Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний 
p1=-1.667566013, p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122
Но нас интересуют только положительные величины, так как частоты отрицательные значения принимать не могут.
Пример 2
Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и .
При данных значениях физических величин решение уравнения (2.17) имеет вид:
p1=-1,370821968, p2=-0,7879385321, p3=1,370821968, p4=0,7879385321
Пример 3
Определить собственные частоты системы, состоящей из четырех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями , и .
При данных значениях физических величин решение уравнения (2.20) имеет вид:
p1=-2,417091066, p2=-1,581138830, p3=2,417091066, p4=1,581138830
Приведем программную реализацию решения прямой спектральной задачи, использующую команды математического пакета MAPLE
Решение примера 1:
> I1:=0.2;
> I2:=0.3;
> I3:=0.1;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
Подставим данные значения в уравнение (2.17)
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
> solve(y,p);
Решение примера 3:
> restart;
> i1:=0.2;
> i3:=0.3;
> i2:=0.1;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> k3:=0.3;
Подставим данные значения в уравнение (2.20)
> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> fsolve(y,p);
2. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний
2.1 Постановка обратной спектральной задач
Поставим теперь к задаче определения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральную задачу.
Поскольку изменения величин моментов инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.
Поэтому возникает также задача сохранения заданного (безопасного) диапазона частот крутильных колебаний вала. Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.
Итак, известны собственные частоты р крутильных колебаний вала с дисками. Необходимо определить характеристики вала с дисками по спектру частот его колебаний. К диагностируемым характеристикам мы отнесем моменты инерции масс дисков и коэффициенты жесткости участков вала на кручении.
Остановимся на диагностировании этих характеристик подробнее.
2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками
При исследовании задачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение (2.17):
Здесь, по-прежнему, k1, k2. - коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р. - собственная частота крутильных колебаний вала, I1, I2, I3.. - моменты инерции масс трех дисков соответственно.
Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.
Преобразуем уравнение (2.17) к виду
.
Если рассмотреть две собственные частоты р1 и р2, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2 .
(3.1)
Вычитая из первого уравнения системы (3.1) второе, получим
.
Разделим обе части последнего равенства на :
Выразим :
, (3.2)
и подставим его в первое уравнение системы (3.1):
Преобразуем последнее равенство к виду:
Решая последнее уравнение относительно , получим
, (3.3)
где
Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участков вала на кручении для вала с тремя дисками.
Поставим теперь подобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение для крутильных колебаний которого имеет вид (2.20):
Здесь, снова, k1, k2. k3 - коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р. - собственная частота крутильных колебаний вала, I1, I2, I3, I4. - моменты инерции масс четырех дисков.
Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.
Рассмотрим снова две собственные частоты р1 и р2 крутильных колебаний вала, тогда уравнения (2.20) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2 при известном коэффициенте k3. Вычисления, проведенные в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определить коэффициенты жесткости двух любых участков вала между дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругих закреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебаний вала.
)
2.3 Диагностирование моментов инерции масс дисков
Рассмотрим снова частотное уравнение (2.17), полученное для вычисления частот крутильных колебаний вала с тремя дисками.
Обратная задача. Пусть известны собственные частоты р колебаний вала, коэффициенты жесткости k1, k2 участков вала между дисками. Необходимо определить неизвестные моменты инерции масс двух дисков при известном моменте инерции третьего диска.
Пусть, например, известен момент инерции второго диска. Тогда, если рассмотреть снова две собственные частоты р1 и р2 колебаний вала, то уравнения (2.17) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными I1, I3.
(3.5)
Подставляя выражение из второго уравнения системы (3.5) в первое уравнение, получим
.
Из последнего равенства выразим через :
(3.6)
Здесь .
Подставим теперь выражение (3.6) в первое уравнение системы (3.5). После преобразований имеем
(3.7)
где .
Решая уравнение (3.7) относительно неизвестной , получим квадратное уравнение
дискриминант которого имеет вид
.
Тогда
. (3.8)
Таким образом, моменты инерции масс двух дисков находятся однозначно по формулам (3.7) и (3.8). Подобные формулы можно получить для моментов инерции любых двух дисков при известном моменте инерции одного из трех дисков.
Аналогичная задача диагностирования решаема и для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение которого получено нами в виде (2.20).
Вычисления, проведенные в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определить коэффициенты жесткости двух любых участков вала между дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругих закреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебаний вала.
2.4 Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения
Рассмотрим применение метода решения обратной задачи по определению характеристик вала с дисками на конкретных примерах.
Пример 4
Известны собственные частоты крутильных колебаний вала с тремя дисками: , . Момент инерции массы первого диска коэффициенты жесткости участков вала между дисками , .Найти моменты инерции масс второго и третьего дисков.
Решение.
Подставляя значения , в уравнение (2.20), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решение системы, найденное в пакете Maple, имеет вид: . Значения определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.
Пример 5
По двум собственным частотам , крутильных колебаний вала с тремя дисками и известным моментам инерции диагностировать коэффициенты жесткости участков вала на кручении.
Решение
Уравнение (2.17) при заданных значениях , представляет собой следующую систему:
из которой получаем, что , . Эти же значения коэффициентов получаются при подстановке значений собственных частот в аналитические формулы (3.2) и (3.3). Коэффициенты продиагностированы верно, так как именно этим коэффициентам при решении прямой задачи соответствовали заданные значения собственных частот.
Пример 6
Рассматривается вал с четырьмя дисками, для которого известны , ,. По частотам определить моменты инерции масс первых трех дисков.
Решение
Подставляя значения в уравнение (2.20), получим систему трех уравнений с тремя неизвестными . Решение системы имеет вид .Значения определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.
Рассмотрим программные реализации решений обратных задач.
Решение примера 4
> restart;
> i1:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> p:=-1.667566013;
> t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> solve({t1,t2,t3},{i2,i3});
Решение примера 5
> restart;
> i1:=0.2;
> i2:=0.3;
> i3:=0.1;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> solve({t1,t2},{k1,k2});
Решение примера 6
> restart;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> k3:=0.3;
> p:=1.581138830;
> p:=2.417091066;
> p:=-1.581138830;
> t1:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> t2:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> t3:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> solve({t1,t2,t3},{i1,i2,i3});
Заключение
В работе исследована и решена прямая задача определения собственных частот крутильных колебаний вала с дисками по известным моментам инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сведено к системе n обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения для вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления, составлена программа в математическом пакете Maple.
Впервые приведена постановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний. Алгоритм диагностирования сводится к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя, четырьмя дисками. Эти характеристики однозначно определяются для двух дисков вала с тремя дисками при известном моменте инерции массы третьего диска. Показано, что для вала с тремя дисками достаточно знание двух собственных частот колебаний вала. Причем, численные решения показывают возможность определения моментов инерции масс любых двух дисков (при известном моменте третьего диска), независимо от их взаимного расположения.
Аналогичная задача решена для вала с четырьмя дисками.
Диагностируются также коэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для вала с тремя дисками коэффициенты жесткостей восстанавливаются по двум собственным частотам. Для решения обратных задач составлены программы в математическом пакете Maple. Полученные результаты обратных задач подтверждают справедливость решений прямых задач.
Список литературы
1. Введение в акустическую динамику машин: учеб.пос./ И.И. Артоболевский [и др]. - М.: Наука, 1979. - 295c.
2. Ахатов И.Ш., Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. - 2001. - Вып. 2. C. 290-298.
3. Ахтямов, А.М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАН. МТТ. - 2003. - №6. - C.137-147.
4. Ахтямов, А.М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи / А.М. Ахтямов // Дифференциальные уравнения. - 2003. - №8. - C. 1011-1015.
5. Ахтямов, А.М. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАЕН. Серия МММИУ. Т.5. -2001. - №3. - C. 103-110.
6. Бабаков, И.В. Теория колебаний /И.В. Бабаков - М: Дрофа, 2004.
7. Биргер, И.А. Техническая диагностика /И.А. Биргер - М.: Машиностроение, 1978. - 239с.
8. Васильев, Н.А. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал /Н.А.Васильев// Акустический журнал. - 2000. - №3. - C. 424-426.
9. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина, 1978.
10. Снижение шума на судах: учеб.пос. / В.И. Зинченко [и др]. - Л.: Судостроение, 1968.
11. Коллатц. Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями): учеб.пос./Л. Коллатц - М.: Наука, 1968.
12. Кузьмин Р.В. Дифектация судовых механизмов. - М.: Транспорт, 1967. - 174с.
13. Лапин, А.Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах /А.Д.Лапин// Акустический журнал. - 2002. - №2. - C. 277-280.
14. Павлов, Б.В. Акустическая диагностика механизмов /Б.В.Павлов - М.: Машиностроение, 1971.
15. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. /Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. - М: Машиностроение, 1968.
16. Сафина, Г.Ф. Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью /Г.Ф. Сафина// Управление. Контроль. Диагностика. -2006. -№ 3.
17. Сафина, Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний /Г.Ф. Сафина// / Контроль. Диагностика. - 2005. - №12. - С. 55-59.
18. Сафина, Г.Ф. Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода, наполненного жидкостью /Г.Ф.Сафина// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12, вып.2. - С. 503-504.
19. Тукмаков, А.Л. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы /А.Л. Тукмаков// Авиационная техника. - 2003. - №1. - C. 62-67.
Страницы: 1, 2
|
|
