Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
Как и для
многогранника, конструктивные определения можно дать многоугольникам
многогранной поверхности. [2]
4) Другой подход к определению
многогранника представлен в книге В.Г. Болтянского «Элементарная геометрия» [7],
построенный на основе вейлевской векторной аксиоматики геометрии. Этот подход
не применяется в школьных учебниках, но для примера можно привести одно из
определений.
При вейлевском изложении геометрии первоначальными
понятиями являются точка, вектор и следующие операции над ними: паре точек
сопоставляется некоторый вектор, сумма векторов, произведение вектора на число
и скалярное произведение, а также их свойства.
Наиболее известным примером многогранника является параллелепипед.
Его можно описать следующим образом. Берется параллелограмм ABCD и
из его вершин откладываются равные векторы АА1=ВВ1
=СС1 =DD1 =e, где с не параллелен плоскости параллелограмма ABCD
(рис. 1.3). [7]
Определение частных видов многогранников (призмы,
пирамиды и др.) в данном подходе практически не отличаются от определений в
школьном курсе, однако интересен сам подход к определению на основе другой
аксиоматике.
Таким образом, определение многогранника может быть дано
различными способами, и в разной литературе и в разных учебниках можно
встретить различные подходы к определению.
Можно дать понятию многогранника как дескриптивное, так и
конструктивное определение, как определение, основанное на наглядном
представлении, так и строгое. Можно определить многогранник как тело и как
поверхность. Различны также определения многогранника, данные на основе
различных аксиоматик. В школьных учебниках чаще дается какое-то одно
определение, но полезно учащимся показывать и другие способы определения многогранника.
Как и при введении понятия многогранника, существуют
различные способы введения выпуклых многогранников и правильных
многогранников. Рассмотрим эти способы подробнее.
1.2 Подходы к
определению выпуклого многогранника.
После введения понятия
многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники.
Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого
многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение
свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает
очень большое место в школьном курсе геометрии. Однако точный смысл понятия
«выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать
выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не
объясняются. Учащиеся часто вообще не воспринимают смысла прилагательного
«выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить
какой-либо четырехугольник рисуют фигуру, изображенную на рисунке l.4,а (а
иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б), а не фигуру, изображенную на рис
l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток общей
математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклыми,
подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии представить
себе четырехугольника, отличного от прямоугольника (рис. 1.4,б),
параллелограмма или, в лучшем случае, от трапеции. В некоторых случаях
игнорирование условия о выпуклости многоугольника или многогранника
оказывается даже совершенно законным - какую, например, ценность имеет оговорка
о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2)
.180° Условие этой теоремы полностью сохраняет силу и для невыпуклых
(простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого
четырехугольника (рис. 1.4,в) равна 360°. Правда, приводимое в школе
доказательство теоремы справедливо лишь для выпуклых многоугольников.
Понятие выпуклого многогранника чаще
всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия
просматривается в учебнике Александрова [3]. Существует два способа определения выпуклого многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой
из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках [4] и [22]. Либо многогранник называется выпуклым, если любые
две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в
учебнике [28]. В учебнике [3] за основу берется второе определение и
доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.
Остановимся
подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные
фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком
принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться
довольно сложной (рис 1.5). Естественно выделить класс фигур, для которых в
качестве линии, соединяющей две ее точки А, В, всегда можно выбрать
самую простую линию - прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются
выпуклыми.
Фигура F называется выпуклой, если вместе с
каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры
выпуклых фигур показаны на рис.1.6; на рис. 1.7 изображены некоторые
невыпуклые фигуры.
Кроме плоских, можно рассматривать пространственные
выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить
тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.
Выпуклые
тела в пространстве можно определить как пересечение некоторого множества
полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно
представить в виде пересечения конечного числа полупространств. Такие
выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.
Свойство,
положенное в основу определения выпуклых фигур (существование в фигуре
прямолинейного отрезка, соединяющего любые две ее точки), с первого взгляда
может показаться несущественными, даже надуманным. В действительности же
выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма
интересным и важным для геометрии. Дело в том, что «произвольные»
геометрические фигуры могут быть устроены необычайно сложно. Например,
определить, находится ли точка А «внутри» или «вне» замкнутого многоугольника,
изображенного на рис1.8, совсем не просто. Если же рассматривать фигуры, не
являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими
сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей
себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра . Для
выпуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места: внутренняя область
выпуклой фигуры сравнительно просто устроена, любая ограниченная плоская
выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространственное
выпуклое тело - объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом, выпуклые
фигуры составляют класс сравнительно просто устроенных фигур, допускающих
изучение геометрическими методами.
С другой стороны, класс выпуклых фигур является
достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной
геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные
комбинации выпуклых фигур и тел. [6]
1.3 Подходы к определению правильного многогранника.
После введения выпуклых многогранников изучаются их виды:
призмы, пирамиды и их разновидности. Практически во всех учебниках они
определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника
авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть
различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их
методические особенности.
В различных учебниках по стереометрии используются разные
определения этого понятия. Так, в учебнике [4] и других выпуклый многогранник
называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и,
кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике [22]
вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные
многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А.Д. Александрова и
других [3] по сравнению с учебником [4] накладывает дополнительное требование
равенства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом
многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в
нем отрезком. [3]
Учебное пособие [16] дает такое определение: выпуклый
многогранник называется правильным, если все его грани - конгруэнтные
правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число
граней.
В [15] многогранник называется правильным, если все его грани - равные
правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге [9]
сказано: многогранник называется правильным, если все его грани равные
правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны.
Как видим, во всех перечисленных учебниках даются различные
определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства
правильных многогранников.
Перечислим их:
1°. Выпуклость многогранника.
2°. Все грани - равные правильные многоугольники.
3°. Все грани - правильные многоугольники с одним и
тем же числом сторон.
4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.
5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
6°. Равны все многогранные углы.
7°. Равны все двугранные углы.
Возможны и другие свойства правильных многогранников,
например:
8°. Равны все ребра многогранника.
9°. Равны все плоские углы многогранника.
Какие же свойства следует взять для определения правильного
многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять?
Нам представляется, что для отбора свойств в определении
правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями:
- Всякое определение должно быть полным, т. е. включать те
свойства, которые полностью определяют данное понятие. Иными словами, любое
свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в
определении.
- Всякое определение должно быть по возможности экономным,
т. е. не содержать лишних свойств, которые выводятся из остальных свойств
правильного многогранника.
- Определение понятия правильного многогранника должно
отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове "правильный"
(правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д.).
- Определение понятия правильного многогранника должно
быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника
на плоскости.
- Определение правильного многогранника должно допускать
возможные обобщения, например, на случай полуправильных и топологически
правильных многогранников.
- Определение должно быть педагогически целесообразным,
т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться
при изучении правильных многогранников, нести определенные педагогические
функции.
Пространственными аналогами определения правильного
многоугольника являются определения, данные в пособиях [15]и [9]. К числу
достоинств этих определений мы относим и то, что в них отсутствует требование
выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а
с другой - фактически не используется при доказательстве теорем и решении
задач. К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются
на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников. Например,
равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных многогранников.
Для определения топологически правильных
многогранников следует использовать свойства, носящие топологический характер.
Такими свойствами из перечисленных выше являются 3°, 4° и 5°. Поэтому лучше
всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в
учебнике [22].
Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных
выше определений правильного многогранника не является универсальным, т. е.
удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует
выбирать и соответствующее им определение. Так, если надо только ознакомить
учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с
определением правильного многоугольника, не исследуя при этом подробно
свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения,
данные в пособиях [15] и [9]. Если же мы хотим рассмотреть свойства правильных
многогранников более подробно, в частности перейти к полуправильным и
топологически правильным многогранникам, то лучше всего обратиться к определениям
из учебников [4] и [22]. [29], [27]
2.Изучение многогранников в школьном курсе математики.
В школьных учебниках после изучения «бесконечно-протяженных»
и в силу этого весьма абстрактных геометрических фигур: прямых и плоскостей
(вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые,
«конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в первую
очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель многогранника) можно
изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже
«разрезать» - посмотреть на сечение. В данной теме это весьма существенно, и
учителю необходимо использовать значительно расширившиеся возможности
привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное
внимание и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим
немного позднее.
Можно указать на такие две проводимые методологические
линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изучение
различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии
переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые
характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади
поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря,
качественные характеристики - это одна из основ классификации многогранников.
Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники
(пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных»
многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и
строго определяются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды.
Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов -
призмы и пирамиды бывают n-угольными,
где n = 3, 4, 5,… . Более детальная
классификация - по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для
призм она относительно «разветвленная»:
И далее:
Школьная классификация пирамид менее разветвленная:
Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой
классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде
соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы
может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и
столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников -
параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по
крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным
образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и
творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они
обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать
достаточно простые теоремы.
Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой
стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все
теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем совсем просто
доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому
вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с
доказательствами).
Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников
решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные,
большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь
перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения
школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и
главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с
планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим.
Рассмотрим
изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем
учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для
общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с
математическим уклоном.
2.1 Учебник Атанасяна Л.С.
Рассмотрим
изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен
для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее.
Данная тема
изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено
поурочное планирование в таблице.
Номер урока
|
Содержание учебного материала
|
1-4
|
§1. Понятие многогранника. Призма.
Понятие многогранника. Призма. Площадь
поверхности призмы. ( п.25-27)
|
5-9
|
§2. Пирамида.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная
пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)
|
10
|
§3. Правильные многогранники.
Симметрия в пространстве. Понятие
правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п.
31-33)
|
11
|
Контрольная работа.
|
12
|
Зачет по теме.
|
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|