

и окислы металлов обладают высокой излучательной способностью (? ? 0,8). У

хорошо отполированных металлов излучательная способность невысока (? ? 0,1)

Реальные тела поглощают только часть попадающего на них излучения.

Коэффициент поглощения определяется как отношение поглощенного из

лучения к падающему.

При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение

попадает только та часть тела, которая просматривается с излучающего тела.

Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к

поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть

взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента

видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на

облучаемое тело.

Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на

черную поверхность 2, равна E1A1F12 (A1 — площадь излучателя, F12 — доля

энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что

A1F12 = A2F21

(2.45)

Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом теплообмене от

тела 1 к телу 2, равно:

Q12 = A1F12(E1-E2)

(2.46)

Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:

[pic] (2.47)

Наконец, если T2/T1 << 1 то выражение (2.47) сводится к виду:

[pic] (2.48)

Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли

многократно отраженного излучения. В случае двух бесконечных параллельных

пластин общее количество тепла, переданного с единицы поверхности,

выражается формулой:

[pic] (2.49)

где F? — коэффициент излучения, равный:

[pic] (2.50)

Коэффициент теплопередачи h определится из выражения, аналогичного по

форме уравнению Ньютона:

[pic]

(2.51)

Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфракрасное

излучение. Поэтому падающая на них энергия превращается в тепло

непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла

сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем

конвекции.

Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процессов

теплопроводности. Поэтому итоговое распределение температур в теле,

нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока

лучистой энергии, но также и от теплопроводности и конвективных потерь.

3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.

3.1. Специфика построения математических моделей описывающих

термодинамические процессы

Разработанные методы анализа термодинамики процессов переработки

полимеров позволяют устанавливать связь между основными технологическими

параметрами (давление, плотность, температура) с достаточно высокой

степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный

математический аппарат, позволивший обобщить огромный экспериментальный

материал.

Математические модели процессов теплопередачи базируются на

математическом аппарате, разработанном в классических исследованиях

теплопроводности в твердых телах. Общим недостатком известных решений

является допущение о независимости теплофизических характеристик от

температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и

теплофизические характеристики полимеров существенно зависят от температуры

и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует

обращать особое внимание на правильный выбор средних значений

соответствующих характеристик.

3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.

Для решения задач связанных с нахождением температурного поля

необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под

дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость между

физическими величинами характеризующими изучаемое явление, причем эти

физические величины являются функциями пространства и времени. Такое

уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в

любой момент времени.

Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между

Страницы: 1, 2, 3