Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с
помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического
факультета
Чупраков Дмитрий
Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный
руководитель:
д.ф-м.н.,
профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В.
Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой
______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н.,
доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005
Содержание. 2
Введение. 3
Глава
1. 5
1.1.
Базовые понятия и факты.. 5
1.2.
Простое расширение Q+(a) 5
1.3.
Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных
неотрицательных чисел. 7
Глава
2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1.
Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 9
2.2.
Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом 11
2.3.
Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 12
2.4.
Примеры.. 20
Литература. 22
Теория полуполей
– одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся
обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является
построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей.
Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но
в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть
неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная
работа
Целью квалификационной
работы является исследование однопорожденных расширений полуполей
неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел
комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих
упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная
квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены
предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений
полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений
полуполей.
В работе принята
сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы,
второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 –
первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными
результатами работы являются:
·
Теорема
2.2.1. Любое
расширение , где ,
является полем С.
·
Теорема
2.3.1. Если
, то – поле тогда и только
тогда, когда Q+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя
вида .
·
Теорема
2.3.6. Если
минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет
положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность
(**), заданная числами p и
q, не содержит отрицательных
элементов.
Последовательность
задается
следующим образом:
Эта теорема
помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
·
Теорема
2.3.7. Для
комплексных чисел расширение
,
минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем,
если
(1)
<Р, +>
– коммутативная полугруппа с 0;
(1)(2)
<Р, ×> – группа с 1;
(1)(3)
Дистрибутивность
a.
a.b.
(4)
Не сложно показать, что Q+ является полуполем.
Определение: Пусть Р – подполуполе
полуполя F, , тогда простым
расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).
Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо
аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.
Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е.
найдется такой ненулевой элемент sÎS, что
s+s¹s. Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц.
Через обозначим
сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является
антикольцом, то .
Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных
m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда . Прибавляя к обеим частям
этого равенства элемент ,
получим
.
Применяя эту
процедуру несколько раз, будем иметь
для любого tÎN.
По свойству Архимеда,
найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tl имеем и n<k. Тогда
.
Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е.
содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.
■
Теорема 1.2.2. - простое расширение
полуполя Q+.
Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .
Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида . Так
как P – полуполе, то . Таким
образом, . Так
как P – минимальное полуполе, то . То
есть, –простое
расширение полуполя Q+.
■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.
Пусть а –
алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет
степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из
отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда
.
Покажем, что
любое равенство получается
из , где .
Заметим, что , так
как а – корень ,
а –
минимальный многочлен для a.
Представим , где составлен
из положительных одночленов многочлена h, а ‑ составлен
из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,
Приведем подобные
члены в паре , и
найдем такой , что
,
не имеют подобных
членов.
Аналогично найдем
, что
и
не имеют подобных
членов.
Получаем
Так как не
имеют подобных членов и не
имеют подобных членов, то
, или
, .
Найдем значения
этих многочленов в точке а.
,.
Итак,
,
.
То есть, тогда
и только тогда, когда .
Будем говорить,
что Q+(a) порождается минимальным соотношением .
Для простого
расширения справедливы
следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть простое
расширение , a – алгебраический
элемент над . Тогда
эквивалентны следующие утверждения:
(1) – поле;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Доказательство.
·
(1)®(2): Пусть –
поле. Так как - простое
расширение поля Q элементом a. То . Однако, .
Таким образом, .
·
(2)®(3): Заметим, что достаточно
показать, что
.
Пусть его нет,
тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим.
Рассмотрим
и
,
тогда
.
По предположению,
этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То
есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).
·
(3)®(4): Пусть ,
тогда . Так
как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.
·
(4)®(5): Пусть , покажем,
что .
Так как h(a)=0, то .
Покажем, что .
Рассмотрим
.
Если b0≠0, то
.
Если h0=0, то
.
Так как a≠0, то
.
Тогда
.
Итак, .
·
(5)®(1): Пусть ,
покажем, что Q+(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ+(a), тогда .
b + (‑b)=0. То есть, Q+(a) – поле.
Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■
Доказанный факт
влечет следующую теорему.
Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a – алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны
следующие утверждения:
(1) Q+(a) –полуполе;
(1)(2)
;
(1)(3)
;
(4) ;
(5) .
Доказательство. Несложно установить
равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы.
Докажем условие равносильность их утверждению (5).
Из условия (5) следует, что никакой
элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит
Q+(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно,
согласно условию (3),
("hÎQ+[a], h≠0)
h(a)≠0.
То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда
.
Тогда (xi+yi)=0.
Так как xiÎQ+ и yiÎQ+, то xi=yi=0. А значит, x=y=0.
Теорема доказана.
■
Теорема 2.2.1. Любое расширение , где ,
является полем С.
Доказательство. Пусть , и при a > 0. Тогда находится
строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.
Очевидно, существует натуральное n, что лежит строго во второй
или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит, и . По
теореме 2.1.1, –
поле. Очевидно, что .
То есть, является
полем С.
Аналогично рассматривается случай ■
Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только
тогда, когда Q+(-a2) – поле.
Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию
f¹0, f(ai)=0.
Так как все степени aiÎQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда
действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.
Получили, что Q+(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1. Если , то Q+(ai) – полуполе тогда и только тогда,
когда Q+(-a2) – полуполе.
Следствие 2. Если и Q+(-b2) – полуполе, aÎQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.
Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный
корень квадратного трехчлена f(x)
неприводимого над Q.
Тогда –
полуполе в том и только том случае, когда f(x)
имеет положительный действительный корень.
Доказательство. Пусть удовлетворяет
минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных
корней. Тогда , где D – дискриминант минимального
соотношения.
Рассмотрим
минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет
вид . Если
b, c ≥ 0, то имеем многочлен из
. Пусть
многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если
многочлен не имеет действительных корней, то
(*)
То есть, .
Рассмотрим .
При получаем многочлен из Q+[x]. Пусть .
Введем обозначения:
, , ,
, , .
Тогда многочлен
примет вид .
Умножим его на ,
получим многочлен . Если
, то
это искомый многочлен иначе умножим его на .
Докажем, что,
проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен
из Q+. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для
начала найдем дискриминант уравнения .
То есть,
дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом
математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.
Рассмотрим
неравенство ,
подставим , . Получим
.
То есть,
.
Зная, что заметим
.
Итак, для
доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть
аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать
неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные
слагаемые, получим, что
.
Используя оценку и деля
на положительный элемент , получаем
.
Обозначим .
Рассмотрим отображение ,
заданное по правилу .
При , .
Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку.
Найдем ее: .
Откуда .
Заметим, что .
Последовательность стремится
к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*).
Итак, мы доказали, что .
То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак,
мы доказали, что если удовлетворяет
минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных
корней, то –
поле. ■
Следствие 1. Если – мнимый
корень квадратного трехчлена, то ‑ поле.
Следствие 2. Любое простое расширение является
полем ,
порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что .
Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный
многочлен , что - его
корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда
.
Очевидно, . Таким
образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, -
поле. ■
Рассмотрим последовательность действительных
чисел :
(**)
Будем говорить, что последовательность задается
числами p и q.
Лемма 2.3.3. Существует n, что .
Доказательство. Пусть . Покажем,
что последовательность убывающая.
,
то есть .
Пусть , тогда
Так как , то
Пользуясь методом математической
индукции, заключаем, что ,
то есть -
убывающая.
Так как - монотонно убывающая и
ограничена снизу 0, то существует . Тогда .
То есть, . Но тогда
,
,
что невозможно для . То
есть, . ■
Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .
Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:
, Так как , то
существует k, что и .
Тогда . Рассмотрим число .
То есть, . ■
Теорема 2.3.5. Если и , то
.
Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть
.
Если n=1, то . Рассмотрим .
То есть,
.
Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда
.
Рассмотрим n > 1.
Пусть .
Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены
при xj.
То есть,
Заметим, что . Для существования , по
лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий и , то есть, .
Обозначим . Так
как , то и . Для
существования достаточно
доказать существование и
. То
есть, .
Обозначим .
Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По
лемме 2.3.4, существует,
если и . Эти
условия следуют из того, что и .
Таким образом, доказано существование
■
Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет
положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность
(**), заданная числами p и
q, не содержит отрицательных
элементов.
Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных
действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность
(**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда,
по теореме 2.3.5, для каждого множителя
вида существует
многочлен , что .
Рассмотрим многочлен .
так
как и . Кроме
того , а
остальные множители многочлена имеют вид или . То
есть, . Таким
образом . По
теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■
Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение
,
минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является
полуполем.
Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального
соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует
многочлен f с положительными коэффициентами,
делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть – полуполе. ■
1. Рассмотрим . Оно
удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, -
полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе.
2. – полуполе. Для доказательства
нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
2.3.
Покажем, что –
полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По
теореме 2.3.7, ‑ полуполе.
Тогда, по теореме 2.3.1, –
полуполе. . То
есть, –
полуполе.
4. , минимальное соотношение
которого имеет вид ,
есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный
корень, а значит -
полуполе.
Теперь приведем
примеры полей.
5. является полем, потому что
его минимальный многочлен имеет вид .
6. Пусть удовлетворяет
минимальному соотношению .
Его минимальный многочлен делит
. То
есть, –
поле. Несложно видеть, что .
Итак, .
7. Пусть удовлетворяет
минимальному соотношению .
Тогда –
поле.
8. Пусть , если , то –
поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим
последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7, – поле.
1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. –
Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем.
вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят.
гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с
делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.–
Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.
|