Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы 
Декарт внес в прямоугольные координаты очень
важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь
прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости,
связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с
Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Значение аналитической геометрии состоит, прежде
всего, в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти
две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени
совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от
друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась
лишь довольно слабая связь.
Координаты позволяют определять с помощью чисел
положение любой точки пространства или плоскости. Это дает возможность «шифровать»
различного рода фигуры, записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще
всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек.
Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е.
точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х=у, то получится прямая линия
- биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Иногда, вместо «множество точек»,
говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют соотношению х=у - это, как было сказано
выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей
между алгеброй, с одной стороны, и геометрией - с другой, было по существу,
революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в
которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.
Суть метода координат
Сущность метода
координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры
уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы
можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь
координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и
факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению
алгебраических задач.
Метод координат –
это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и
геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы
дать, оставаясь разделенными.
В отношении
школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод
координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более
рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат
связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает
различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора
системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему
координат наиболее целесообразно.
Глава
2
Методические
основы обучения координатному методу
2.1.Этапы решения задач методом координат
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом
координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический)
язык;
2)преобразование аналитического выражения;
3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на
язык, в терминах которого сформулирована задача.
Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую
задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным
методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений.
Решение:
1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько
точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с
центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением
параболы.
2 этап: построение окружности и параболы;
нахождение точек их пересечения.
3 этап: количество точек пересечения окружности и
параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из
которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение:
Обозначим
данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала
с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда
в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит
искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной
плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2
+ у2
Равенство
х2+у2=(х-а)2+у2 и является
алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый
этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование
полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .
На третьем этапе осуществляется перевод языка
уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением
прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к
отрезку АВ.
2.2 Задачи, обучающие координатному методу
Для разработки методики формирования умения
применять координатный
метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура
решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у
обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на
практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим
умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при
решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его
поэлементное формирование.
Задача №1 . В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что .
Выберем систему координат так, чтобы точка А
служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис. 2).
(умение оптимально
выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить
координаты данных точек).
В выбранной системе
координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)
(умение вычислять
координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда
используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными
своими координатами, получаем:
х2+у2=с2 , (x-b)2+y2=a2 (1)
(умение находить
расстояние между двумя точками, заданными координатами)
По той же формуле . (2)
Используя формулы (1)
находим х и у.
Они равны:
; .
Далее, подставляя х и у в
формулу (2), находим .
.
(умение выполнять
преобразования алгебраических выражений)
Задача №2. Найти множество
точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек
есть величина постоянная.
Обозначим данные точки
через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ,
а началом координат служила точка А.
(умение оптимально
выбирать систему координат).
Предположим АВ=а, тогда в
выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).
(умение находить
координаты заданных точек)
Точка М(х,у) принадлежит
искомому множеству тогда только тогда, когда AM2-MB2=b2 где b -
постоянная величина
(умение переводить
геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).
Используя формулу
расстояний между двумя точками, получаем:
, ,
(умение вычислять
расстояние между точками, заданными координатами), или . Данное уравнение
является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние .
(умение видеть за
уравнением конкретный геометрический образ)
Нетрудно видеть, что и для
решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме
того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение
«видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое
является обратным к
умению составлять уравнения конкретных фигур.
Выделенные умения являются
основой при решении и более сложных задач.
Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна
основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.
Направим оси координат по меньшей диагонали и
одному из оснований (рис. 3).
(умение оптимально
выбирать систему координат).
Тогда точка А имеет
координаты (0,0), точка В - (а,0), точка С - (0,c), точка D - (b,c).
(умение находить
координаты заданных точек)
Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины
большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый -
из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника
ACD: . Отсюда получили, что
(1)
Из равенства (1) находим отношение : оно равно -, так как . Выразим . Он равен , исходя из этого,
пользуясь зависимостью (1), получаем .
(умение выразить недостающие координаты через уже
известные величины)
Далее воспользовавшись координатной формулой
расстояния между двумя точками, найдем длину BD.
(умение вычислять расстояние между точками,
заданными координатами)
Она равна .
Итак, компонентами умения
применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:
1.
переводить геометрический язык на аналитический для одного типа
задач и с аналитического на геометрический для другого;
2.
стоить точку по заданным координатам;
3.
находить координаты заданных точек;
4.
вычислять расстояние между точками, заданными координатами;
5.
оптимально выбирать систему координат;
6.
составлять уравнения заданных фигур;
7.
видеть за уравнением конкретный геометрический образ;
8.
выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Данные умения можно отработать на примере
следующих задач, формирующих координатный метод:
1)
задачи на построение точки по ее координатам;
2)
задачи на нахождение координат заданных точек;
3)
задачи на вычисление расстояния между точками, заданными
координатами;
4)
задачи на оптимальный выбор системы координат;
5)
задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому
свойству;
6)
задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7)
задачи на преобразование алгебраических равенств;
Приведем примеры таких задач.
I. Построение точек на плоскости.
С координатной прямой, а затем и с координатной
плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала.
При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в
динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и
звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим
наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат»,
опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение 1). Приведем несколько примеров
задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти
задачи могут быть использованы:
§
для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем
классом;
§
для дополнительных заданий отстающим ученикам;
§
для развития интереса к изучаемой теме.
1)
На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).
2)
Отметьте на
плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в
ней координаты заданных точек.
3)
Постройте
фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть
точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых
записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если
же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять.
Они нужны для изображения вспомогательных элементов.
А)
Камбала (Рис. 4)
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),
(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),
(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).
Б)Найдите координаты выделенных
на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)
II.Задачи на выбор системы координат
Выбор системы координат имеет очень важное значение при
применении метода координат.
Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2]
«Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».
Первым шагом при применении метода координат
является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические
выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы
координат показан на рисунке 7. Таким образом, начало координат помещаем в
точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на
положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому
по формуле середины отрезка D(). Теперь , .
Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.
Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9).
Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень
трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ,
позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать
это можно, но будет это не очень просто.
Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6
класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту
работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической
работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение
координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей
и начала координат. (см. приложение1)
1.
Длина отрезка АВ равна 5см. а)Выберите систему координат, в
которой можно было бы наиболее просто определить координаты концов отрезка. б)Выберите
систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).
2.
Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата.
Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление
осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты
(1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.
3.
Треугольник ABC равносторонний (длина стороны равна 6 см.). Выберите
систему координат так, чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.
III. Расстояние между точками
1)
Точка М(а,с) находится от начала координат и точки А(4,0) соответственно на
расстояниях 3 и 4 см. Определите координаты точки М.
2)
Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Как выбрать систему
координат, чтобы его вершины имели координаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?
3)
Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и
определите в ней
координаты
вершин треугольника ABC.
4)
Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А(-3,1),
В(3,6), С(2,2) и D(-4,3). Установите вид четырехугольника.
IV. Составление уравнения фигур
Это умение является одним из основных умений,
которые необходимы при применении метода координат к решению задач.
1)
Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки А и В. Запишите
соотношения, которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих: а)отрезку АВ; б)лучу АВ;
в)лучу ВА;
Страницы: 1, 2, 3
|
