Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления
Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления
послушные шарики или еще раз о развитии логического
мышления
Математическая логика (теоретическая логика,
символическая логика) — раздел математики, посвященный изучению математических
доказательств и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).
Всякая математическая теория представляет
собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в
результате которых снова получаются предложения.
Если нет логических операций — нет
математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих
операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.
В начальной школе в первую очередь именно
через решение задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с
помощью слов и словосочетаний: неверно, что — логическая операция,
называемая отрицанием; и — конъюнкция; или — дизъюнкция; если…,
то… — импликация; тогда и только тогда, когда — эквиваленция. Мы не
будем давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из
курсов математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей
(училищ).
1. Две классические задачи
1. В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два
черных, в другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке
есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на
третьей — белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует
табличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить
таблички на коробках в соответствии с их содержимым?
Решение
Пронумеруем коробки как на рис. 1.
В коробке 3 находятся либо два белых
шарика, либо два черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым
(рис. 2).
Следовательно,
в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).
Поскольку в
коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не
соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там —
черный и белый (рис. 4):
Ответ изображен
на рис. 5.
Если бы из коробки 3 при первой попытке
мы вытащили черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):
Подчеркнем, что при рассуждениях мы
пользовались словами “неверно, что в коробке такие-то шары” (отрицание),
“если достанем белый шар, то…” (импликация) и т. д.
Таким образом, ребенок, сам того не подозревая, совершает логические операции
над высказываниями.
2. У меня в трех
коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в
ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что
надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще,
что он не перепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и
винтов и т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в
каждой из коробок?
Решение
Во-первых, для
простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов
(рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой коробки.
Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.
Откроем коробку 1. Допустим, там
оказались гайки (рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы
аналогично).
В коробке 2
винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3
(рис. 9).
Ну, а во второй коробке — гвозди.
2. Шариковый сериал
Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один
черный и один белый шарик:
либо по одному в каждом ящике,
либо в одном ящике два шарика.
На ящиках есть надписи, по которым надо определить
(если возможно), где какой шарик находится.
Указывается также, являются ли надписи истинными или
ложными.
Условия задач и
ответы представим в виде таблицы. И — истинно, Л — ложно. Запись
“Обе И” означает, что надписи на каждом ящике правдивы.
|