Операторные уравнения
Операторные уравнения
Федеральное агентство по
образованию
Государственное муниципальное
образовательное учреждение
высшего профессионального
образования
Вятский Государственный
Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического
анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная
работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________ Крутихина
М.В.
« »____________
Декан факультета__________________ Варанкина
В.И.
« »____________
Киров 2005
Содержание
Введение_______________________________________________________
|
3
|
Глава 1.Операторные
уравнения.___________________________________
|
4
|
|
§1. Определение линейного оператора________________________
|
4
|
|
§2. Норма линейного оператора______________________________
|
5
|
|
§3. Обратные
операторы____________________________________
|
5
|
|
§4. Абстрактные
функции___________________________________
|
9
|
|
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________
|
11
|
|
§6. Метод малого параметра в простейшем
случае______________
|
12
|
|
§7. Метод малого параметра в общем
случае___________________
|
13
|
|
§8. Метод продолжения по
параметру________________________
|
15
|
|
8.1. Формулировка основной
теоремы___________________
|
15
|
|
8.2. Простейший случай продолжения по
параметру_______
|
16
|
Глава 2.
Приложение_____________________________________________
|
19
|
Литература_____________________________________________________
|
27
|
Введение
Функциональный
анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в
реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях
математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие
задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к
отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь,
приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В
данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
Цель данной работы:
рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных
уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать
применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся
материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
1. раскрыть некоторые основы
теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения
операторных уравнений;
2. проиллюстрировать на
конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по
ходу решения конкретных задач.
Так как выделение
из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные
методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти
методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная
работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические
обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во
второй – решения конкретных задач.
Глава
1. Операторные уравнения
§1.Определение линейного
оператора
Пусть X и Y –
линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X →
Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ1x1
+ λ2x2) = λ1А(x1)
+ λ2А(x2)
для любых x1,x2
Î D и
любых скаляров λ1 и λ2.
Пусть X и Y –
нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду
заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А
называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при
x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в
различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле
пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и
со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой
точке x0 Î X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если
x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в
нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось
доказать.
Линейный оператор
А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S1(0)
– замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
Будем называть
линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он
ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество
.
Согласно
определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0
такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1
справедливо неравенство
||Аx||
≤ с (1)
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
||Аx||
≤ с ||x|| (2)
для любых x Î X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы
пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы
он был ограниченным.
§2. Норма
линейного оператора
В линейном
пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
. (1)
Поясним, почему
существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного
оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество
ограничено сверху. По теореме о
верхней грани существует .
Из свойства sup M следует,
что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||,
(2)
справедливое для всех x
Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является
наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и,
значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство
нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем
обозначать L(X, Y).
§3.Обратные операторы
Системы линейных
алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут
быть записаны в виде линейного уравнения
Если существует
обратный оператор , то
решение задачи записывается в явном виде:
Важное значение
приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор
существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан
линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства,
причем его область определения D(A)X, а область значений R(A)Y.
Введем множество - множество нулей
оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)
Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=, (т.е. множество А нулей состоит только из
элемента 0)
Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для
некоторой постоянной m>0
и любого x Î D(A) выполняется неравенство
. (1)
Введем теперь
следующее важное понятие.
Будем говорить,
что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 Î L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к
теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех выполняется неравенство (1).
В случае определенного
и ограниченного на всем множестве оператора A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно
однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1
ограничен.
Иными словами,
если А Î L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А
непрерывно обратим.
Взглянем на
понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного
уравнения
Ax = y (2)
Если А
непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для
любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение
правой части y влечет малое изменение
решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.
Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым
обратным к А, если VA = Ix.
Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в
пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А
используем обозначение Аr–1,
а для левого – АL–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет
решение
x
= Аr–1 y
Если
существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более
одного решения.
Доказательство.
А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,
т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит,
является решением.
Далее, пусть
существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому
равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А
взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности.
Что и требовалось доказать.
Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим
банахово пространство L(X) – пространство линейных,
ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается,
что вместе с I непрерывно обратимы все
операторы - единичного
шара в L(X), т.е. все такие А, для которых
справедливо неравенство .
Для краткости
положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово
пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8. Пусть и
; тогда
оператор I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки
(1)
(2)
Доказательство.
Рассмотрим в L(X) ряд
I+C+C2+C3+… (3)
Так как , то ряд (3) оценивается
сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией
По признаку
Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.
.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой
проверкой убеждаемся, что
,
.
Но при этом (ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I –
C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I –
C)-1. Далее,
,
.
Переходя в этих
неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.
Теперь рассмотрим
более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено
неравенство .
Тогда B непрерывно обратим и
справедливы оценки
, .
§4. Абстрактные
функции
Пусть S – некоторое множество на числовой
оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим
функцию x() с областью определения S и с областью значений в X. Такие
функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной
или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы
линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На
абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты
математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности
таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической
абстрактной функции.
Пусть x() определена в
окрестности точки 0,
за исключением, быть может, самой точки 0. Элемент а Î X будем называть пределом функции
x()
при →0 и
записывать
при →0,
если при
→0.
Степенные ряды –
это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда
зависят от параметра.
Рассмотрим в
нормированном пространстве X ряд вида , где xк Î X, а – вещественное или комплексное
переменное. Поскольку можно ввести новую переменную –0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем
степенные ряды вида
(1)
Конечная сумма называется частичной
суммой степенного ряда (1).
Пусть – множество всех точек , для которых ряд (1)
сходится. называется
областью сходимости ряда (1).
Сумму ряда (1)
при Î обозначим через S() (это абстрактная функция, определенная
на со значениями
в X), при этом будем писать
, при Î .
Последнее равенство означает, что Sn() → S()
при n→∞ для всех Î .
Очевидно, область
сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î . Как и в случае скалярных функций,
справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (Абель). Пусть0 ≠ 0
и 0
Î ,
тогда круг содержится
в . Во всяком
круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно
относительно .
Страницы: 1, 2
|