Оператор сдвига в гильбертовом пространстве
Оператор сдвига в гильбертовом пространстве
Оператор
сдвига
Содержание
1. Введение
Часть
1. Оператор сдвига в гильбертовом пространстве
§1. Основные понятия и факты теории
линейных операторов
1. Определение
и примеры линейных операторов
2.
Ограниченность и норма линейного оператора
3. Сумма и
произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов
4. Обратный
оператор
5. Спектр
оператора. Резольвента
§2. Унитарные
операторы. Оператор сдвига
6. Взвешенные
сдвиги
7. Операторы
сдвига в пространстве функции на единичной окружности
Часть
2. Нестандартное расширение оператора сдвига
1.
Нестандартное расширение поля действительных чисел
2. Расширение
пространств и
3. Операторы
сдвига в нестандартном расширении
Заключение
Список
литературы
ВВЕДЕНИЕ
Тема для
написания дипломной работы была выбрана не случайно. Теория линейных
операторов – это интересная и важная область, которая позволяет не только
активно применять уже имеющиеся знания по анализу, но и узнать много нового.
В данной работе
рассматриваются линейные операторы одностороннего и двустороннего сдвига.
Вводятся основные понятия: спектр, резольвента, спектральный радиус оператора.
Рассматриваются задачи, в ходе решения которых выясняются некоторые свойства
спектров операторов сдвига. Определяется класс взвешенных сдвигов, выводится
соотношение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига.
Известно, что
если рассматривать поле действительных чисел при условии, что аксиома Архимеда
не выполняется, то получим новое, расширенное поле, в котором существуют
бесконечно большие и бесконечно малые элементы. На основании этого расширения
можно построить весь математический анализ – нестандартный анализ.
Естественно,
часть основных понятий и свойств линейных операторов было бы интересно
определить и доказать и в нестандартном анализе, что и было сделано в работе.
В частности, был
установлен следующий факт: хотя стандартный оператор сдвига не имеет
собственных векторов, но его нестандартное расширение имеет «почти собственные»
векторы, т. е. векторы, в определенном смысле бесконечно близкие к собственным.
Часть 1.
Оператор сдвига в гильбертовом пространстве
§1.
Основные понятия и факты теории линейных операторов
1. Определение
и примеры линейных операторов
Пусть Е и Е1 – два линейных нормированных
пространства над полем комплексных чисел. Линейным оператором, действующим
из Е в Е1 называется отображение ( удовлетворяющее условию
для всех .
Совокупность DA всех тех , для которых отображение А определено,
называется областью определения оператора А; вообще говоря, не
предполагается, что DA=E , однако мы всегда будем считать,
что DA есть линейное многообразие,
то есть, если х,у
DA , то и при любых .
Определение 1. Оператор называется непрерывным в точке х0
DA , если для любой окрестности V точки у0=Ах0
существует такая окрестность U точки х0 , что АхV , как только х.
Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой
точке х
DA.
Поскольку Е и Е1 – нормированные пространства,
то это определение равносильно следующему: оператор А называется
непрерывным, если выполняется следующее условие: ( .
Примеры
линейных операторов
1.
Пусть А
– линейный оператор, отображающий n-мерное пространство Rn c базисом е1, …,
еn в m-мерное пространство Rm с базисом f1, …,fm . Если х –
произвольный вектор из Rn , то и, в силу линейности
оператора А .
Таким образом, оператор А задан, если известно, в какие элементы
он переводит базисные векторы е1,…, еn . Рассмотрим разложение вектора Аеi по базису f1, …, fm . Имеем . Следовательно, оператор А
определяется матрицей коэффициентов аij . Образ пространства Rn и Rm представляет собой линейное пространство, размерность
которого равна, очевидно, рангу матрицы , т.е. во всяком случае не превосходит n (свойство ранга матрицы). Отметим,
что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор автоматически
непрерывен.
2.
Рассмотрим
гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство Н1
. Разложив Н в прямую сумму подпространства Н1 и его
ортогонального дополнения, т.е. представив каждый элемент в виде ( положим Рh=h1. Этот оператор Р естественно
назвать оператором проектирования, проектирующим все пространство Н на Н1.
Очевидно, что Р является линейным и непрерывным оператором.
3.
Рассмотрим
в пространстве непрерывных
функций на отрезке [a;b] с нормой оператор, определяемый формулой
, (1)
где k(s,t) – некоторая фиксированная непрерывная
функция двух переменных. Функция непрерывна для любой непрерывной функции , так что оператор (1)
действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность
очевидна. Можно доказать также, что он непрерывен.
Тот же оператор можно рассмотреть на множестве непрерывных функций С2[a,b] с нормой , где он также непрерывен.
4. Один из
важнейших для анализа примеров линейных операторов – оператор дифференцирования.
Его можно рассматривать в пространстве C[a,b] : Df(t) = .Этот оператор D определен не на всем пространстве
непрерывных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имеющих
непрерывную производную. Оператор D линеен, но не непрерывен. Это видно, например, из того, что
последовательность сходится
к 0 ( в метрике С[a,b]),
а последовательность не сходится.
Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий
из пространства D1 непрерывно дифференцируемых
функций на [a,b] с нормой в пространство С[a,b]. В этом случае оператор D линеен и непрерывен и отображает все
D1 на все С[a,b].
Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из D1 в С[a,b], не вполне удобно, так как, хотя при
этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но
не к любой функции из D1 можно применять этот
оператор дважды. Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более
узком пространстве, чем D1
, а именно в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на
отрезке [a; b], в котором топология задается
счетной системой норм .
Оператор дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как можно
проверить, он непрерывен на этом пространстве.
2.
Ограниченность и норма линейного оператора
Определение 2. Линейный оператор, действующий из Е в Е1,
называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое
ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между непрерывностью и
ограниченностью линейного оператора существует тесная связь, т.е. справедливы
следующие утверждения:
Теорема 1. Для
того, чтобы линейный оператор был
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует МЕ – ограниченное
множество, такое, что множество АМЕ1 не ограничено.
Следовательно, в Е1 найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. Но тогда существует такая
последовательность хnM , что ни один из элементов Ахn не принадлежит V и получаем, что в Е, но не сходится к 0 в Е; это противоречит
непрерывности оператора А.
2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1
существует такая последовательность , что Ахn не стремится к 0. При этом
последовательность ограничена,
а последовательность не
ограничена. Итак, если оператор А не непрерывен, то А и не
ограничен. Утверждение доказано.
Если Е и Е1 – нормированные пространства, то
условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1,
можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он
переводит любой шар в ограниченное множество.
В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать
так: оператор А ограничен, если существует С=const , что для любого Е : .
Определение 3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому
неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .
Теорема 2 [1]. Для любого ограниченного оператора А , действующего из
нормированного пространства в нормированное .
3. Сумма и
произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов
Определение 4. Пусть А и В – два линейных оператора,
действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1.
Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие
элементу элемент
у=Ах+Вх, .
Можно проверить, что С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А
и В непрерывны. Область определения DC оператора С есть пересечение областей определения
операторов А и В.
Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы
А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем
(2)
Действительно, для любых х , следовательно, выполняется неравенство (2).
Определение 5. Пусть А и В – линейные операторы, причем А
действует из Е в Е1, а В действует из Е1
в Е2 . Произведением ВА операторов А
и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу элемент из Е2.
Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех хDA , для которых АхDB. Ясно , что оператор С линеен. Он непрерывен, если А
и В непрерывны.
Если А и В – ограниченные операторы, действующие в
нормированных пространствах, то и оператор С=ВА – ограничен, причем
(3)
Действительно, ,
следовательно, выполняется (3).
Сумма и произведение трех и более операторов определяются
последовательно. Обе эти операции ассоциативны.
Произведение оператора А на число к (обозначается кА)
определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.
Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных линейных
операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1
( где Е и Е1– фиксированные линейные нормированные
пространства), образует, по отношению к введенным операциям сложения и
умножения на число, линейное пространство. При этом Z(E, E1) –
нормированное пространстово (с тем определением нормы оператора, которое было
дано выше).
4. Обратный
оператор
Пусть А – линейный оператор,
действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для
любого уRA уравнение Ах=у имеет
единственное решение.
Если А обратим, то любому элементу уRA можно поставить в соответствие единственный элемент хDA , являющийся решением уравнения Ах=у.
Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и
обозначается А-1.
Теорема 3 [1]. Оператор А-1, обратный линейному оператору А,
также линеен.
Доказательство.
Достаточно проверить выполнение
равенства
.
Положим Ах1=у1
и Ах2=у2, в силу линейности А имеем
(*)
По определению обратного оператора А-1у1=х1
и А-1у2=х2, умножим оба равенства
соответственно на и
:
.
С другой стороны из равенства (*) следует , следовательно, .
Теорема доказана.
Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха об обратном операторе)
Пусть А –
линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово
пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда
обратный оператор А-1 ограничен.
Теорема 5 [3]. Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е,
а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в
себя, что . Тогда
оператор (I-A)-1 существует,
ограничен и представляется в виде .
Доказательство.
Так как , то ряд сходится. А так как для всех , то ряд также сходится. Пространство Е
полно, значит, из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный
линейный оператор. Для любого n имеем: , переходя к пределу и учитывая, что , получаем , следовательно .
Теорема доказана.
5. Спектр оператора.
Резольвента.
Всюду, где речь идет о спектре оператора,
считаем, что оператор действует в комплексном пространстве.
В теории операторов и ее применениях первостепенную роль играет понятие
спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала применительно к операторам в
конечномерном пространстве.
Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn . Число называется собственным значением оператора
А , если уравнение
имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром
оператора А, а все остальные значения – регулярными.
Иначе говоря, есть
регулярная точка, если оператор обратим. При этом оператор -1 , как и любой
оператор в конечномерном пространстве, ограничен, поэтому в конечномерном
пространстве существует две возможности:
1) уравнение имеет ненулевое решение, т. е. есть собственное значение
для А , оператор -1
при этом не существует;
2) существует ограниченный
оператор -1,
т.е. есть
регулярная точка.
В
бесконечномерном пространстве существует третья возможность:
3) оператор -1 существует, т.е.
уравнение имеет
лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введем следующую терминологию. Число мы назовем регулярным для оператора А,
действующего в (комплексном) линейном нормированном пространстве Е, если
оператор -1
, называемый резольвентой оператора А , определен на всем Е и
непрерывен. Совокупность всех остальных значений называется спектром оператора А
. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если
х=0 при
некотором , то -1 не
существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная
часть спектра, т.е. совокупность тех , для которых -1 существует, но не непрерывен,
называется непрерывным спектром. Итак, любое значение является для оператора А
или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра.
Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие
теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Теорема 6 [3]. Если А –ограниченный линейный оператор в банаховом
пространстве и ,
то – регулярная
точка.
Доказательство.
Так как, очевидно
, то . При этот ряд сходится (теорема 4), т.е. оператор имеет ограниченный
обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле.
Теорема
доказана.
Пример.
В пространстве функций,
непрерывных на отрезке ,
рассмотрим оператор А, определяемый формулой Аx(t)=M(t)x(t) , где M(t)– фиксированная непрерывная
функция. Возьмем произвольное число , тогда , а .
Спектр рассматриваемого оператора состоит из всех , для которых Если функция M(t)- обращается в нуль при некотором t, заключенном между 0 и 1, то
оператор не определен на всем пространстве , так как функция уже не обязана быть непрерывной. Если же функция M(t)- не обращается в нуль на отрезке , то функция непрерывна на этом отрезке, а, следовательно, ограничена:
для некоторого при всех . Следовательно, оператор ограничен, а число – регулярное для оператора А. Таким
образом, спектр оператора А есть совокупность всех значений функции M(t) на отрезке [0;1], причем собственные
значения отсутствуют, т.е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с
чисто непрерывным спектром.
Страницы: 1, 2
|