Некоторые линейные операторы
Некоторые линейные операторы
Содержание
Введение
§1. Определение линейного
оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные
операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного
оператора
§3. Обратный оператор. Спектр
оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на
непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор
дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных
нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют
собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти
операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных
операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму
ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории
операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности
линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра
оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную
функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки
спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано,
что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности
оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть Ex и Ey [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных)
чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором,
если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного
(действительного) числа выполняются
следующие равенства [2]:
1.
А(х1+х2)
= Ах1 + Ах2;
2.
А(х) = А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор
А задан формулой:
Ax = x для всех x Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является
линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых
функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x)
= f/(x).
Где f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b].
Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих
непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств
производной.
3) Рассмотрим пространство С[-, +]
– пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию
на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a)
= А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x))
= kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1],
и дано отображение 1,
заданное формулой:
Так как
интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией
дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла
данное отображение является линейным оператором.
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть , – нормированные
пространства.
Определение 2 .Оператор А: Е Е1 называется непрерывным
в точке ,
если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного
оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3]
U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U.
Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < .
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он
непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда
и только тогда, когда .
Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность
точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.
Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда
Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.
Таким образом,
из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует
непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это
отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства
С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему
последовательность. Это означает:
p (yn, y) = |yn(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| |yn(x)- y(x))|=p(yn,y),
то есть p (F(yn), F(y)) 0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке
пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем
пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие
ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным,
если можно указать число K>0 такое, что
||Аx|| K||x||. (1)
Теорема 2.
Среди всех констант K,
удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи
ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к
пределу
получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).
т. д-на.
Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой
оператора А и обозначается ||A||[4].
||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где
||А|| = xE.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует
тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы
оператор А был непрерывен.
Необходимость:
Дано: А – ограничен;
Доказать: А – непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx|| K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .
Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< ,
то ||Аx|| K||x|| < K =
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.
Достаточность:
Дано: А – непрерывен;
Доказать А – ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы
один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.
Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.
Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где
||yn|| = .
Следовательно последовательность yn 0 при n .
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако
||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А – ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора
эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .
По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.
|| || = |y(x)||| |y(x)|||;
||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .
Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) = .
По выше доказанному ||F|| = = 1.
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
Пусть , – нормированные
пространства, –
линейный оператор, DA- область определения
оператора, а RA – область значений.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для
любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие
единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор,
осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к
оператору А и обозначается А-1.
Теорема 4.
Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
,
(m>0).
Доказательство:
Достаточность.
Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на
нулевом векторе. Итак, А-1 существует.
Докажем его ограниченность.
y=Ax.
x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.
Отсюда ||A-1y|| ||y||, то есть обратный оператор
существует и он ограничен.
Если за m возьмем наибольшую из
возможных, то получим, что ||A-1||=.
Необходимость.
Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном
пространстве.
Итак, ||A-1y|| М||y||.
Подставляем значение y и
значение A-1y,получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать
положительным числом).
Отсюда ||Ax|| ||x||.
Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.
т. д-на.
В
теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это
понятие сначала для конечномерного пространства.
Определение
7. Пусть А –
линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным
значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения.
Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора
А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ
есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор
в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве
существуют две возможности:
1)
уравнение
Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным
значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;
2)
существует
ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.
В
бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:
3)
оператор
(А – λI)-1 существует, то
есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не
ограничен.
Введем
следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора
А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А –
λI)-1, называемый резольвентой
оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен.
Совокупность всех остальных значений λ называется спектром
оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как,
если (А – λI)х=0 при некотором х≠0,
то оператор (А – λI)-1 не существует.
Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра,
то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не
непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение
λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или
точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного
спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном
пространстве от конечномерного случая.
Определение
8. Оператор , где – регулярная точка оператора А,
называется резольвентой[6] оператора А и
обозначается (или
).
Теорема
5. Пусть – линейный непрерывный
оператор, его
регулярные числа. Тогда .
Доказательство. Умножим обе части равенства
на : (==. С другой стороны получим . Так как числа – регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит,
из равенства следует, что . Значит, утверждение
теоремы верно.
т. д-на.
Примеры.
1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую
переменную t: Ax = tx(t).
Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:
tx(t) - x(t) = y(t),
решение x(t) этого уравнения есть функция,
тождественно ему удовлетворяющая.
Если лежит
вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:
x(t) = y(t),
откуда следует, что все такие значения
параметра являются регулярными, и
резольвента есть оператор умножения на :
R(y) = y(t).
Все значения параметра, принадлежащие
отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в
качестве y(t)
какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a 0. Для такой функции
равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на
отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля.
Следовательно, при = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает
принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни
одна точка спектра не является собственным значением, так как решение
однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0,
1], при любом t, отличном от , а
следовательно, в силу непрерывности и при t = ,
обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.
Аx = = .
Введем обозначения:
= y1
= y2
x1, x2, y1, y2 E;
A - *I = , найдем определитель A - *I:
D(A - *I) = = (2-)*(-2-) –
3 = 2 – 7;
Если определитель отличен от нуля, то
есть если не есть корень уравнения 2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.
Корни уравнения 2 – 7 = 0 образуют спектр:
1 = ; 2 = -;
1, 2 – собственные значения.
Найдем собственные векторы для
собственных значений :
при = получаем:
откуда x1 = (2+)x2; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);
при = - получаем:
откуда x1 = (2 - )x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);
§4. Оператор
умножения на непрерывную функцию
Рассмотрим
пространство непрерывных
на отрезке функций,
и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1,
должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g)
= (g(t)+f(t))x(t)
= g(t)x(t)+f(t)x(t) =
A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f)
= A(k*x(t)) =
k*g(t)x(t) = kA(x(t)) =
k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность
и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением
непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.
Оператор А, действует в пространстве C[], в котором расстояние между
функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.
Решение:
p (A xn(t), Ax0(t)) = |Axn(t) - Ax0(t)| = |xn(t)g(t) - x0(t)g(t)| |g(t)| |xn(t) - x0(t)|
= |g(t)|p (xn(t), x0(t))
0.
Страницы: 1, 2
|