Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел 
Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ
ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Выполнила студентка 5 курса
математического факультета
Лоптева О. Н.
_____________________________/подпись/
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доц. Варанкина В.
И.
_____________________________/подпись/
Рецензент:
к.ф.-м.н., доц. Здоровенко М.
Ю.
_____________________________/подпись/
Допущена к защите в
ГАК
Зав.
кафедрой_______________________ Крутихина М. В.
«____»______________________________
Декан
факультета____________________ Варанкина В. И.
«____»______________________________
КИРОВ, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1
Исходные
определения
§1. Порядковые определения . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§2. Топологические определения . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 2
Линейно упорядоченное пространство
ординальных чисел
§1. Вполне упорядоченные множества и
их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§2. Конечные цепи и их порядковые
типы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§3. Порядковый тип . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§4. Свойства ординальных чисел . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
§5. Пространство ординальных чисел W(1) и его свойства.
. . . . . . . . . . .18
Список литературы . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ВВЕДЕНИЕ
Идеи топологии были высказаны ещё
выдающимися математиками 19 века: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре,
Кантором, Гильбертом и Бауэром. Однако общая топология, как её понимают сейчас,
ведёт начало от Хаусдорфа («Теория множеств», 1914).
Истоки теории упорядоченных и
частично упорядоченных алгебраических систем лежат в геометрии, функциональном
анализе и алгебре.
Линейно упорядоченные
пространства, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных
чисел, объединяют в себе две структуры: порядковую и топологическую.
Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует.
Этим объясняется актуальность выбранной темы.
Целью дипломной работы является
исследование пространства ординальных чисел, его порядковых и топологических
свойств. В первой главе будут даны основные понятия теории множеств и общей
топологии, а во второй главе будет введено понятие порядкового типа,
установлены свойства порядковых чисел, а также проведено исследование
пространства ординальных чисел, имеющее важное значение для данной работы.
Будет доказана хаусдорфовость, нормальность, локальная компактность, счётная
компактность, неметризуемость и некоторые другие свойства линейно
упорядоченного пространства ординальных чисел.
ГЛАВА 1. Исходные определения
и теоремы.
§1. ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Определение 1.1. Упорядоченным множеством
называется непустое множество Х вместе с заданным на нём бинарным отношением
порядка, которое:
рефлексивно: а a;
транзитивно: a b c a c;
антисимметрично: a b a a = b ( для любых a, b, cX ).
Элементы упорядоченного множества
называются сравнимыми, если
а < b, a = b или b < a.
Замечание: по определению будем
считать, что a < b, если a b и a b.
Определение 1.2. Упорядоченное
множество называется линейно упорядоченным, или цепью,
если любые его два элемента сравнимы.
Определение 1.3. Элемент а
упорядоченного множества Х называется наименьшим (наибольшим) элементом
множества АХ,
если аА и а
х
(х а) для любого х А.
Определение 1.4. Элемент а
упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом
множества АХ,
если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х а (а х) для некоторого х, то х = а.
Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного
множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней)
гранью множества А, если он больше (меньше) любого элемента из А.
Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А
называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).
Определение
1.7. Множество А называется ограниченным,
если оно ограничено и сверху и снизу.
Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший
элемент множества всех верхних граней множества А. Обозначается sup
A.
Определение 1.9. Точной нижней
гранью множества А называется наибольший элемент множества всех
нижних граней множества А. Обозначается inf A.
Определение 1.10. Пусть <X, > - линейно упорядоченное множество,
содержащее, по крайней мере, два элемента. Для а, bX, a < b
положим
(a, b) = {xX: a < x < b}. Такие множества будем называть интервалами в Х.
Множество [a, b] = {
xX : a
x
b} называется отрезком в Х.
Определение 1.11. Упорядоченное множество
называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество
имеет наименьший элемент.
Определение 1.12. Пусть М и М1
– упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М1.
Отображение сохраняет порядок, если из того, что a b ( a, bM ), следует, что f (a) f (b) (в М1). Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных
множеств М и М1, если соотношение f (a) f (b) выполнено в том и только в
том случае, если a b. При этом множества М и М1
называются изоморфными между собой.
§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Определение 1.13. Топологическим пространством называется пара (Х,), состоящая из множества Х
и некоторого семейства подмножеств
множества Х, удовлетворяющая следующим условиям:
1) множество Х и Æ принадлежат ;
2) пересечение конечного числа
множеств из принадлежат ;
3) объединение любого числа
множеств из принадлежит
.
Условия 1 – 3 называются аксиомами
топологического пространства, его элементы – точками пространства.
Подмножества множества Х, принадлежащие семейству , называются открытыми в Х.
Семейство открытых подмножеств пространства Х называется также топологией
на Х.
Определение 1.14. Замкнутым
множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.
Определение
1.15. Окрестностью
точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.
Определение 1.16. Топологическое пространство Х
называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами
можно выделить конечное подпокрытие.
Определение 1.17. Топологическое пространство
Х называется компактным, если любая его центрированная система
замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.
Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).
Определение 1.18. Пространство Х
называется локально компактным, если каждая точка имеет окрестность,
замыкание которой компактно.
Определение 1.19. Топологическое
пространство Х называется счётно компактным, если из каждого
счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное
подпокрытие.
Определение 1.20. Топологическое пространство Х
называется счётно компактным, если каждое его бесконечное
подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.
Определения 1.19 и 1.20
равносильны ([5]).
Определение 1.21. Пространство называется компактификацией
топологического пространства Х, если:
1) компактно;
2) Х –
подпространство ;
3) Х плотно в .
Определение 1.22. Топологическое пространство Х
называется Т1-пространством, если для каждой пары различных
точек х1, х2 существует открытое множество , такое, что х1 и х2.
Определение 1.23. Если
любые две различные точки х и у топологического пространства Х
имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым
пространством или Т2-пространством.
Определение 1.24. Топологическое пространство Х
называется регулярным пространством, или Т3-пространством,
если Х есть Т1-пространство и для любого и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые
множества U1 и U2, такие, что 1, 2 и U1U2 = Æ.
Определение 1.25. Топологическое пространство Х
называется тихоновским пространством, или Т3-пространством, если Х есть Т1-пространство
и для любого и
любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f: , такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для .
Определение 1.26.
Топологическое пространство Х называется нормальным, или Т4-пространством,
если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В
существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что АU, BV.
ГЛАВА 2. Линейно
упорядоченное пространство ординальных чисел.
§1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ
МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.
Рассмотрим вполне упорядоченные множества
и их свойства.
Предложение 1.1. Всякое подмножество
вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).
Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного
множества А в себя, то для любого элемента хА выполняется неравенство f (x)x. (1)
Доказательство.
Будем доказывать методом от
противного и предположим, что в А есть элементы х, не
удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший,
так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х1
: f (x1)<x1.
Обозначим f (x1) = x0 и перепишем неравенство: х0<х1.
Так как f – изоморфизм, то выполняется
неравенство: f(x0)<f (x1) = x0.
Таким образом, получили следующие
неравенства: х0 < x1 и f (x0) < x0 . Эти неравенства противоречат
определению элемента х1, как наименьшего из элементов х
множества А, не удовлетворяющих условию f (x) < x. ■
Определение 2.1. Начальным отрезком,
отсекаемым элементом аА от линейно упорядоченного
множества А, называется множество Аа = x .
Предложение 1.3. Пусть А’
– произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество
А не изоморфно никакому отрезку множества А’.
Доказательство:
Будем доказывать методом от
противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного
множества А в некоторый отрезок Ах’ подмножества А’А. Тогда f (x) Ax’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением
1.2. ■
Следствие 1.4. Два
различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между
собою.
Доказательство.
Пусть Ах и Ау
– два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как Ах
и Ау различны, а множество А – вполне упорядочено, то х
и у сравнимы, при этом ху. Пусть для определённости x < y. Тогда Ах –
отрезок множества Ау и по предложению 1.3 Ах
и Ау не могут быть изоморфными. ■
Предложение 1.5. Существует не более
одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.
Доказательство.
Будем доказывать методом от
противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне
упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В.
Так как f и g различны, то существует аА: b = f (a) b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В
отрезок Ах А переходит в отрезок Ву
В, где у
= f (х). Поэтому
отрезок Аа А подобен отрезкам
Вb В и Вb’ B, т. е. Bb изоморфен Aa и Аа изоморфен
Вb’. Следовательно, отрезок Вb изоморфен отрезку Bb’ , но это противоречит
следствию 1.4. ■
Определение 2.2. Если для элемента а А существует элемент
а’ =
= inf a, то а’ называется непосредственно
следующим за а.
Предложение 1.6. Если А
– вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме
наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.
Доказательство.
Возьмём некоторый элемент аА, пусть а не
является наибольшим элементом. Рассмотрим множество x . По
предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной
нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а.
■
§2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ
ТИПЫ.
Предложение 2.1. Множество
из n элементов можно линейно
упорядочить n! способами.
Доказательство.
Для доказательства достаточно применить
формулу числа перестановок для n-элементного множества: Рn=n! ■
Предложение 2.2. Любое конечное линейно
упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.
Доказательство.
Страницы: 1, 2
|
