Перпендикуляр
Перпендикуляр
Ход урока.
Деятельность
учителя
|
Деятельность
ученика
|
|
– Мы завершили
изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и
плоскостей». Как эта тема у нас появилась?
– Хорошо. В
планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть
перпендикулярны в пространстве?
– Да! Поэтому и
тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
|
– В планиметрии
мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них
общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением
темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные
понятия можно ввести и в стереометрии.
–
Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость,
две плоскости.
|
|
– Что же мы
изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»?
– А какие задачи
решали?
– Вы видите,
какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его
рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?
– А что значит
привести знания в систему?
– Правильно. А
как будет звучать тема сегодняшнего урока?
– Хорошо. Цели мы
уже сформулировали. Запишем тему.
|
–Определения
перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства
перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми,
прямой и плоскостью, плоскостями.
– Доказывали
перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы.
– Привести
полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.
– Выделить
основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить
основные типы задач и методы их решения.
– Перпендикулярность
прямых и плоскостей.
|
|
– Перпендикулярность
каких объектов мы изучили?
– Будем работать
с таблицей.
< Открывает
заголовок таблицы 1>
– Итак, в теме мы
выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение
перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства
перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?
– Как могут быть
расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает
соответствующий рисунок>
– Какой
теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?
– Сформулируйте
ее. < Открывает рисунок>
– Поговорим о
перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.
< Открывает
рисунок>
– В этой части
было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней.
Называйте и формулируйте их.
<Открывает
соответствующие рисунки>
– В эту часть мы
отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней.
А как вы думаете
почему?
–Молодец!
Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?
–Какие факты
можно отнести в эту часть?
– Правильно. Итак,
тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой
«Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие
определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными
определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости,
лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке
использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и
теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и
перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и
признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на
рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по
рисунку 7.
–Хорошо.
Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …».
<Аналогичная
работа проводится для оставшихся двух случаев>
|
–
Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
– Две прямые в
пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900
.
– Они могут
пересекаться и скрещиваться.
– Лемму о
перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.
<Формулируют>
– Прямая
называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
– Признак
перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.
– Теорема о связи
между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости
<формулирует>.
– Теорема о
связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к
прямой <формулирует>.
– Потому что она
доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.
– Две
пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними
равен 900 .
–Признак
перпендикулярности двух плоскостей.
- Две прямые в пространстве параллельны, если
они перпендикулярны некоторой плоскости.
Две прямые в
пространстве перпендикулярны, если
- одна из них перпендикулярна некоторой прямой,
а другая ей параллельна;
- одна из них перпендикулярна некоторой
плоскости, а другая лежит в этой плоскости;
- одна из них является наклонной к некоторой
плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой
прямой.
<Ученики
формулируют следующие эвристики:
Прямая и
плоскость в пространстве перпендикулярны, если
- прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в этой плоскости;
- прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной
данной плоскости;
- данная плоскость параллельна некоторой другой
плоскости, перпендикулярной данной прямой.
Две плоскости
перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую,
перпендикулярную второй плоскости. >
|
|
–Давайте теперь
поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний
треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите
пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите
теоретический базис доказательства.
– Работаем в
парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй –
перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных
плоскостей. Даю вам 5 минут.
– Начнем с
первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>
–Хорошо.
Послушаем теперь второй ряд.
–Третий ряд,
пожалуйста.
|
<Работают>
< Ученики
называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое
использовали>
– DO^AB (DO^ABC, значит, по определению
прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности,
перпендикулярно АВ)
– DO^AC, DO^BC (аналогично)
– DC^AB (по лемме, теореме о трех
перпендикулярах, лемме).
–DO^ABC(по условию).
–AB^COD,CO^ADB(по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости).
–DAB^ABC (по признаку
перпендикулярности плоскостей)
–DOC^ABC (по признаку
перпендикулярности плоскостей)
–DOC^ADB (по признаку
перпендикулярности плоскостей).
|
|
– Мы знаем, что
изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства:
расстояния между объектами и углы между ними.
|
|
|
Давайте повторим,
как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает
заголовок: «Расстояния в пространстве»>
<Учитель
открывает по очереди каждый рисунок в таблице>
–Что называется
расстоянием от точки до прямой?
–Какие еще
расстояния можете назвать?
– Вспомните, как
мы решали задачи о нахождении расстояний.
– То есть решение
таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в
таблице.
– Теперь
вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в
пространстве»>
– Опишите это
понятие.
<Открывает
соответствующий рисунок>
– Какие еще углы
вы знаете?
– Решение задач
на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников.
|
– Расстоянием от
точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к
данной прямой.
– От точки до
плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной
плоскости.
– Расстояние
между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной
прямой до другой.
– Между параллельными
прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до
плоскости.
– Между
параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из
плоскостей к другой.
– Между
скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью,
проведенной через другую прямую параллельно первой.
– Сначала мы
строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали
его в треугольник.
– Угол между
прямыми.
– Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший
из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо
провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и
искать угол между ними.
– Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не
перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту
плоскость.
– И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол,
образованный при их пересечении.
|
|
– Вернемся к
задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем
использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление.
– Начнем с
первого задания.
– Как вычислять
угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.
–Второй ряд,
пожалуйста.
–И последний
угол?
–Дорешаете дома.
–Следующее
задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ,
от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.
–Отлично! Теперь
найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.
Эту задачу будем решать на новом рисунке.
–Итак, начнем.
–Далее. Прежде
чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь
выйдет к доске и построит его.
– Мы не знаем как
изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В
какой еще плоскости расположена прямая ВС?
– Чем является
искомая прямая по отношению к этой плоскости?
– То есть прямая
ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?
– А через какую
точку пройдет проекция наклонной?
– Значит нужно
сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это
сделать?
– А если бы мы и
о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из
точки D к прямой ВС?
– Как найти DК?
– Как найти расстояние от D
до АС? Постройте его на доске.
– Найдите
линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7.
– Назовите их и
докажите.
–Как их найти?
|
– Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD
на плоскость АВС, следовательно ÐDАО
– угол
между DА и АВС.
– Его можно найти из
прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.
–Угол между DВ
и АВС –
это ÐDВО.
–Угол между DС
и АВС –
это ÐDСО.
– Так как DО
– перпендикуляр,
проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО
–
искомое расстояние.
– Мы доказывали, что
СО^DАВ,
значит СО–расстояние
от С до DАВ.
–АВ^DОС, то АО–расстояние от А до DОС.
Так как DО перпендикулярно АВ,
то DО – расстояние между D и прямой АВ.
–АВС.
– Наклонной.
– Она должна быть перпендикулярной к проекции.
– Через точку О, так как она проекция точки D.
– Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана
правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК
параллельно АМ, тогда ОК^ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом
DК^ВС (по теореме о трех перпендикулярах).
Поэтому DК–расстояние от точки D
до прямой ВС.
– Произвольно.
– Его можно найти из
треугольника DОК. DО известно, ОК равно
половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ.
– Аналогично, причем
DL равно DК.
– Они уже построены.
– ÐDКО – линейный угол двугранного угла при ребре
ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК
перпендикулярна ВС. Аналогично, ÐDLО
–
линейный угол двугранного угла при ребре АС.
– Например, ÐDКО
можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO
равен углу DКО.
|
|
– Это все
задания, которые мы планировали решить на уроке.
– А теперь
подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в
пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость,
две плоскости.
– Какие типы
задач нами были рассмотрены?
–Как вы думаете
какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии?
|
–на
доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния
от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между
прямой и плоскостью, между плоскостями.
–позволяет ввести
метрические характеристики пространства, то есть определение углов и
расстояний между основными фигурами.
|
|
|
– Что вы теперь
умеете делать?
– Необходимо
помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить
вычисления.
|
– Мы умеем
доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;
решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить
расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между
прямой и плоскостью, между плоскостями.
|
|
Дома оформить
решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе.
|
|
|
Расстояния в
пространстве (Таблица 1)
От
точки до прямой
|
Между
параллельными прямыми
|
От
точки до плоскости
|
Между
парал–лельными прямой и
плоскостью
|
Между
параллельными плоскостями
|
Между
скрещивающимися прямыми
|
|
|
AM ^ α
|
AM ^ α
|
AM ^ β
|
AM ^ β
|
Решение
треугольников
|
Углы в
пространстве
Между
прямыми
|
Между
наклонной к плоскости и плоскостью
|
Между
плоскостями
|
0° <
φ ≤ 90°
|
0° <
φ < 90°
|
0° <
φ ≤ 90°
|
Решение
треугольников
|
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
Перпендикулярные
прямые
|
Перпендикулярные прямая и
плоскость
|
Перпендикулярные
плоскости
|
Записи
на доске и в тетрадях
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Дано: ∆АВС - равносторонний,
О - середина АВ,
ОD ^ АВС.
АВ=6см, ОD=3см.
1. Найти пары
перпендикулярных прямых.
Решение.
а) DO^AB, DO^AC, DO^BC (по определению прямой,
перпендикулярной плоскости).
б) DC^AB (по лемме, теореме о трех
перпендикулярах, лемме).
2. Найти пары
перпендикулярных прямой и плоскости.
Решение.
а) DO^ABC(по условию).
б)AB^COD, CO^ADB (по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости).
3. Найти пары
двух плоскостей.
Решение.
DAB^ABC, DOC^АВС,
DOC^ADB (по
признаку перпендикулярности плоскостей).
4.Найти углы
между DA, DB, DC и плоскостью ABC.
Решение.
Так как ОD^АВС,
то АО –
проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно ÐDАО – угол между DА и АВС.
5. Найдите расстояния
от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС.
6. Найдите
расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.
|
|